2016-2017学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一(下)期末数学试卷

2016-2017学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一（下）
期末数学试卷
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）
1．（5分）已知a＞b＞0且c＜d，下列不等式中成立的一个是（）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ad＜bc D．＞
2．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且，那么x等于（）A．8 B．7 C．6 D．5
3．（5分）在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（）
A．30°或120°B．60°C．60°或120°D．30°
4．（5分）下列结论正确的是（）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）
A．B．2 C．D．4
6．（5分）已知cos（）﹣cosα=，则cos（）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣
7．（5分）设{a n}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2，则a3=（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
8．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）
A．B．C．2 D．3
9．（5分）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a ＜0的解集为（）
A．B．
C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|x＜﹣2，或x＞1}
10．（5分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，那么a3•a18的最大值是（）
A．50 B．25 C．100 D．2
11．（5分）对于任意实数x，不等式mx2+mx﹣1＜0恒成立，则实数a取值范围（）
A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣4，0）D．（﹣4，0]
12．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为a2013，则a2013﹣5=（）
A．2019×2013 B．2019×2012 C．1006×2013 D．2019×1006
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）不等式＜1的解集是．
14．（5分）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=．15．（5分）在等比数列中，已知a3=，s3=，求q=．
16．（5分）已知tanα=2，，则tanβ=．
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知，的夹角为120°，且||=4，||=2．求：
（1）（﹣2）•（+）；
（2）|3﹣4|．
18．（12分）已知函数f（x）=4cosx•sin（x+）+a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
19．（12分）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差
数列．△ABC的面积为．
（1 ）求：ac的值；
（2 ）若b=，求：a，c 的值．
20．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．
21．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．22．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为c﹣f（n）．数列{b n}（b n＞0）的首项为2c，前n项和满足=+1（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，问使T n＞的最小正整数n是多少？
2016-2017学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体
高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）
1．（5分）（2017春•宜昌期末）已知a＞b＞0且c＜d，下列不等式中成立的一个是（）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ad＜bc D．＞
【分析】利用不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵c＜d，
∴﹣c＞﹣d，又a＞b＞0，
∴a﹣c＞b﹣d，
故选：B．
【点评】熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（5分）（2017春•宜昌期末）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且，那么x等于（）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用向量平行，列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（4，2），向量=（x，3），且，
可得2x=12，解得x=6．
故选：C．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
3．（5分）（2017春•宜昌期末）在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（）
A．30°或120°B．60°C．60°或120°D．30°
【分析】由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A 的值．
【解答】解：由题意知，a=2，b=2，∠B=45°，
由正弦定理得，，
则sinA===，
因为0＜A＜180°，且a＞b，所以A=60°或120°，
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理，内角的范围，以及边角关系，属于中档题和易错题．
4．（5分）（2017春•宜昌期末）下列结论正确的是（）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．
【解答】解：在A中，如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，
各面都是三角形，但它不是棱锥．故A错误；
在B中，一平面截一棱锥，只有当平面与底面平行时，才能得到一个棱锥和一个棱台，故B错误；
在C中，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．
由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
在D中，根据圆锥母线的定义知圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．
