高中数学 椭圆习题精选精讲素材 新人教A版选修2-1

椭圆习题精选精讲
〔1〕第一定义——把椭圆从圆中分离
椭圆从圆〔压缩〕变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.
[例1] 假设点M 到两定点F 1〔0，-1〕，F 2〔0，1〕的距离之和为2，那么点M 的轨迹是 〔 〕
A .椭圆
B .直线21F F
C .线段21F F
D .线段21F F 的中垂线.
[解析]注意到
122,F F =且122,MF MF +=故点M 只能在线段21F F 上运动，即点M 的轨迹就是线段21F F ，选C.
[评注]椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.
〔2〕勾股数组——椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴a 、b 和半焦距c ，满足
.在a 、b 、c 三个参数中，只要或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继
而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.
[例2]圆()1003:
2
2=++y x A ，圆A 内一定点B 〔3，0〕
，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. [解析]如图，设两圆内切于C ，动点P 〔x ，y 〕， 那么A 、P 、C 共线. 连AC 、PB ，∵
10PA PB AC +==
为定长，而A 〔-3，0〕，B 〔3，0〕为定点，∴圆心P 的 轨迹是椭圆.且5,3,4a
c b ==∴=.所求轨迹方程为：
2212516
x y +=.
〔3〕第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟
如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义那么给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.
[例3]椭圆13
42
2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧部分上找一点P ，使它到左准线的距离是它到两焦点F 1，F 2距离的比例中项. [解析]由椭圆方程知：1
2,3,1,2
a b c e ==∴==
. 椭圆的左准线为：:4l x
=-.设存在椭圆上一点P 〔x ，y 〕
〔x<0〕符合所设条件.作PH ⊥l 于H.令
1122,,PH d PF r PF r ===，那么有：
2
21212PH PF PF d r r =⋅⇒=.但是
12111
,2422
r ed d r a r d ===-=-.
∴2
118
4225
d
d d d ⎛⎫=
⋅-⇒= ⎪⎝⎭.又8124,455d x x =+∴=-=-.
X
Y
A(-3,0)B(3,0)P(x,y)
C
X
Y
F 1(-1,0)
O
F 2(1,0)
H
L:x=-4
1
r 2
r d
P(x,y)
这与[]2,2x ∈-矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点.
● 通法 特法 妙法
〔1〕解析法——解析几何存在的理由
解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.
[例4]点P 〔x ，y 〕在椭圆4)
2(422
=+-y x 上，那么
x
y 的最大值为 〔 〕
A.1
B.-1
C. 332-
D. 33
2 [解析]设
()1y
k y kx x
=⇒=
方程〔1〕表示过椭圆()2
2
214
y x -+=上一点P 〔x ，y 〕 和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，y k x
=
最大.将方程〔1〕代入椭圆方程得：
()()()2
2222424416120
2x k x k x x -+=⇒+-+=
由于直线与椭圆相切，故方程〔2〕应有相等二实根.由
()22425648403k k ∆=-+=⇒=
.∵k>0
，∴取k =
D. [评注]直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离那么要求这个判别式小于零.
〔2〕导数法——把方程与函数链接
由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.
[例5]求证：过椭圆22
221x y a b
+=上一点()00,M x y 的切线方程为：00221x x y y a b +=.
[证明一]〔解析法〕设所求切线方程为：
()00y y k x x -=-，代入椭圆方程：
()2
2222200b x a kx kx y a b +-+=.化简得：
()()()()2
2
2
22222000020
1k a
b x ka kx y x a kx y b ⎡⎤+--+--=⎣⎦
∵直线与椭圆相切，∴方程〔1〕有相等二实根.其判别式△=0，即：
()()()2
2
24222220000440k a kx y a k a b kx y b ⎡⎤--+--=⎣⎦
. 化简得：()()2
2
2
22000020
2k
a
x kx y b y -++-=
∵点()00,M
x y 在椭圆上，∴22222200b x a y a b +=，方程〔2〕之判别式
()()()2222
2222222222221000000000044440x y a x b y x y a b b x a y x y ∆=---=---+=.
故方程〔2〕亦有相等二实根，且其根为：
2220000000
22
2222222
0000
x y b x y b x y b x k a x a b b x a y a y =-=-=-=---.那么切线方程为：
()20
0020
b x y y x x a y -=--.再化简即得：00221x x y y a b +=.
[证明二]〔导数法〕对方程22
221x y a b
+=两边取导数：
22022220
220b x x y y b x
y k a b a y a y '⋅'+=⇒=-⇒=-.那么切线方程为：
()20
0020
b x y y x x a y -=--.再化简即得：00221x x y y a b +=.
[评注]〔1〕两种证法的繁简相差多大，一看便知
〔2〕这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.
〔3〕几何法——为解析法寻根朔源
减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.
[例6]〔07.湖南文科.9题〕设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=〔
0a b >>〕的左、右焦点，P
〔c 为半焦距〕的点，且12
2||||F F F P =，那么椭圆的离心率是〔 〕
A
．
1
2
B ．
1
2
C
．
1
2
D
．
2
[解析]
如图有2a P c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设右准线交x 轴于H ，
∵212
2||||2,60F P F F c PH PF H ===∠=︒且，故
2221222
a F H c OH c e e c ∴===⇒=⇒=
，，选D.
[例7]椭圆
14
22
=+y x 和圆()2a x -12=+y 总有公共点，那么实数a 的取值范围是 〔 〕
[][][].
.4,4.3,3.2,2AR B C D ---
[解析]如右图椭圆14
22=+y x 的中心在原点， 且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆()2a x -12=+y
的圆心为C 〔a ，0〕且半径R=1.
显然，当圆C 从椭圆左边与之相切右移到椭圆
X
O Y C(a,0)
1
-1
2
-2
右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a ∈
[]3,3-，选C.
在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.
〔4〕转移法——将生疏向熟知化归
做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原那么的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体表达.
[例8]〔06.全国一卷.20题〕在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点，离心率为
2
3
的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x,y 轴的交点分别为A,B 且向量OM=OA+OB .试求点M 的轨迹方程
[分析]点P 在轨迹〔椭圆在第一象限的部分〕上， 是主动点；点M 在未知轨迹上，且随着点P 的运动而运动，是 被动点.故本例是典型的国际轨迹求未知轨迹，适合用坐标 转移法解之.此外，过椭圆上一点P 的切线方程，可以直接运用 例5的结论.
[解析]
椭圆的半焦距c =
c e a ==
2a ∴=长半轴，短半轴b=1.又椭圆的焦点在y 轴上，故其
方程为：
2
214
y x +=. 设点P 的坐标为
()()0000x y x y ，，0，
那么()2
2
00114
y x +=
过点P 的椭圆切线方程为：
()00124
y y
x x +=
在方程〔2〕中，令y=0，得0000114
4000x
A x y
B x x y y ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，有，；再令，得，有，. 设点M 的坐标为
()x ，y .由OM=OA+OB ⇒()0000141400x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
x ，y ，，， 00
001
14
4x x x x y y y y ⎧
⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩
⎩
，代入〔1〕：
22141x y
+=. ∵()()000102x y ∈
∈，，，
，∴所求点M 的轨迹方程是：()22
14
1x x y +=1，y 2.
转移法求轨迹方程的基本步骤是：〔1〕在轨迹上任取一点M 〔x 0，y 0〕，并写出其满足的关系式；〔2〕设P 〔x ，y 〕为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；〔3〕用x ，y 的代数式分别表示x 0，y 0，代入〔1〕中的关系式化简即得.
X
Y O
A
B
P(x , y 00)
M(x,y)
图2
〔5〕三角法——与解析法珠联璧合
三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：sin x a cos y b θ
θ=⋅⎧⎨=⋅⎩
，既将
点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.
[例9]假设P 是椭圆
13
42
2=+y x 上的点，F 1和F 2是焦点，那么21PF PF k ⋅=的最大值和最小值分别是
[解析]椭圆的长、短半轴分别为a=2，
b=，∴半焦距
c=1.焦点坐标分别为：F 1〔-1，0〕，F 2〔1，0〕.
设椭圆上一点为
()2cos P θθ
，那么
12cos PF θ=
==+.
同理；
22cos PF θ=-.于是
()()2
122cos 2cos 4cos k PF PF θθθ
=⋅=+-=- 故所求最大值为4，最小值是3.
[例10]如图1，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F 〔3，0〕，右准线l 的方程为：x = 12。

