苏教版数学高一【必修三】第一章《立体几何初步》综合检测

(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)
1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．
①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．
解析：①错误，异面直线也可能垂直．
②错误，应有无数条．
③错误，可能平行，相交或异面．
④正确．
答案：1
2．下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是________．
①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．
解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．
答案：③
3．(1)若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若四点中的每三点不共线，则此四点一定不共面；(3)两组对边分别相等的四边形是平面图形；(4)两个平面将空间分成3或4个部分．其中正确的个数是________．
解析：(1)与(4)正确．对于(1)，若三点共线，根据直线与直线外一点可以确定一个平面，知四点共面，故命题(1)正确；对于(4)，若两平面平行，则把空间分成3个部分，若两平面相交，则把空间分成4个部分；对于(2)，如平行四边形无三点共线，但却是平面图形，即四点共面；对于(3)，如正四面体中的任两条相对棱都相等，但由这四个顶点组成的图形不是平面图形．
答案：2
4．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，
∴①正确，②错误；
棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；
棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；
棱锥A1－ABC符合⑤，∴⑤正确．
答案：①③④⑤
5．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．
①SG ⊥平面EFG ②SD ⊥平面EFG
③GF ⊥平面SEF ④GD ⊥平面SEF
解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ；
在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，
∴SG ⊥平面EFG .
答案：①
6．正方体的表面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________．
解析：设正方体棱长为b ，则3b ＝2R ，
S 球＝4πR 2＝4π·(32
b )2＝3πb 2， 又a 2＝6b 2，
∴S 球＝π2
a 2. 答案：π2
a 2 7．(2010年高考湖南卷)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.
解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面
ABC ，BA ⊥AC .
由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12
×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4. 答案：4
8．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．
解析：由P －ABC 为正三棱锥知，PB ⊥AC ，又由DE ∥AC 得，AC ∥平面PDE .
答案：①②
9．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．
解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S 4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4S π
. 答案：S 4S π
10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去三棱锥B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________．
解析：截出的三棱锥底面积为长方体底面面积的12，两者的高一样，V ＝13×12V 长＝16
V 长．
答案：16
11．(2010年高考湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放
入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的
球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为r cm ，
则πr 2×8＋43
πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：4
12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C
的表面积与正方体的表面积的比为________．
解析：设正方体的棱长为a ，则S 正＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C
的棱长为2a ，S 正四面体＝4·34
(2a )2＝23a 2， 所以S 四面体S 正方体
＝236＝33 . 答案：
33
13．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．
解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .
∵是正三棱柱，
∴CO ⊥AB ，AC 1＝BC 1.
∴CO ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．
又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32
，OC 1＝ 3. 下面用等体积法求距离．
VC 1－ABC ＝VC －ABC 1，
∴13S △ABC ·CC 1＝13
S △ABC 1·d ， 即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34
. 答案：34
14．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，如图，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________．
解析：由题意可知球的直径为长方体的体对角线B 1D ， ∴R 球＝12＋12＋(2)2
2
＝1. 设B 1D 的中点为M ，则M 为球的球心，
故△ABM 为边长为1的正三角形，∴∠AMB ＝π3
， ∴A ，B 两点间的球面距离为π3
. 答案：π3
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)画一个侧棱长为4 cm ，底面边长为4 cm 的正四棱锥的三视图
和直观图，并求其表面积．
解：正四棱锥的三视图和直观图如图所示．
此正四棱锥的表面积为S 表＝4×
34
×42＋42＝16(3＋1)(cm 2)．
16．(本小题满分14分)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，
点P 是平面ABCD 外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，
过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，
求证：AP ∥GH .
证明：
连结BM 、AC ，设AC ∩BD ＝O ，连结MO .
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴MO ∥PA .
又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，
∴PA ∥平面BDM .
又∵平面BDM ∩平面PAG ＝GH ，PA ⊂平面PAG ，
∴PA ∥GH .
17．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA
⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且二面角P －CD －B 为
45°.求证：
(1)AF ∥平面PEC ；
(2)平面PEC ⊥平面PCD .
证明：(1)如图，取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，因为F 是PD 的
中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，而AE ∥CD ，且AE ＝12
CD ，所以EA ∥GF ，且EA ＝GF ，故四边形EGFA 是平行四边形，从而EG ∥AF ，
又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，所以AF ∥平面PEC .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥
平面PAD ，所以CD ⊥PD ，则∠PDA 就是二面角P －CD －B 的平面角，
所以∠PDA ＝45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ，所以AF ⊥平面PCD ，由(1)知，EG ∥AF ，所以EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .
18．(本小题满分16分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则120360
πl 2＝3π， ∴l ＝3.又∵2π3×3＝2πr ，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝2 2.
∴S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，
V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223
π.
19．(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH∥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求圆锥的体积．
解：(1)证明：∵OH⊥SC，SO⊥OH，SO∩SC＝S，
∴OH⊥平面SOC，∴OH⊥OC.∵QB的中点为C，
∴OC⊥QB.∵QB、OC、OH在同一平面内，
∴OH∥QB，QB⊂平面SBQ，OH⊄平面SBQ，
∴OH∥平面SBQ.
(2)∵∠AOQ＝60°，AO＝QO，∴∠BAQ＝60°.
在Rt△ABQ中，AB＝
BQ
sin 60°＝
23
3
2
＝4.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴圆锥的高SO＝1
2AB＝2.
∴V圆锥＝1
3
π(
AB
2)
2·SO＝
1
3
π·4·2＝
8
3
π.
20．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD
是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD
＝AD＝1.
(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求三棱锥P－ABC的体积．
解：
(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N
分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE⊂
平面MNE，ME∩NE＝E，
所以平面MNE∥平面PCD，
所以MN∥平面PCD.
(2)证明：因为ABCD为正方形，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P－ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，
所以三棱锥P－ABC的体积V＝1
3S△ABC·PD＝
1
6.。