铜鼓县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)

铜鼓县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
2． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =
6
A π
∠=
，则
B ∠=（ ）111]
A ．
4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3
π
3． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
4． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin
2
，则该数列的前10项和为（ ）
A ．89
B ．76
C ．77
D ．35
5． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
6． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
7． 椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的
取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．3
1,42⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．33,48
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
8． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=（）x
C ．y=x+
D ．y=ln （x+1）
9． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
10．过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
11．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：
上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）
A ． B.
C. D. 12．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到
原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）
A ．86210x y --=
B ．86210x y +-=
C ．68210x y +-=
D ．68210x y --=
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
二、填空题
13．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
14．已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
15．若函数2
(1)1f x x +=-，则(2)f = ．
16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x
C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________． 17．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比
如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”．若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2016项的值是 ．
18．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ． （1）求证：A ′C ∥平面BDE ；
（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．
20．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
21．已知数列{a n }共有2k （k ≥2，k ∈Z ）项，a 1=1，前n 项和为S n ，前n 项乘积为T n ，且a n+1=（a ﹣1）S n +2（n=1，
2，…，2k ﹣1），其中a=2，数列{b n }满足b n =log 2
，
（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式；
（Ⅱ）若|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|≤，求k 的值．
22．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22⨯
（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，判断心肺疾病与性别是否有关？
（参考公式：)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
23．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对
问题的概率分别为
．
（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．
24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是243x t
y t =-+⎧⎨
=⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值.
铜鼓县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
解：根据正弦定理有：
=，
代入已知等式得：
﹣+1=0，
即﹣
1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即
cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
2．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
()
sin0,,
24
sin
6
B B B
π
π
=∴=∈∴=
或
3
4
π
，故选B.
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.
3．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵
2tan=2，
lg=﹣1，
∴（
2tan）⊗
lg=（
2tan）×（
lg+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1
，（）﹣1=5，
∴lne⊗
（）﹣1=
（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故选：C．
5．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），
若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，
（）2＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1，
故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
6．【答案】B
【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，
∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，
令h（x）=，则h′（x）=，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）max=h（e）=，
∴＜h（e）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
7．【答案】B
8．【答案】D
【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确，
故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
9． 【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20
=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．
10．【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ．
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
11．【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆
的面积为
1
||2
AB d '⋅=，选C ． 12．【答案】D
【解析】由切线性质知PQ CQ ⊥，所以2
2
2
PQ PC QC
=-，则由PQ PO =，得，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+，化简得68210x y --=，即点P 的轨迹方程，故选D ， 二、填空题
13．【答案】 3 ．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
14．【答案】
【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2=c2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，
所以=，
解得a2=36，b2=108，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．
15．【答案】0
【解析】111]
考点：函数的解析式．
16．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

17．【答案】 0 ．
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…， 即新数列{b n }是周期为6的周期数列， ∴b 2016=b 336×6=b 6=0， 故答案为：0．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．
18．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：设BD 交AC 于M ，连接ME ．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
21．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a2=2a，则；
当2≤n≤2k﹣1时，a n+1=（a﹣1）S n+2，a n=（a﹣1）S n﹣1+2，
所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故
=a ，即数列{a n }是等比数列，
，
∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a
1+2+…+（n ﹣1）
=，
b n ==
．…
（2）令，则n ≤k+，又n ∈N *
，故当n ≤k 时，
，
当n ≥k+1时，
．…
|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|
=
+（）+…+（）…
=（k+1+…+b 2k ）﹣（b 1+…+b k ）
=[+k]﹣[]
=，
由
，得2k 2
﹣6k+3≤0，解得，…
又k ≥2，且k ∈N *
，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.
23．【答案】
【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列
【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为．
，
，
分布列为：
（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为．
，
，
，
分布列为：
．
应先回答所得分的期望值较高． 24．【答案】（1）参数方程为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩，3460x y -+=；（2）14
5.
【解析】
试题分析：（1）先将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得22(1)1x y -+=,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C 上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析：
（1）曲线C 的普通方程为22cos ρρθ=，∴2220x y x +-=，
∴2
2
(1)1x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
，
直线的普通方程为3460x y -+=.
（2）曲线C 上任意一点(1cos ,sin )θθ+到直线的距离为
33cos 4sin 65sin()914555
d θθθϕ+-+++==≤，所以曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值为145.
考点：1.极坐标方程；2.参数方程.。