离散数学课件第十章 几种图的介绍

前言
在图论的历史中，还有一个最著名的问题——四色猜想。这个猜想说 ，在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没 有两个相邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一个单连通域构成 ，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公 共点。四色猜想有一段有趣的历史。每个地图可以导出一个图，其中 国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所 以四色猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面图理论、 代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。
10.2 哈密尔顿图
定理10.7 设图 G是具有n（≥3）个结点的无向简单图，如果 G中每一 对结点度数之和大于等于n-1，则在 G 中存在一条哈密尔顿路。 定理10.8 若G是具有n（≥3）个结点的无向简单图，对于G中每一对不
相邻的结点 u , v 均有 d(u)d(v)≥n，则G是一个哈密尔顿图。
图10.6
10.2 哈密尔顿图
定义10.3 给定无向图G，图G中包含其所有顶点的简单开路径称为图G 的哈密尔顿路径，图G中包含其所有顶点的简单闭路径称为G的哈密尔顿 回路。具有哈密顿回路的图称为哈密尔顿图。
由定义可知哈密尔顿圈与哈密尔顿路通过图G中的每个结点一次且仅 一次，例如图10.6（b）就是哈密尔顿图（哈密尔顿圈用实线标出）。
10.2 哈密尔顿图
例10.4 图10.8（a）不是哈密尔顿图。
图10.8
图10.8（a）中共有9个结点，如果取结点集S={3个白点}，即 S 3 。而
这时 (GS)4（如图（b））。这说明图10.8（a）不是哈密尔顿图。但要注
意若一个图满足定理10.6的条件也不能保证这个图一定是哈密尔顿图，如图10.8 （c）。
定理10.7和10.8都是充分条件，即满足这些条件的图一定是哈密尔顿图。但不是所 有的哈密尔顿图都满足这些条件。例如图10.9是哈密尔顿图,但它不满足上述定理的 条件。
图10.9
10.2 哈密尔顿图
例10.5 某地有5个风景点。 若每个景点均有两条道路与其它景点相通，问是否可 经过每个景点恰好一次而游完这5处？
图。
由定理10.5可得图10.5
图10.5
主要内容
PART 01
欧拉图
PART 02
哈密尔顿图
PART 03
二部图及匹配
PART 04
平面图
PART 05
网络
PART 06
图的示例分析
10.2 哈密尔顿图
爱尔兰数学家哈密尔顿（William Hamilton）爵士1859年提出了一个“周游世界” 的游戏。这个游戏把一个正十二面体的二十个顶点看成地球上的二十个城市。棱线 看成是连接城市的航路（航空、航海线或陆路交通线），要求游戏者沿棱线走，寻 找一条经过所有结点（即城市）一次且仅一次的回路，如图10.6（a）所示。也就 是在图10.6（b）中找一条包含所有结点的圈。图（b）中的粗线所构成的圈就是这 个问题的回答。 与欧拉图不同，哈密尔顿图是遍历图中的每个结点， 一条哈密尔顿回路不会在两 个结点间走两次以上，因此没有必要在有向图中讨论。
离散数学课件第十章 几种图的介绍
前言
自从1736年欧拉（L.Euler）利用图论的思想解决了哥尼斯堡（ Konigsberg）七桥问题以来，图论经历了漫长的发展道路。在很长 一段时期内，图论被当成是数学家的智力游戏，解决一些著名的难题 ，曾经吸引了众多的学者。图论中许多的概论和定理的建立都与解决 这些问题有关。
主要内容
PART 01
欧拉图
PART 02
哈密尔顿图
PART 03
二部图及匹配
PART 04
平面图
PART 05
网络
PART 06
图的示例分析
10.1 欧拉图
定义10.1 图G中包含其所有边的简单开路径称为图G的欧拉路径，图G
中包含其所有边的简单闭路径称为G的欧拉闭路。
图10.1 哥尼斯堡七桥
图10.2 哥尼斯堡七桥问题的图
例10.6 今有 a,b,c,d,e, f 和 g 7人，已知下列事实。
a讲英语；
b讲英语和汉语；