〔1〕求椭圆的方程； 〔2〕在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ， 使13322
1FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明
|
|1||1||1321FP FP FP +
+为定值，并求此定值.
[分析]此题选自07.重庆卷.22题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否那么将陷入繁杂的计算而不得自拔.
有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的 第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 的解题途径是：〔1〕利用椭圆的第二定义；〔2〕 题中有3个相等的角度，应不失时机地引入三角 知识.
[解析]椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12
2
222212,12336,27a a b a c c ⇒=∴=⨯==-=.
故椭圆方程为：
22
13627
x y +=，其离心率12e =. 如图2设()()()1
11222333,,,,,P x y P x y P x y 为椭圆上符合条件的三点，令1
12233,,FP r FP r FP r ===.作P 1H 1⊥l 于H 1，令
111PH d =，
设∠P 1Fx=θ那么∠P 2Fx=θ+120°∠P 3Fx=
120°-θ.于是
()111
122
r ed x ==
-，而
1111193cos ,29cos 2cos x r r r r θθθ
=+∴=-⇒=
+.
同理：2
399
,2cos(120)2cos(120)
r r θθ=
=
+︒++︒-.于是 ()()()12311112cos 2cos(120)2cos(120)||||||
9FP FP FP θθθ++=+++︒+++︒-⎡⎤⎣⎦ []12
6cos 2cos120cos 93
θθ=
++︒=，故为定值. 如果读者有极坐标的有关知识，那么此题的解法将更为简洁 圆锥曲线的极坐标方程是：1cos ep
e ρ
θ
=
-.其中e 是椭圆的离心率，p 是相应焦点到准线的距离，θ是极径与极轴的夹角.
巧用定义求椭圆中四类最值问题
圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。

