最新人教版八年级下册数学 16.3二次根式的加减课件

7.5dm
5dm S=18dm2
S=8dm2
8+ 18
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中 各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
解：列式如下：
8+ 18
2 2+3 2 （化成最简二次根式） （2+3） 2 （逆用分配律）
5 2.
在有理数 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立.
探究新知
知识点 1 二次根式的混合运算 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体 现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 素养考点 1 考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力 例1 计算：
（1）（ 8 3） 6 （2）（4 2 - 3 6） 2 2
解：（1）（ 8 3） 6 （2）（4 2 - 3 6） 2 2
二次根式 加减
法则
一般地，二次根式加减时， 可以先将二次根式化成最简二次 根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并.
注意
运算原理 运算顺序
运算律仍然适用
与实数的运算 顺序一样
第二课时
二次根式的混合运算
返回
导入新知
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
你能用字母表示这一结论吗？
m(a+b+c) = ma+mb+mc
27
33
9 15
巩固练习
4.下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
5.已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其 周长为_1_2__3__.
16
探究新知
素养考点 2 二次根式的加减混合运算
例3 计算: （1）2 12 - 6 1 3 48
∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为
时，
∵2 6 2 6 4 6＞5 2，
∴此时能构成三角形，周长为
19
巩固练习
7. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2， 求圆环的宽度d(两圆半径之差).
解： R r
S
s
18
8
R-r
3 2 2 2 2
答：圆环的宽度d为 2 cm.
（2）4 18 - 9 2 =_3__2
（3）10 2 （3 8 - 7 2）=_9__2
（4）5 12 （- 3 8 2 27）=__4__3_-6__2__
课堂检测
基础巩固题
5.计算: (1)5 8 - 2 27 18
解：(1)5 8 - 2 27 18
10 2-6 3 3 2
(2) 2 18 - 50 1 45
解：（1）（ 6 - 3）（ 2 3） （2）（2 2）（1- 2）
6 2 6 3- 3 2- 3 3 = 2-2 2 + 2- 2 2
12 3 2- 6-3
= 2-2 2 + 2-2
2 3 3 2- 6-3
=- 2.
35
探究新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知识点 2 利用乘法公式计算二次根式
回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2.
xa
x5
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足
a
2
8
b5 c3 2 0
.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5, c 3 2 ；
(2)能.理由如下： ∵
即a＜c＜b，
又∵
∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
26
课堂检测
拓广探索题
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b ，
求（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b=
，
∴（2*3）－（27*32）
= 2 3 3 27 3 32
=
=
27
课堂小结
探究新知
知识点 1 二次根式可以合并的条件 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
a
a
aa
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
a
aa 你发现 了什么？
当a= 2 时，分别代入左右得 2 2 3 2=5 2 ;
当a= 3 时，分别代入左右得 2 3 3 3=5 3 ;......
巩固练习 连接中考
1.（2018•曲靖）下列二次根式中能与 2 3合并的是（ B ）
A． 8
1
B．3
C． 18
D．9
2.（2019•兰州）计算： 12 - 3 ＝（ A ）
A． 3
B．2 3
C．3
D．4 3
课堂检测
基础巩固题
1. 与 12 能合并的二次根式是( D )
A. 32 B. 24
C.
12 5
14
探究新知
素养考点 1 二次根式的加减计算
例2 计算:
（1） 80 - 45
（2） 9a 25a
（3） 8 1
50
（4）3 12 - 1
27
解：（1） 80 - 45 4 5-3 5
（2） 9a 25a 3 a 5 a
（3） 8
1 50
2 2 1 52
2 2 2 10
（4）3 12 - 1 6 3- 1 6 3 3
A. 2
B. 5
C. 8
D. 12
2.下列二次根式，不能与 12 合并的是__②___⑤___(填 序号）.
① 48;②- 125;③ 11;④ 3;⑤ 18. 32
探究新知 素养考点 1 利用二次根式可以合并的条件求字母的值
例1 若最简二次根式 2n1 3m 2n 与 3可以合并，求 mn 的值.
（2）若两个最简二次根式 3ba 2a 3b 与 a 4 可 以合并,则a=__1___，b=__1_____.
探究新知
知识点 2 二次根式的加减 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式， 在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和?
13
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成
最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.
