幂函数的图像及其与指数关系专题含答案

幂函数的图像及其与指数关系专题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 设a =log 314，b =(13
)0.3，c =log 2(log 2√2)，则( )
A.b <c <a
B.a <b <c
C.c <a <b
D.a <c <b
2. 函数y =(m 2+2m −2)x 1m−1是幂函数，则m =( )
A.1
B.−3
C.−3或1
D.2
3. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(3, √3)，则f(9)=( )
A.3
B.−3
C.−√3
D.√3
4. 若幂函数y =(m 2+3m +3)x m
2+2m−3的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是（ ）
A.m =−2
B.m =−1
C.m =−2或m =−1
D.−3≤m ≤−1
5. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x −5m−3是幂函数，且在区间(0, +∞)上是增函数，则m 的值为（ ）
A.−1
B.2
C.2或−1
D.0或−1
6. 如图的曲线是幂函数y =x a 在第一象限内的图象．则a 1，a 2，a 3的大小关系是（ ）
A.a 1>a 2>a 3
B.a 1>a 3>a 2
C.a 2>a 1>a 3
D.a 2>a 3>a 1
7. 函数y =(13)−x 2+2x 的单调递增区间是（ ）
A.(−∞, 1)
B.(0, 1)
C.(1, 2)
D.(1, +∞)
8. 已知幂函数f (x )=x a 的图象过点(3,13)，则函数g (x )=(2x −1)f (x )在区间[12,2]上的最小值是( )
A.−1
B.0
C.−2
D.32
9. 幂函数y =x m 2+2m−3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )
A.−2或0
B.−1
C.0
D.−2
10. 已知函数y =log a (x −b )的大致图象如下图，则幂函数y =x b a 在第一象限的图象可能是( )
A. B.
C.
D.
11. 函数g (x )=2x 2n−1+10x 2−2x −2(n ≥3,n ∈N )在实数范围内的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
12. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过函数g(x)=a x−2−1
2
(a>0且a≠1)的图象所过的定点，则幂函数f(x)不具有的特性是（）
A.在定义域内有单调递减区间
B.图象过定点(1,1)
C.是奇函数
D.其定义域是R
13. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(9, 3)，则a=________．
14. 设幂函数f(x)=x−m2+2m+3为偶函数，且在区间(0, +∞)为增函数则m________．
15. 幂函数f(x)的图象经过点(2, 1
2
)，则f(x)在(0, +∞)上是________函数．
16. 若(3−2a)−1
3>(a−1)−
1
3，实数a的取值范围为________．
17. 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)
f(2)
=3，则f(2)=________，函数g(x)=f(x)−ax+2a过定点________.
18. 若幂函数y=(m2−m−1)⋅x m的函数图象经过原点则m=________.
19. 若幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1在(0, +∞)上是增函数，则m=________．
20. 关于函数y=xα（α为常数），下列说法：①当α=√2时，y=xα不是幂函数；②幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)；③当α=0或α=1时，幂函数y=xα图象都是直线；④存在幂函数的图象经过第四象限．其中正确的是________．（把你认为正确的序号都填上）
21. 函数f(x)=x n+1恒过一个定点，这个定点坐标是________．
22. 幂函数y=x(−1)k n
m（m，n，k∈N∗，m，n互质）图象在一、二象限，不过原点，
则k，m，n的奇偶性为________．
23. 已知幂函数y=x4−3m−m2(m∈Z)的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象．
24. 在同一个坐标系中，请画出函数f(x)=xα，g(x)=αx的图象．
25. 已知幂函数f(x)=x m2−1(m∈Z)图象与x，y轴无交点且关于原点对称，求：
（1）函数的解析式；
的奇偶性．
（2）判断函数F(x)=a√f2(x)−b
f(x)
26. 已知函数ℎ(x)=(m2−5m+1)⋅x m+1为幂函数，且为奇函数．
(1)求实数m的值；
]的值域．
(2)求函数g(x)=ℎ(x)+√1−2ℎ(x)在x∈[0, 1
2
27. 已知函数f(x)=(m2+2m) x m2+m−1，求实数m的值，使得f(x)是：
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数.
28. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．(1)求m的值；
(2)求满足(a+1)−m3<(3−2a)−m3的a的取值范围．
参考答案与试题解析
幂函数的图像及其与指数关系专题含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a =log 314<log 313=−1，
0<b =(13)0.3<(13
)0=1， c =log 2(log 2√2)=log 2
12=−1 ∴ a <c <b .
故选D .
2.
【答案】
B
【考点】
幂函数的性质
幂函数图象及其与指数的关系
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
由函数y =(m 2+2m −2)x
1m−1是幂函数，可得m 2+2m −2=1，m −1≠0，解出即
可．
【解答】
解：∵ 函数y =(m 2+2m −2)x 1m−1是幂函数，
∴ m 2+2m −2=1，m −1≠0，
解得m =−3．
故选：B ．
3.
【答案】
A
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．
【解答】
解：设幂函数f(x)=xα（α为常数），
∵幂函数y=f(x)的图象过点(3, √3)，
∴√3=3α，
∴α=1
，
2
∴f(x)=x12，
∴f(9)=√9=3
故选：A
4.
【答案】
A
【考点】
幂函数的性质
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
解决该试题的关键是准确运用幂函数的定义，保证x的系数为1，得到m的值，进而分类讨论得到参数m的值．
【解答】
因为幂函数y=(m2+3m+3)x2+1n−图像不过原点，故m2+3m+3=1∴ m=
−2,m=−1
当m=−2时，则y=x−，显然过原点，不符合题意舍去．
当m=−1y=x−，图像不过原点且关于原点对称，故符合题意，选A．
5.
【答案】
A
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
根据幂函数的定义与性质，列出方程，求出m的值．
【解答】
解：∵函数f(x)=(m2−m−1)x−5m−3是幂函数，
∴m2−m−1=1，
即m2−m−2=0，
解得m=2或m=−1；
又f(x)在区间(0, +∞)上是增函数，
∴−5m−3>0，
∴应取m=−1．
故选：A．
6.
【答案】
A
【解析】
由幂函数y=x a在第一象限内的图象的变化趋势从而得到参数的变化．
【解答】
解：a1对应的幂函数y=x a在第一象限内的图象上升，且上升速度在变快，故a1>1；a2对应的幂函数y=x a在第一象限内的图象上升，且上升速度在变慢，故0<a2<1；a3对应的幂函数y=x a在第一象限内的图象上升，且上升速度在变快，故a3<0．
故答案为：A．
7.
【答案】
D
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
根据复合函数的单调性，同增异减，得到答案．
【解答】
解：设u=−x2−2x，在(−∞, 1)上为增函数，在(1, +∞)为减函数，
因为函数y=(1
3
)x为减函数，
所以f(x)的单调递增区间(1, +∞,)，
故选：D
8.
【答案】
B
【考点】
函数单调性的性质
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将点(3,1
3
)代入幂函数f(x)=x a，
得3a=1
3
，
解得a=−1，
∴f(x)=1
x
，
∴g(x)=2x−1
x =2−1
x
在区间[1
2
,2]上单调递增，
则g(x)min=g(1
2
)=0 . 故选B.
9.
【答案】
A
【解析】
根据幂函数的图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，根据幂函数的性质解不等式即可．
【解答】
解：由幂函数在第一象限的单调性可得，m2+2m−3<0，
解得−3<m<1，
再由m∈Z可得，m=−2或−1或0.