一、的最值
假设A 为椭圆内一定点〔异于焦点〕，P 是C 上的一个动点，F 是C 的一个焦点，e 是C 的离心率，求的最小值。

例1. 椭圆内有一点A 〔2，1〕，F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求的最小值。

分析：注意到式中的数值“〞恰为，那么可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P 到左准线的距离。

这种方法在本期《椭圆
中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。

二、
的最值
假设A 为椭圆C 内一定点〔异于焦点〕，P 为C 上的一个动点，F 是C 的一个焦点，求的最值。

例2. 椭圆内有一点A 〔2，1〕，F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求
的最大值与最小值。

解：如图1，设椭圆的右焦点为
，可知其坐标为〔3，0〕
图1
由椭圆的第一定义得：
可知，当P 为
的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为
，当P 为
的延长线与椭圆的交点时，
最小，最小值为。

故的最大值为，最小值为。

三、
的最值
假设A 为椭圆C 外一定点，为C 的一条准线，P 为C 上的一个动点，P 到的距离为d ，求
的最小值。

例3. 椭圆外一点A〔5，6〕，为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。

解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有：，即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。

故的最小值为10。

四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A〞，BB〞⊥于B〞，MM〞⊥于M〞
图3
那么
当且仅当AB过焦点F时等号成立。

故M到椭圆右准线的最短距离为。

评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。

椭圆中减少运算量的主要方法
椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。

一、追根溯源，回归定义
椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，那么可以大大地减少运算量。

例1. 〔全国高中数学联赛〕给定A〔-2，2〕，B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取得最小值时，求B点坐标。

分析：如果设点B的坐标，再求那么计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把转化为B点到左准线的距离就简单的多。

解：由椭圆方程得：，左准线为。

如图1，过B点作左准线的垂线，垂足为N。

过A点作此准线的垂线，垂足为M。

根据椭圆的第二定义得：
那么〔为定值〕
当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。

可解得B点的坐标是
二、充分运用平面几何性质
结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。

例2. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点。

当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____________。

分析：用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。

而充分运用平面几何性质那么会得以简解。

解：依题意
以原点为圆心，为半径作圆，那么是圆的直径。

假设P点在圆外，那么为锐角；假设P点在圆上，那么为直角；假设P点在圆内，那么为钝角。

联立
消去得：
故即为所求。

三、利用图形的性质化繁为简
细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。

例3. 〔四川高中数学竞赛〕P点在圆上移动，Q点在椭圆上移动，求的最大值。

分析：如图2，此题如能从图形出发，看到的最大值，等于的最大值与圆的半径之和，那么可避免大量的运算。

图2
解：设，那么，即
的最大值为
四、利用“点差法〞，设而不求
与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法〞减少运算量。

例4. 椭圆中，过点P 〔1，1〕的弦AB 恰被点P 平分，求弦AB 所在的直线方程。

解：设
，那么
由<1>－<2>得：
那么直线AB 的斜率为：
故弦AB 所在直线的方程为：
即
利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘述了。