5．（5分）（2017春•宜昌期末）某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）
A．B．2 C．D．4
【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，侧面PBC⊥底面ABC，底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB=4，BC=2，三棱锥的高PO=2．然后由棱锥体积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为三棱锥，侧面PBC⊥底面ABC，
底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB=4，BC=2，三棱锥的高PO=2．
∴该四面体的体积为．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
6．（5分）（2017春•宜昌期末）已知cos（）﹣cosα=，则cos（）的值为（）
A．B．﹣ C．D．﹣
【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知可得﹣cosα+sinα=，由两角和的余弦函数公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵cos（）﹣cosα=cosα+sinα﹣cosα=﹣cosα+sinα=，
∴cos（）=cosα﹣sinα=﹣（﹣cosα+sinα）=﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（5分）（2017•武汉模拟）设{a n}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2，则a3=（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＜0，∵a1=2，a3﹣4=a2，
∴2q2﹣4=2q，解得q=﹣1．
则a3=2×（﹣1）2=2．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已
知a=，c=2，cosA=，则b=（）
A．B．C．2 D．3
【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．
【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9．（5分）（2017春•宜昌期末）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（）
A．B．
C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|x＜﹣2，或x＞1}
【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0 易解出其解集．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
∴ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0
即﹣1+2=﹣
（﹣1）×2=
解得a=﹣1，b=1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0
解得
故选A．
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a，b的值，是解答本题的关键．
10．（5分）（2017春•宜昌期末）已知各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，那么a3•a18的最大值是（）
A．50 B．25 C．100 D．2
【分析】根据等差数列的前20项之和做出第1项和第20项之和，根据等差数列的性质做出第三项和第18项之和，再根据基本不等式得到最大值．
【解答】解：各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，
∴a1+a20=a3+a18=10，
∴a3•a18≤=25，
当且仅当a3=a18时等号成立，
故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的性质和前n项和，以及基本不等式的应用，本题解题的关键是利用等差数列的性质做出第三项和第十八项之和，本题是一个基础题．
11．（5分）（2017春•宜昌期末）对于任意实数x，不等式mx2+mx﹣1＜0恒成立，则实数a取值范围（）
A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣4，0）D．（﹣4，0]
【分析】当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．
【解答】解：当m=0时，mx2+mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；
设y=mx2+mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0
得到：解得﹣4＜m＜0．
综上得到﹣4＜m≤0．
故选D．
【点评】本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集．同时要求学生把二次函数的图象性质与一元二次不等式结合起来解决数学问题．
12．（5分）（2017春•宜昌期末）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为a2013，则a2013﹣5=（）
A．2019×2013 B．2019×2012 C．1006×2013 D．2019×1006
【分析】观察梯形数的前几项，归纳得a n=2+3+…+（n+2），结合等差数列前n项和公式得a n=（n+1）（n+4），由此可得a2013﹣5=1007×2017﹣5=2019×1006，得到本题答案．
【解答】解：观察梯形数的前几项，得
5=2+3=a1
9=2+3+4=a2
14=2+3+4+5=a3
…
a n=2+3+…+（n+2）==（n+1）（n+4）
由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011=×2014×2017
∴a2013﹣5=×2014×2017﹣5=1007×2017﹣5=2019×1006
故选：D
【点评】本题给出“梯形数”模型，求该数列的第2013项．着重考查了归纳推理的一般方法和等差数列的前n项和等知识，属于中档题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸
上）
13．（5分）（2017春•宜昌期末）不等式＜1的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
【分析】问题转化为＞0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵＜1，
∴＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．
14．（5分）（2017春•宜昌期末）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=3．
【分析】将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．
【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4
当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．
∵x=a处取最小值，
∴a=3
故答案为：3
