人教A版高中数学必修四·必修4(人教A版).docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
数学·必修4(人教A 版)
模块综合检测卷
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，12，则下列结论中正确的是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a·b ＝2
2
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故
选C.
答案：C
2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π
3
弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32
D.⎝
⎛⎭⎪⎫
－32，12
解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝ ⎛ cos 4π
3，
⎭
⎪⎫
sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12
，－32.故选C.
答案：C
3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( 其中A >0，ω＞0，|φ|<π
2)的图象如图
所示，则f (0)＝( )
A ．1 B.12 C.22 D.3
2
解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π
3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)
＝sin π3＝3
2
.故选D.
答案：D
4．(2013·山东卷)将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移
π
8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.3π4
B.π4 C ．0 D ．－π4
解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．
y ＝sin(2x ＋φ)−−−−−−−→向左平移π
个单位
8
Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝ sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π
4
时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；
当φ＝π
4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π
4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.
答案：B
5．已知sin(π＋α)＝4
5且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值
是( )
A ．－45
B ．－35
C ．±45 D.35
解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，
又∵α是第三象限的角， ∴cos(2π－α)＝cos α＝－3
5.故选B.
答案：B
6．为了得到函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝
2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )
A ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
的1
3
倍(纵坐标不变) B ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来
的3倍(纵坐标不变)
C ．向右平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
的1
3
倍(纵坐标不变)
D ．向右平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来
的3倍(纵坐标不变)
解析：f (x )＝2sin x 向左平移π
6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把
g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x ＋π6.故选B.
答案：B
7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．90°
解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒ a ·b ＝－1⇒a ，b ＝
a ·
b ||a ||
b ＝－1
2 ⇒a ，b ＝120°.故选C.
答案：C
8．函数f (x )＝
sin x －1
2，x ∈(0,2π)的定义域是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，5π3
解析：如下图所示，
∵sin x ≥1
2，
∴π6≤x ≤5π
6.故选B. 答案：B
9.(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)．D (3,4)，则向量A B →在C D →方向上的投影为( )
A.322
B.3152 C ．－322 D ．－3152
解析：首先求出AB
→，AC →的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得AB
→＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|
＝1552＝322.故选A.
答案：A
10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α等于( )
A ．7 B.17 C ．－1
7 D ．－7
解析：因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π，32π，cos α＝－45，
所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝3
4.
所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α
1＋tan α
＝1－
341＋
34＝17，故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．已知向量m ＝(1,3)，n ＝(2a,1－a )，若m ⊥n ，则a ＝________.
解析：m ＝(1,3)，n ＝(2a,1－a )， m ·n ＝2a ＋3－3a ＝3－a ＝0， ∴a ＝3. 答案：3
12．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2，则
f (x )的最小值为________．
解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π
4＋x －3cos 2x －1
＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －π3， ∵π4≤x ≤π
2， ∴π6≤2x －π3≤2π3
， ∴1
2≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. ∴1≤2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π3≤2，
∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：1
13．(2014·汕头一模)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝1
2，则tan 2α＝
________.
答案：－ 3
14．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π2，有下列命题：
①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π
2；
②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为9
8
；
③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π
2可以得到函数g (x )
的图象．
其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝1
2sin 4x ，
周期T ＝2π4＝π
2
.故①正确．
②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x －142＋98，
∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值9
8.故②正确．
③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π
2
得到
sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确． 答案：①②
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．
(1)求OA →·OB →；
解析：OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.
(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．
解析：设P (m ，n )，∵P 在AB 上， ∴BA
→与PA →共线． BA
→＝(4,2)，PA →＝(1－m ，－2－n )， ∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0.
即2n －m ＋5＝0. ① 又∵OP
→⊥AB →， ∴(m ，n )·(－4，－2)＝0.
∴2m ＋n ＝0. ② 由①②解得m ＝1，n ＝－2， ∴OP →＝(1，－2)．
16.(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13
.
(1)求tan α的值；
解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13
， ∴tan α＝－12
.
(2)求2sin 2
α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．
解析：原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α
＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1
＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋1＝85.
17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6－2cos x .
(1)求函数f (x )的单调增区间；
解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6
－2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6. 由－π2＋2k π≤x －π6≤π2
＋2k π ，k ∈Z ， 得－π3＋2k π≤x ≤23
π＋2k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调增区间为－π3＋2k π，23
π＋2k π(k ∈Z)．
(2)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3的值．
解析：由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35
. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝725
.
18．(2013·安徽卷)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
解析：f (x )＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx
＋1)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2. 由2π2ω
＝π⇒ω＝1.
(2)讨论f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．
解析：f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π＋π4， 令2x ＋π4＝π2，解得x ＝π8
. ∴y ＝f (x )在 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8，π2上单调递减．
19.(2014·广州一模)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin x ＋
αcos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0.
(1)求实数a 的值；
解析：∵函数f (x )＝sin x ＋αcos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝0. 即－
32＋a 2
＝0.解得a ＝ 3.
(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．
解析：由(1)得，
f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期为2π.
∵函数y ＝sin x 的单调递增区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)， ∴当2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2
(k ∈Z)时，函数f (x )单调递增，
即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6
(k ∈Z)时，函数f (x )单调递增． ∴函数f (x )的单调递增区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)．
20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．
(1)求θ的值；
解析：∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.
又0<θ<π，
∴θ＝π2
.
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12
，求A .
解析：由(1)得，f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . ∵f (C )＝12
，
∴cos C ＝12
， ∵0<C <π，∴C ＝π3
. ∵A ＋B ＋C ＝π，
∴B ＝2π3
－A ， 代入sin B ＝2sin A 中，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－A ＝2sin A ， ∴sin 2π3cos A －cos 2π3
sin A ＝2sin A ， ∴tan A ＝33
， ∵0<A <π，∴A ＝π6
.。