又从图象可知该函数是奇函数，
若m=−2，m2+2m−3=−3符合题意；
若m=−1，m2+2m−3=−4不合题意；
若m=0，m2+2m−3=−3符合题意，
综上，m=−2或0.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
幂函数的图像
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知a>1，0<b<1，
则0<b
a
<1，
故幂函数y=x b
a在第一象限内随自变量的增大而增大，
故排除C，D；
若b
a =1
2
，图象大致为：
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系函数的零点
【解析】
无
【解答】
解：g (x )=2x 2n−1+10x 2−2x −2（n ≥3，n ∈N ），
利用特殊值法，取n =6，g (x )=2x 11+10x 2−2x −2，
判断零点，令g(x)=0可得：x 11=−5x 2+x +1，
作出等式两边函数图象如下：
结合图象得，函数g(x)有三个根．
当n ∈N ，x =−1时，
必然有如上图奇函数x 2n−1=−1大于−5x 2+x +1=−5，
所以函数g(x)必然三个根.
故选D ．
12.
【答案】
D
【考点】
幂函数的性质
指数函数的图象与性质
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
由指数函数的性质求出其过定点的坐标，从而求出a 的值，再结合幂函数的性质判断．
【解答】
函数g (x )=a x−2−12过定点(2,12)，故f (2)=2a =12⇒a =−1．故f (x )=1x
．故函数是(−∞,0)(0,+∞)上的减函数，A 正确．B 过点（11），正确．是奇函数，故C 是正确的．D 定义域中无x =0这个值，故定义域不是R ．函数不符合这一特点．
故答案为：D ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
13.
【答案】
12
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
直接利用点满足函数的解析式求出a 即可．
【解答】
解：幂函数f(x)=x a 的图象经过点(9, 3)，
所以3=9a ，a =12．
故答案为：12． 14.
【答案】
1
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
由于幂函数f(x)=x −m 2+2m+3为偶函数，且在区间(0, +∞)为增函数，可得−m 2+2m +3>0，只有在幂次方为偶数的条件下满足偶函数，所以且为偶数．
【解答】
解：∵ 幂函数f(x)=x −m 2+2m+3为偶函数，且在区间(0, +∞)为增函数， ∴ −m 2+2m +3>0，且为偶数．
解得−1<m <3，
∴ m =1．
故答案为：1．
15.
【答案】
减
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
利用幂函数的定义和单调性即可得出．
【解答】
解：设幂函数的解析式为y =x α（α为常数）．
∵ 此幂函数的图象经过点(2, 12)，∴ 12=2α，解得α=−1，
∴ y =1x ，于是该函数在(0, +∞)上是减函数，
故答案为：减．
16.
【答案】
{a|a <1或43<a <32
} 【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
把原不等式化为分式不等式，求出它的解集即可．
【解答】
解：∵ (3−2a)−13>(a −1)−13
， ∴ (3−2a)−1>(a −1)−1，
即1
3−2a >1
a−1
，
移项得1
3−2a −1
a−1
>0，
通分得3a−4
(2a−3)(a−1)
<0，
解得a<1或4
3<a<3
2
；
∴实数a的取值范围是{a|a<1或4
3<a<3
2
}．
故答案为：{a|a<1或4
3<a<3
2
}．
17.
【答案】
3,(2,3)
【考点】
幂函数的性质
幂函数图象及其与指数的关系【解析】
可设f(x)=xα，由f(4)
f(2)=3可求得α，从而可求得f(1
2
)的值．
【解答】
解析：设f(x)=xα，则有4α
2α
=3，解得2α=3，α=log23，
∴f(2)=2α=2log23=3，
∴g(x)=xα−a(x−2)，
则当x=2时，g(2)=2α=3，
所用g(x)过定点(2,3).
故答案为：3；(2,3).
18.
【答案】
2
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
幂函数的图像
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：m2−m−1=1，解得：m=−1或m=2，
而函数图象过原点，则m=2.
故答案为：2.
19.
【答案】
−1
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
利用幂函数的定义和单调性即可得出．
【解答】
解：∵幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1在(0, +∞)上是增函数，
∴{m2−m−1=1
，解得m=−1．
m2−2m−1>0
故答案为−1．
20.