椭圆
1椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=
2
10
，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨
⎧=++=1
12
2
ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,
Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,
∴
n m n n m n --
+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =4
3
② 由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+2
1y 2
=1
2()设椭圆的左焦点为（，），左准线与轴交
x a y b a b F x 222
2111020+=>>-l
于点（，），过点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点。

N N o -3030l A B
（）求直线和椭圆的方程；I l （）求证：点（，）在以线段为直径的圆上；II F AB 120-
（）在直线上有两个不重合的动点、，以为直径且过点的所有III l C D CD F 1
圆中，求面积最小的圆的半径长。

解：()（）直线：I y x l =+333 由已知，c a c ==23
2
解得：，a b a c 2222
6642
==-=-=∴椭圆方程为x y 22
621
+=
()（）解方程组II x y y x 2236013
332+-=<>=+<>
⎧⎨⎪
⎩
⎪
<><>++=<>212630
32代入，整理得：x x
()()设，，，A x y B x y 1122
则，·x x x x 121233
2+=-=
()()()()则··k k y x y x x x x x F A F B
1111221212221
33322=++=++++()[]=
++++++x x x x x x x x 1212121239324·()
=+-++-+⎡⎣⎢⎤⎦
⎥
=-3
23393322341()()∴⊥，即∠F A F B AF B o 11190=∴点，在以线段为直径的圆上F AB 120()-
〔III 〕面积最小的圆的半径应是点F 到直线l 的距离，设为r
∴为所求r =
⨯--+⎛⎝ ⎫⎭
⎪+=
3
3
2033311
2
2
()
()()221111y 2x y 2x B F A F II ，·，·）的解法二：（++=→
→ ()()=+++x x y y 121222
()()[]
=++++
+++x x x x x x x x 12121212241339()=+++=4
33701212x x x x
又，x x x x 121233
2+=-=
∴⊥，即∠F A F B AF B o
11190=()∴点，在以线段为直径的圆上）F AB 120-
3
1F 、2F 是椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足
O O OB OA (=+为坐标原点〕，0212=⋅F F AF ，假设椭圆的离心率等于
.2
2
〔Ⅰ〕求直线AB 的方程； 〔Ⅱ〕假设2ABF ∆的面积等于24
，求椭圆的方程；
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，椭圆上是否存在点M 使得MAB ∆的面积等于38
？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理
由.
解： 〔Ⅰ〕由O OB OA =+知直线AB 经过原点，又由
.0212212F F AF F F AF ⊥=⋅知
因为椭圆离心率等于
222
1,22,22a b a c ==所以，故 椭圆方程可以写成222
2a y x
=+， 设,21),,(a y y c A A A =
代入方程得所以)2
1,22(a a A ， 故直线AB 的斜率2
2=
k ，因此直线AB 的方程为
.2
2x y =
〔Ⅱ〕连接AF 1、BF 1，由椭圆的对称性可知2112
F AF ABF ABF
S S ∆∆∆==，
所以,8,16,24212212
2===⋅⋅b a a c 解得故椭圆方程为
.18
1622=+y x 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可以求得
,342)22(2222=+==OA AB
假设在椭圆上存在点M 使得MAB ∆的面积等于38
，
设点M 到直线AB 的距离为d ，那么应有38342
1
=⋅⋅d ，所以.4=d 设M 所在直线方程为06422=±-y x 与椭圆方程联立消去x 得方程0326842=+±y y
即
08622=+±y y 084)62(2<⨯-±=∆ 故在椭圆上不存在点M 使得MAB
∆的面积等于.38
4F 1、F 2是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0
=+OB OA 〔O 是坐标原点〕，
.0212=⋅F F AF 假设椭圆的离心率等于
.2
2
〔1〕求直线AB 的方程； 〔2〕假设三角形ABF 2的面积等于24
，求椭圆的方程；
．解：〔1〕由0=+OB OA 知，由直AB 经过原点，
又由
2122120F F AF F F AF ⊥=⋅知，因为椭圆的离心率等于
2
2，
所以222
1
,22a b a c ==
，故椭圆方程2222a y x =+ 设A (x ，y )，由0212=⋅F F AF ，知x = c ， ∴A (c ，y )，代入椭圆方程得
)21,22(,21a a A a y ∴=
， 故直线AB 的斜率.2
2
=k 因此直线AB 的方程为
.2
2x y =
〔2〕连结AF 1、BF 1、AF 2、BF 2，由椭圆的对称性可知2112
F AF ABF ABF
S S S ∆∆∆==，
所以2421221=⋅⋅a c ，又由a c 2
2=，解得8816,162
2=-==b a ，故椭圆的方程为
.181622=+y x 5 椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，它的上下顶点分别是A 、B ，点M 是椭圆上的动点〔不与A 、B 重合〕，直线AM 交直线y=2于点N ，
且BN BM
⊥.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕假设斜率为1的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，求证：OQ OP +与向量a=〔－3，1〕共线〔其中O 为坐标原点〕. ．解：〔I 〕由题意，A 〔0，1〕，B 〔0，－1〕，设M 〔x 0，y 0〕，x 0≠0. ∴那么直线AM 的方程为
11
0+-=
x x y y 0)1(31
,
0,3)3,1
(
),1,().2,1(1
1
,
2002000
000000=++-∴=⋅∴⊥-=+=∴-⎪⎩
⎪
⎨⎧+-==y y x BN BM BN BM y x BN y x BM y x N x x y y y 分得由
0)1(320
20=-+∴y x ①， 又∵M 〔x 0，y 0〕在椭圆上，12
220=+∴y a
x ② ①、②联立并消去y 0，得
,3,031,0,
032
20220
20
==-
∴≠=-a a
x a x x 即 ∴椭圆方程为.13
22
=+y x 〔II 〕解法一：设直线PQ 方程为y=x +b.
分
共线与故分
为方程的两根则设分得由12.)1,3().
1,3(2)2,23(),(10..2
2232,
2
3
,),,(),,(90336413
,2121212121212211222
2 -=+-=-=++=+∴=+-=++=+-=+∴=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=a OQ OP b
b b y y x x OQ OP b
b b b x x y y b x x x x y x Q y x p b bx x y x b x y
解法二：设13),,(),,(21212211=+y x y x Q y x P 则①， 132
22
2=+y x ②. ①－②，得
03
2
2212
221=-+-y y x x ， 分
共线与故分分
即又分
则12.)1,3(11),1,3)(()),(3(),(10).(3,1)
(3,18)
(321212121212121212
1212
12121 -=+-+=++-=++=+∴+-=+=++-
∴=++-=--=
a OQ OP y y y y y y y y x x OQ OP y y x x y y x x K y x x x x x y y K PQ PQ
6直线)0(1:01:22
22>>=+=-+b a b
y a x C y x l 与椭圆相交于A 、B 两点，且).32,34(=+OB OA 〔I 〕求椭圆C 的离心率；
〔II 〕假设椭圆C 的右焦点关于直线l 的对称点在圆522
=+y x 上，求椭圆C 的方程.
解：〔I 〕设
),(),,(2211y x B y x A .),32,34(=+OB OA 3
2
,342121=+=+∴y y x x
由0112)11(,
1,
01222222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+b x b x b a b y a
x y x 得.
该方程的两根为21,x x ，由韦达定理，得.34
1122
22
21
=+=
+b a b x x 222b a =∴
22222222,c a a c a b -=∴-= ，2
2,222==
∴=∴a c e c a
〔II 〕设椭圆的右焦点为F 〔c ，0〕，F 关于直线l 的对称点为),(00y x P ，
那么⎩⎨
⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-++.1,1,
1,0122
00000
0c y x c
x y y c x 解得上在圆522=+y x P 5)1(12=-+∴c
)(13舍或-=∴c 9,1822
2
2
2
====∴c b c a 故所求椭圆方程为
19
182
2=+y x . 7定点A 〔－2，0〕，动点B 是圆64)2(:22=+-y x F 〔F 为圆心〕上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 。