36
探究新知
素养考点 1 考查利用乘法公式计算二次根式的能力
例3 计算： （1）（ 5 3）（ 5 - 3） （2）（ 3 2）2
解：（1）（ 5 3）（ 5 - 3） （2）（ 3 2）2
3）（2
3）]2017 （2
3）2
2
3 2
12017 （7+4 3） 3
38
巩固练习
3. 计算： （1）（2 2 -1）2 （2）（ 2 - 3）（ 5 7）（ 2 3） 解：（1）（2 2 -1）2 （2）（ 2 - 3）（ 5 7）（ 2 3）
2
2 2 1 2 2 2 12 2- 3 2 3 5 7
（ 5）2 （ 3）2
（ 3）2 2 3 2+22
37
探究新知
拓展计算：
（1）（2 2 - 3）2018 （2 2 3）2018
（2）（2- 3）201（7 2 3）2019 -2 - 3
2
解：(1)原式 =[（2 2 3）（2 2+3）]2018
=（ 1）2018
(2)原式 （[ 2 -
3
解：（1）2 12 - 6 1 3 48
3
4 3 2 3 12 3
（2）（ 12 20）（ 3 - 5） （2）（ 12 20）（ 3 - 5）
12 20 3 5
2 32 5 3 5
计算时，有括 号，一定要先
去括号！
17
巩固练习
6.计算
(1) 18
98 27
；（2） 24
归纳总结 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同， 则这样的二次根式可以合并. 注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化 为最简二次根式再判断. 2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式) 相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
巩固练习
1.下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ D ）
0.5
1 8
6 .
解：原式 3 2 7 2 3 3
10 2 - 3 3
解：原式 2 6 2 2 6
24 3 6 2
4
探究新知 素养考点 3 二次根式的综合性题目
例4 有一个等腰三角形的两边长分别为 5 2,2 6 ，求其周长.
解：①当腰长为
时，
∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6，
3
(2)2 18 - 50 1 45
3
6 2-5 2 5
13 2 - 6 3
2 5
24
课堂检测
基础巩固题
6.如果最简二次根式 3a 8 与 17 2a 可以合并，那么要
使式子 4a 2x 有意义，求x的取值范围.
xa
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴ 4a 2x 20 2x ,
解：由题意得
2n 1 2, 3m 2n 3,
解得
m
4 3
,
n
1 2
,
即
mn 4 1 6 . 32 3
提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开 方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.
巩固练习
3.完成下列各题： （1） 8 与最简二次根式 m 1 能合并，则m =___1__.
2 - 2 2 -15 -13 - 2 2
【思考】（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式； 第三步的依据是：合并同类项．
巩固练习
2.计算： （1）（ 6 - 3）（ 2 3） （2）（2 2）（1- 2）
8 6 3 6
4 2 2 2-3 6 2 2
巩固练习
1.计算：（1） 2 3 5 （2） 80 40 5
解：(1)原式 2 3 2 5 (2)原式 80 5 40 5
6 10
42 2
探究新知
素养考点 2 考查二次根式的多项式乘法运算能力 例2 计算： （1）（ 2+3）（ 2-5） ； 解：（1）原式 （ 2）2 3 2-5 2-15
2.下列计算正确的是 （ C ）
D. 6
1 27
A. 2 2 2 B. 3 2 3 2 C. 12 3 3 D. 3 2 5
课堂检测 基础巩固题
3.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的周 长为___5 _5_+_2__1_0 _.
4.计算: （1）5 2 18 =_8__2
Q 18 3 2 5,5 2 7.5
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
转化 思路： 单×多
分配律
单×单
【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同 学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
素养目标
2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺 序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然 适用. 1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行 二次根式的混合运算.
人教版 数学 八年级 下册
16.3二次根式的加减
第一课时 第二课时
1
第一课时
二次根式的加减运算
2
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导入新知
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能 根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
素养目标
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算. 2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减 运算法则. 1. 理解二次根式可以合并的条件.
探究新知
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
a
b
b
2a+3b
这两个二次根
a
b
式可以合并吗？
当a= 2 ,b= 8 时，得2a+3b= 2 2 3 8 . 因为 3 8 3 22 2 6 2，由前面知两者可以合并. 你又有什么发现吗?
探究新知
39
探究新知 素养考点 2
有关代数式的二次根式运算
例3 已知x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2