【答案】
②
【考点】
幂函数的性质
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论．
【解答】
解：①当α=√2时，函数y=xα是幂函数，故①不正确；
②所有幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)，故②正确；
③当α=0，幂函数y=xα图象都是直线y=1上去掉了点(0, 1)，故③不正确；
④对于所有的幂函数y=xα，由于当x>0时，xα>0，故它们的图象都不会经过第四象限，故④不正确．
故答案为②．
21.
【答案】
(1, 2)
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
根据幂函数y=x n恒过一个定点(1, 1)，可得函数f(x)=x n+1恒过一个定点(1, 2)．【解答】
解：由于函数y=x n恒过一个定点(1, 1)，故函数f(x)=x n+1恒过一个定点(1, 2)，故答案为(1, 2)．
22.
【答案】
m，k为奇数，n为偶数
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
由于图象不过原点，可得x的指数必须是负数，故k为奇数．正整数m、n两个数中一个奇数，一个偶数，或两个都是奇数．若两个都为奇数，不合题意．经过检验，
指数的分子n为偶数，分母m为奇数满足条件，从而得到结论．
【解答】
解：由于图象不过原点，故x的指数必须是负数，故k为奇数．
正整数m、n互质，则m、n两个数中一个奇数，一个偶数，或两个都是奇数．
若两个都为奇数，那该函数为奇函数，图象应该在一三象限，不合题意．
故只能一个偶数，一个奇数
若分母是偶数，分子是奇数，则x<0是无意义的，第二象限无图象，也不合题意．故指数的分子n为偶数，分母m为奇数，
故答案为n为m、k为奇数，n为偶数．
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）
23.
【答案】
解：由题意得4−3m−m2>0
即有(m+4)(m−1)<0
解得−4<m<1，
又因为图象关于y轴对称，所以4−3m−m2必须为偶数，
所以m=0，−1，−2，−3，
m=−3，y=x4
m=−2，y=x6
m=−1，y=x6
m=0，y=x4
其图象如下：
【考点】
幂函数的性质
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
由题意得4−3m−m2>0解得−4<m<1，又因为图象关于y轴对称，所以4−3m−m2必须为偶数，故m=0，−1，−2，−3，即可画出图象．
【解答】
解：由题意得4−3m−m2>0
即有(m+4)(m−1)<0
解得−4<m<1，
又因为图象关于y轴对称，所以4−3m−m2必须为偶数，
所以m=0，−1，−2，−3，
m=−3，y=x4
m=−2，y=x6
m=−1，y=x6
m=0，y=x4
其图象如下：
24.
【答案】
解：当α>1（如α=2）时，
）时，
当0<α<1（如α=1
2
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
利用指数函数与幂函数的图象与性质即可画出．【解答】
解：当α>1（如α=2）时，
当0<α<1（如α=1
2
）时，
25.
【答案】
解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−1(m∈Z)图象与x，y轴无交点，∴m2−1<0，解得−1<m<1
∵图象关于原点对称，
∴x m−1为奇函数，∴m=0，
∴f(x)=x−1．
（2）∵f(x)=x−1，
∴F(x)=a√f2(x)−b
f(x)
=a√x−2−
b x−1
=a|1
x
|−bx，
∴F(−x)=a|1
−x |−b(−x)=a|1
x
|+bx≠±F(x)，
∴函数F(x)=a√f2(x)−b
f(x)
是非奇非偶函数．
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
（1）由已知条件推导出m2−1<0，且m2−1为奇函数，由此能求出m，从而能求出函数的解析式．
（2）由f(x)的解析式求出F(x)，再求出F(−x)与F(x)相比较，能判断函数F(x)= a√f2(x)−b
f(x)
的奇偶性．
【解答】
解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−1(m∈Z)图象与x，y轴无交点，
∴m2−1<0，解得−1<m<1
∵图象关于原点对称，
∴x m−1为奇函数，∴m=0，
∴f(x)=x−1．
（2）∵f(x)=x−1，
∴F(x)=a√f2(x)−b
f(x)
=a√x−2−
b x−1
=a|1
x
|−bx，
∴F(−x)=a|1
−x |−b(−x)=a|1
x
|+bx≠±F(x)，
∴函数F(x)=a√f2(x)−b
f(x)
是非奇非偶函数．26.