〔1〕求动点P 的轨迹方程； 〔2〕直线
13+=x y 交P 点的轨迹于M ，N 两点，假设P 点的轨迹上存在点C ，使,OC m ON OM ⋅=+求实数m 的值；
解：〔1〕由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8∴|PA|+|PF|=8>|AF|∴P 点轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆
设方程为)0(12222>>=+b a b
y a x 分
点轨迹方程为6 (112)
1612
4
2,4,822
22
2222=+∴=∴===-==∴y x P b c b a a a
〔2〕设OC m ON OM
y x C y x N y x M =+ ),(),(),(002211
分
得：由10 (5)
2
2)(3,15
3
80
443815,112161
3,),(),(2121212222
1
021*******=++=+-
=+∴=-+⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=+=+=
∴=++∴x x y y x x x x y x x y m
y y y m x x x y x m y y x x 12512425516364112
1652
15382
22
200=⨯+⨯⨯∴=+=
-
=∴m m y x C m y m x 上，
在椭圆 15
15
,1512±
=∴=
∴m m ………………………………14分 8椭圆的)0(12222>>=+b a b
y a x 一个顶点为A 〔0，1〕，且它的离心率与双曲线1322
=-y x 的离心率互为倒数.〔I 〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕过A 点且斜率为k 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点M 在椭圆上，并且满足OB OA OM
2
3
21+=
，求k 的值. 解：〔Ⅰ〕∵双曲线3
3
23131322=
+=-的离心率为y x ∴椭圆的离心率为
2
3。