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．
15．（5分）（2017春•宜昌期末）在等比数列中，已知a3=，s3=，求q=﹣
或1．
【分析】由题意可得，解得即可．
【解答】解：由a3=，s3=，
∴，
整理可得2q2﹣q﹣1=0，
解得q=﹣或q=1，
故答案为：﹣或1
【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
16．（5分）（2017春•宜昌期末）已知tanα=2，，则tanβ=﹣13．
【分析】根据tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]利用正切的两角和公式求得答案．
【解答】解：．
故答案为﹣13
【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数．属基础题．
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•宜昌期末）已知，的夹角为120°，且||=4，||=2．求：（1）（﹣2）•（+）；
（2）|3﹣4|．
【分析】先根据向量的数量积公式求出•=﹣4，再分别根据向量的数量积的运算和模计算即可．
【解答】解：，的夹角为120°，且||=4，||=2，
∴•=||•||cos120°=4×2×（﹣）=﹣4，
（1）（﹣2）•（+）=||2﹣2•+•﹣2||2=16+4﹣2×4=12；
（2）|3﹣4|2=9||2﹣24•+16||2=9×42﹣24×（﹣4）+16×22=16×19，
∴|3﹣4|=4．
【点评】本题考查了向量的数量积公式和向量的模，属于基础题．
18．（12分）（2017春•宜昌期末）已知函数f（x）=4cosx•sin（x+）+a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用两角和公式和倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数的最大值求得a，进而求得函数解析式和最小正周期．
（2）利用正弦函数图象的性质，求得函数递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=4cosx•sin（x+）
+a=2sinxcosx+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+）+1+a，
∵sin（2x+）≤1，
∴f（x）≤2+1+a，
∴由已知可得2+1+a=2，
∴a=﹣1，
∴f（x）=2sin（2x+），
∴T==π．
（2）函数f（x）=2sin（2x+），
∴当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+时，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数单调增，
∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+，]（k∈Z）．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数图象能熟练掌握．
19．（12分）（2017春•宜昌期末）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，
且A、B、C成等差数列．△ABC的面积为．
（1 ）求：ac的值；
（2 ）若b=，求：a，c 的值．
【分析】（1）利用等差中项的性质和三角形内角和，求得B，进而利用正弦定理求得ac的值．
（2）利用余弦定理和（1）中求得ac，进而求得a2+c2的值，最后联立方程求得a和c的值．
【解答】解：（1）∵A、B、C成等差数列
∴2B=A+C
∴B=，
∵
∴ac=2
（2 ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，
∴a2+c2=5
∴ac=2
∴或．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及他们的变形公式都是解三角形问题基本的工具，应灵活掌握．
20．（12分）（2017春•宜昌期末）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．
【分析】（Ⅰ）等比数列{b n}的公比为q，等差数列{a n}的公差为d，由等差数列和等比数列的通项公式，即可得到首项和d，q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1，c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）等比数列{b n}的公比q===3，
b1===1，
b4=b3q=9×3=27，
设等差数列{a n}的公差为d，而a1=1，a14=27．
可得1+13d=27，即d=2，
即有a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1，
c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，
前n项和S n=（1+3+…+2n﹣1）+（1+3+…+3n﹣1）
=n（1+2n﹣1）+
=n2+．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2015•中山二模）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，
易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．
由已知ax=360，得，
所以．
（II）因为x＞0，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
22．（12分）（2017春•宜昌期末）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，a ≠1）图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为c﹣f（n）．数列{b n}（b n＞0）的首项为2c，前n项和满足=+1（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，问使T n＞的最小正整数n是多少？
【分析】（Ⅰ）由已知求得a，，a2=（c﹣）﹣（c﹣）=，
，得公比q=，即可写出通项；
（Ⅱ）可得是首项为1，公差为1的等差数列．由（n≥2）⇒b n=2n﹣1，（n≥2）．
==，累加求得T n=，得
n，即可得最小正整数n．
【解答】（Ⅰ）解：．∴，
∵，则等比数列{a n}的前n项和为c﹣
，a2=（c﹣）﹣（c﹣）=，
由{a n}为等比数列，得公比q=…（3分）
∴，则c=，a
∴…（5分）
（Ⅱ）：由b1=2c=1，得s1=1
n≥2时，，则是首项为1，公差为1的等差数列．
∴，（n∈N+）…（7分）
则（n≥2）⇒b n=2n﹣1，（n≥2）．
当n=1时，b1=1满足上式
∴…（9分）
∵==
∴T n===…（11分）
由T n=，得n，则最小正整数n为59…（12分）
【点评】本题考查了数列与函数，考查了等比数列的通项、裂项求和，属于中档题．
参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；qiss；gongjy；zlzhan；sxs123；w3239003；沂蒙松；zwx097；caoqz；whgcn；ywg2058；minqi5；zhwsd；wsj1012；双曲线；豫汝王世崇；陈高数（排名不分先后）
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2017年7月18日。