三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题05-函数图象与方程

专题05 函数图像与方程
考纲解读明方向
1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.
2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.
分析解读
函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:
1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;
2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;
3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.
命题探究练扩展
2018年高考全景展示
1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，因为，所以为
奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0）
B. [0，+∞）
C. [–1，+∞）
D. [1，+∞）
【答案】C
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
3．【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】B
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
4.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显
不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：
，很明显不是方程的实数解，则，令，其中
，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
6．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到
的取值可得零点个数。

详解：，
，由题可知
，或
，解得
,
或
，故有3个零点。

点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。

2017年高考全景展示
1.【2017山东，理10】已知当0,1x ∈时，函数1y mx =-的图象与y m =
的图象有且只有一
个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(]
)
0,1
23,⎡+∞⎣
（B ）(][)0,13,+∞
（C ）(
)
23,⎡+∞⎣
（D ）(
[)3,+∞
【答案】B
【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
1.【2016高考新课标1卷】函数y
（A ）（B ）
（C ）（D ）
【答案】D
【解析】函数f (x )=2x 2–e |x |
在[–2,2]上是偶函数,其图象关于y 轴对称,因为
22(2)8,081f e e =-<-<,所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时,4x y x e '=-有一零点,设为0x ,当
0(0,)x x ∈时,()f x 为减函数,当0(,2)x x ∈时,()f x 为增函数．故选D.
考点：函数图像与性质
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
2.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,
log (1)13,0
3)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递
减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，
23] （B ）[23，34
] （C ）[13，2
3]
{
34
}（D ）[13，2
3）
{
3
4
} 【答案】C
考点：函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
3. 【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a
f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩
.
①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】
试题分析：如图作出函数3
()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，
(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，
①当0a =时，33,0
()2,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；
②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由3
32a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．
考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.
【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
【2016高考山东理数】已知函数2||,
()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩
其中0m >，若存在实数b ，使得关于x
的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】 试题分析：
画出函数图象如下图所示：
由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >
考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.。