∵椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个顶点为A 〔0，1〕，∴b=1
14,4,2312222
2=+∴=∴=-∴y x a a
a 椭圆的方程为 〔Ⅱ〕过A 点且斜率为k 的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y 并整理得
08)41(22=++kx x k 显然这个方程有两解。

设则可解得),,(),,(),,(2211y x M y x B y x A
2
2
22112
2141411,11,
418,0k k kx y kx y k k x x +-=
+==+=∴+-=
=
即A 〔0，1〕，B )4141,418(222k
k k k +-+- )4141,418(23)1,0(21),(2
2
2k k k k y x +-+-+=∴ )
41(2)31(431,413422
2
k k y k k x +-++=+-=∴将E 点的坐标代入到椭圆方程中，并去坟墓可得
22222)41(4)]31(4)31[(48k k k +=-+++展开整理得2
1
,1614±=∴=
k k 方法二：
〔Ⅱ〕过A 点且斜率为k 的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y 并整理得
08)41(22=++kx x k ①显然这个方程有两解。

设则),,(),,(),,(2211y x M y x B y x A
分
8...............).........3(2
1
),3(21),(23
),(21),(,232121212211y y y x x x y x y x y x OB OA OM +=+=∴+=∴+=
∵点M 在C 上，22212213)3(43)3(41b y y x x =+++∴
22121222221213]3632)3(3)3[(4
1
b y y x x y x y x =++++++∴ 032121=+∴y y x x 03)(3)31(,0)121
)(121(3212122121=++++=+++∴x x k x x k x x x x 即②
又由①式知：.418,02
2121k
k
x x x x +-=+= 代入到②式得2
1,1612
±=∴=k k 9 椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点)5,3(-的直线l 与向量〔－2，
5〕平行且通过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于A 、
B 两点，又
.2FB AF = 〔1〕求直线l 的方程； 〔2〕求椭圆C 的方程.
〔1〕直线l 过点)5,3(-且与向量〔－2，5〕平行
那么l 方程为：
5
523+=
--y x 化简为：
)1(25--=x y 〔2〕设直线)1(25--
=x y 与椭圆12222=+b
y a x 交于A 〔),(),,2211y x B y x
由
2122y y BF AF -=-=，求得
将222222152
b a y a x b y x
=++-
=代入中整理得0)1(5
4)54(222
222=-+-+a b y b y a b
由韦达定理可知：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧
-=+-=⋅-=+=+②
①
22
2
222212
22221254)1(5454y a b a b y y y a b b y y ………………9分
由①2/②知32b 2=〔4b 2+5a 2〕〔a 2－1〕 又2
2
b a -=1，故可求得,3
42
2
⎪⎩⎪⎨⎧==b a 因此所求椭圆方程为：13422=+y x 10椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，短轴长22，直线x c a x l 与2
:=轴相交于点A ，且||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设以PQ 为直径的圆恰好经过原点，求直线PQ 的方程。

解：〔Ⅰ〕由得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
-==-=)(222
2
22c c a c b c a b 解得 2,2,6===c b a ∴ 椭圆的方程为 12622=+y x 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得A 〔3，0〕 设直线PQ 的方程为
)3(-=x k y 由方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126
)
3(2
2
y x x k y 得
062718)13(2222=-+-+k x k x k
依题意
0)32(12)627)(13(4)18(22222>-=-+--=∆k k k k 得 3
6
36<
<-
k 设136
27,1318),(),,(222122212211+-=+=+k k x x k k x x y x Q y x P ，则
1
33]9)(3[)3()3(22
21212
2121+=++-=--=k k x x x x k x k x k y y
∵,01
3313627022222121=+++-∴=+k k k k y y x x ，
解得 )36,36(55-∈±=k ∴直线PQ 的方程为 )3(55-±=x y。