c讲英语、意大利语和俄语； e讲德国和意大利语； g讲法语和德语。
d讲日语和汉语； f讲法语、日语和俄语；
试问这7个人应如何排座位，才能使每个人都能和他身边的人交谈？
解：设无向图GV,E ，其中
V{a,b,c,d,e,f,g} E(u,v)|u,v V
做？
10.3 二部图及匹配
显然，我们只需构造这样的数学模型：以 x i 和 y j （i，j=1，2，3，4，5）为顶 点，在 x i 与其胜任的工作 y j 之间连边，得二部图 G，如图10.15所示，然后在G
中找一个边的子集，使得每个顶点只与一条边关联（图中粗线），问题便得以解决 了。这就是所谓匹配问题，下面给出匹配的基本概念和术语。
网络
PART 06
图的示例分析
10.3 二部图及匹配
定义10.4 设无向图G=<V，E， >。如果存在V的划分{ V 1 , V 2 }，使得 V i 中
的任何两个结点都不相邻（i=1,2），则称G为二部图， V 1 和 V 2 称为G的互补结
点子集。 显然，二部图没有自圈。与二部图的一条边关联的两个结点一定分属于两个互
补结点子集。一般来说，二部图的互补结点子集的划分不是唯一的。如图10.11的
二部图， v1,v2,v3,v4 和 v5,v6,v7 是它的互补结点子集， v1,v6,v7 和 v2,v3,v4,v5 也是它的互补结点子集。
图10.11 二部图
10.3 二部图及匹配
一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。有些图虽然表面上 不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如 图10.12中（a）可改画成图（b），图（c）可改画成图（d）。可以看出，它们仍 是二部图。
10.3 二部图ห้องสมุดไป่ตู้匹配
二部图的主要应用是匹配，“匹配”是图论中的一个重要内容，它在所谓“人员 分配问题”和“最优分配问题”等运筹学中的问题上有重要的应用。
首先看实际中常碰见的问题：给 n个工作人员安排 m项任务， n个人用 V{x1,x2, ,xn} 表示。并不是每个工作人员均能胜任所有的任务，一个人只能胜任其中 k (k ≥ 1) 个
图10.12
10.3 二部图及匹配
定理10.9 设G是阶大于1的无向图。G是二部图，当且仅当G的所有回路 长度均为偶数。
定义10.5 设 V 1 和 V 2 是简单二部图G的互补结点子集，如果 V 1 中的每 个结点与 V 2 中的每个结点相邻，则称G为完全二部图。
我们把互补结点子集分别包含m和n个结点的完全二部图记为 k m , n 。图10.14 画出了 k 3 , 3 的两个图示。k 3 , 3 很重要，我们在讨论图的平面性时还要用到它。
10.2 哈密尔顿图
例10.3 图10.7中，图（a）、（b）中有哈密尔顿圈，图（c）中有哈密尔顿路， （d）中既没有哈密尔顿圈也没有哈密尔顿路。
图10.7 哈密尔顿图和欧拉图相比，虽然考虑的都是遍历问题，但是侧重点不同。欧拉图遍历的是 边，而哈密尔顿图遍历的是结点。另外两者的判定困难程度也不一样，前面我们已经给出了判 定欧拉图的充分必要条件，但对于哈密尔顿图的判定，至今还没有找出判定的充要条件，只能 给出若干必要条件或充分条件。
10.1 欧拉图
定理10.1 设G是连通无向图，G是欧拉图，当且仅当G有欧拉闭路。
10.1 欧拉图
定理10.2 设G=<V，E， >为连通无向图，且 v 1，v 2 V ，则G有一
条从 v 1 至 v 2 的欧拉路径当且仅当G恰有两个奇结点 v 1 和 v 2 。
10.1 欧拉图
定理10.3 设G为弱连通的有向图。G是欧拉有向图，当且仅当G有欧拉 闭路。
任务，那么如何安排才能做到最大限度地使每项任务都有人做，并使尽可能多的人 有工作做？
例如，现有 x1,x2,x3,x4,x5 5个人， y1,y2,y3,y4,y5 5项工作。已知 x 1 能胜任
y 1 和 y 2 ， x 2 能胜任 y 2 和 y 3 ， x 3 能胜任 y 2 和 y 5 ， x 4 能胜任 y 1 和 y 3 ，x 5 能胜任 y 3 、 x 4 和 y 5 。如何安排才能使每个人都有工作做，且每项工作都有人
