新高考数学人教A版一轮总复习课件4.2导数的应用应用篇
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应用探索
例 为了满足广大人民群众日益增长的体育需求,为了纪念北京奥运会 成功举办,国务院批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”, 为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长方 形地块ABCD,边AB为2 km,AD为4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分), 其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部 分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F 分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计), 将隔离出的△BEF作为健身场所.则△BEF面积S的最大值为
(单位:平方千米).
解析 以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,可得C (2,4).设边缘线AC所在的抛物线对应的解析式为y=ax2(a≠0),把C(2,4)代 入得a=1,所以抛物线对应的解析式为y=x2.设点P(t,t2),因为y'=2x,所以过点 P的切线EF的方程为y=2tx-t2,
,
2
,
所以S在t∈
0,
4 3
上是增函数,在t∈
4 3
,
2
上是减函数,
所以S在t∈(0,2]上的最大值在t= 4 处取到,为 64 .
3
27
答案 64
27
令y=0,得E
t 2
,
0
;令x=2,得F(2,4t-t2),所以△BEF的面积S=
1 2
2
t 2
(4t-t2),
即S= 1 (t3-8t2+16t),t∈(0,2],
4
故S'=
1 4
(3t2-16t+16)=
3 4
(t-4)· t
4 3
.由S'>0,得t∈
0,
4 3
,由S'<0,得t∈
4 3
例 为了满足广大人民群众日益增长的体育需求,为了纪念北京奥运会 成功举办,国务院批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”, 为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长方 形地块ABCD,边AB为2 km,AD为4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分), 其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部 分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F 分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计), 将隔离出的△BEF作为健身场所.则△BEF面积S的最大值为
(单位:平方千米).
解析 以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,可得C (2,4).设边缘线AC所在的抛物线对应的解析式为y=ax2(a≠0),把C(2,4)代 入得a=1,所以抛物线对应的解析式为y=x2.设点P(t,t2),因为y'=2x,所以过点 P的切线EF的方程为y=2tx-t2,
,
2
,
所以S在t∈
0,
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上是增函数,在t∈
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上是减函数,
所以S在t∈(0,2]上的最大值在t= 4 处取到,为 64 .
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答案 64
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令y=0,得E
t 2
,
0
;令x=2,得F(2,4t-t2),所以△BEF的面积S=
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t 2
(4t-t2),
即S= 1 (t3-8t2+16t),t∈(0,2],
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故S'=
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(3t2-16t+16)=
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(t-4)· t
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.由S'>0,得t∈
0,
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,由S'<0,得t∈
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