【答案】
解：(1)∵函数ℎ(x)=(m2−5m+1)x m+1为幂函数，∴m2−5m+1=1，
解得m=5或m=0，又ℎ(x)为奇函数，
∴m=0.
(2)由(1)可知ℎ(x)=x，g(x)=x+√1−2x，
令√1−2x=t，则当x∈[0,1
2
]时，t∈[0,1]，
∴ g(x)=−1
2t2+t+1
2
=−1
2
(t−1)2+1.
∵ 函数g(x)=−1
2
(t−1)2+1在[0,1]上单调递增，
∴1
2
≤g(x)≤1，
∴ g(x)=ℎ(x)+√1−2ℎ(x)在[0,1
2]的值域为[1
2
,1].
【考点】
幂函数的性质
幂函数图象及其与指数的关系
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵函数ℎ(x)=(m2−5m+1)x m+1为幂函数，
∴m2−5m+1=1，
解得m=5或m=0，又ℎ(x)为奇函数，
∴m=0.
(2)由(1)可知ℎ(x)=x，g(x)=x+√1−2x，令√1−2x=t，则当x∈[0,1
2
]时，t∈[0,1]，
∴ g(x)=−1
2t2+t+1
2
=−1
2
(t−1)2+1.
∵ 函数g(x)=−1
2
(t−1)2+1在[0,1]上单调递增，
∴1
2
≤g(x)≤1，
∴ g(x)=ℎ(x)+√1−2ℎ(x)在[0,1
2]的值域为[1
2
,1].
27.
【答案】
解：(1)若f(x)是正比例函数，
则{m2+2m≠0
m2+m−1=1
，
解得m=1.
(2)若f(x)是反比例函数，
则{m2+2m≠0
m2+m−1=−1
，解得m=−1.
(3)若f(x)是二次函数，
则{m2+2m≠0
m2+m−1=2
，
解得m=−1±√13
2
.
(4)若f(x)是幂函数，
则m2+2m=1，
解得m=−1±√2.
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系函数解析式的求解及常用方法【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若f(x)是正比例函数，
则{m2+2m≠0
m2+m−1=1
，
解得m=1.
(2)若f(x)是反比例函数，
则{m2+2m≠0
m2+m−1=−1
，
解得m=−1.
(3)若f(x)是二次函数，
则{m2+2m≠0
m2+m−1=2
，
解得m=−1±√13
2
.
(4)若f(x)是幂函数，
则m2+2m=1，
解得m=−1±√2.
28.
【答案】
解：(1)∵函数在(0, +∞)上递减，
∴m2−2m−3<0即−1<m<3，又m∈N∗
∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，
∴m2−2m−3为偶数，故m=1为所求．
(2)函数y=x−13在(−∞, 0)，(0, +∞)上均为减函数
∴(a+1)−13<(3−2a)−13
等价于a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，
解得a<−1或2
3<a<3
2
故a的取值范围为(−∞,−1)∪(2
3，3
2
)
【考点】
其他不等式的解法
幂函数图象及其与指数的关系
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
(1)幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．则必须满足α为偶数且α<0，则易得m的值．
(2)再根据幂函数y=xα的单调性，求满足(a+1)−m3<(3−2a)−m3的a的取值范围．
【解答】
解：(1)∵函数在(0, +∞)上递减，
∴m2−2m−3<0即−1<m<3，又m∈N∗
∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，
∴m2−2m−3为偶数，故m=1为所求．
(2)函数y=x−13在(−∞, 0)，(0, +∞)上均为减函数
∴(a+1)−13<(3−2a)−13
等价于a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，
解得a<−1或2
3<a<3
2
故a的取值范围为(−∞,−1)∪(2
3，3
2
)。