1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二 面体，它的20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿 着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即「绕行世界」。用图论的 语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。这个问 题后来就叫做哈密顿问题。由于运筹学、计算机科学和编码理论中的 很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的关注和研究。
图G是连通图，如图10.10（a）所示。将这7个人 排座围圆桌而坐，使得每个人能与两边的人交谈， 即在图10.10（a）中找哈密尔顿回路。经观察该 回路是 。即按照图10.10（b）安排座位即可。
主要内容
PART 01
欧拉图
PART 02
哈密尔顿图
PART 03
二部图及匹配
PART 04
平面图
PART 05
图10.6
10.2 哈密尔顿图
爱尔兰数学家哈密尔顿（William Hamilton）爵士1859年提出了一个“周游世界” 的游戏。这个游戏把一个正十二面体的二十个顶点看成地球上的二十个城市。棱线 看成是连接城市的航路（航空、航海线或陆路交通线），要求游戏者沿棱线走，寻 找一条经过所有结点（即城市）一次且仅一次的回路，如图10.6（a）所示。也就 是在图10.6（b）中找一条包含所有结点的圈。图（b）中的粗线所构成的圈就是这 个问题的回答。 与欧拉图不同，哈密尔顿图是遍历图中的每个结点， 一条哈密尔顿回路不会在两 个结点间走两次以上，因此没有必要在有向图中讨论。
图10.15 匹配问题示意图
10.3 二部图及匹配
定义10.6 设无向图G=<V，E， >，E' E （1）如果 E ' 不包含自圈，并且 E ' 中的任何两条边都不邻接，则称 E 为' G中的匹配。 （2）如果 E ' 是G中的匹配，并且对于G中的一切匹配 E '' ，只要 E'E'' 必 有 E'E'' ，则称 为G中的极大匹配。
前言
在电子计算机问世后，图论的应用范围更加广泛，在解决运筹学、信 息论、控制论、网络理论、博奕论、化学、社会科学、经济学、建筑 学、心理学、语言学和计算机科学中的问题时，扮演着越来越重要的 角色，受到工程界和数学界的特别重视，成为解决许多实际问题的基 本工具之一。
本章将结合图论基础知识，进一步介绍一些常用的基本图类，如欧拉 图、哈密尔顿图、二部图、平面图、网络等，除研究每种图类的本质 特征之外，都力求结合一些实际问题来阐明图论的广泛可应用性，介 绍一些最基本的图论算法，使读者对图的理论和应用这两个方面都有 一定的了解。
解：将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5个结点的无向图。
由题意，对每个结点 v i ，有d(vi)2(i1 ,2,3 ,4,5) 则对任两点 v i ，vj(i,j1,2,3,4,5)均有d (v i) d (v j) 2 2 4 5 1
可知此图一定有一条哈密尔顿路，本题有解。
10.2 哈密尔顿图
10.2 哈密尔顿图
定理10.6 若 G 是哈密尔顿图，则对于结点集 V ( G ) 的任一非空真子集 S V (G) 有 (GS)≤S 。其中 G S 表示在 G中删去 S中的结点后所构
成的图，W (G S) 表示 G S 的连通分支数。
哈密尔顿图的必要条件可用来判定某些图不是哈密尔顿图，只要能够找到不满足定理条件 的结点集 V的非空子集 S。
定理10.4 设G为弱连通有向图。v 1 和 v 2 为G的两个不同结点。G有一条
从v 1
至v
2
的欧拉路径，当且仅当
d
G
(
v1
)
=
d
G
(
v1
)
+1，
d
G
(
v
2
)
=
d
G
(
v
2
)
-1，
且对G的其他结点v有
d
G
(
v
)
=
d
G
(
v
)
10.1 欧拉图
定理10.5 如果 G 1 和 G 2 是可运算的欧拉图，则 G1 G2 是欧拉
10.1 欧拉图
例10.1 图10.3中（a）是欧拉闭路，（c）是欧拉路径，（b）既不是欧 拉路径也不是欧拉闭路。
图10.3
10.1 欧拉图
定义10.2 每个结点都是偶结点的连通无向图称为欧拉图。每个结点的 出度和入度相等的连通有向图称为欧拉有向图。
例10.2 图10.4中（b）是欧拉有向图。
图10.4