高二数学3月月考试卷课标试题

)
(A)
二中2021级高二数学3月月考试卷
一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕
1 . 一条直线穿过一个四面体，那么该直线最多能与四面体各个面相交的个数为〔 〕 A.1 B.
2 C.
3 2. 右图用符号语言可表述为〔 〕 A.m =βα ，α⊂n ，m A ⊂，n A ⊂ B.m =βα ，α∈n ，A n m = C. m =βα ，α⊂n ，A n m = D.m =βα ，α∈n ，m A ∈，n A ∈
3.条件甲：直线a 、b 是异面直线；条件乙：两条直线a 、b 无公一共点，那么甲是乙〔 〕
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是〔 〕
5 、假设平面α∥平面β，直线l 在α内，且α与β之间的间隔 为d ，下面给出四个命题：①β内有且只有一条直线与l 的间隔 等于d ；②β内所有直线与l 的间隔 都等于d ；③β内有无数条直线与l 的间隔 等于d ；④β内所有直线与α的间隔 都等于d.其中正确的的是〔 〕
A. ①
B. ②
C. ①与②
D. ③与④
6.设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出以下四个命题：①假设
m ⊥α，n //α，那么m n ⊥ ②假设αβ//，βγ//，m ⊥α，那么m ⊥γ③假设m //α，n //α，那么m n // ④假设αγ⊥，βγ⊥，那么αβ//；其中正确命题的序号是〔 〕
A ．①和② B.②和③ C ③和④ D ．①和④
7、空间四点 A 〔2，1，-3〕，B 〔-2，3，-4〕，C 〔3，0，1〕，D 〔1，4，m 〕，假设A 、B 、C 、D 四点一共面，那么m =( )
A 、-7
B 、-22
C 、19
D 、5
8、下面四个条件：①平行于同一个平面；②垂直于同一直线；③与同一平面所成的角相等；④分别垂直于两个平行平面. 其中可以断定空间两条直线平行的有 〔 〕
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积记作
1
S 、
2
S 、
3
S ，那么( )
(A)
123
S S S <<(B)
213
S S S << (C)
321
S S S << (D)
132
S S S <<
10.棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，那么 〔 〕
A.以下四个图形都是正确的
B.只有〔2〕〔4〕是正确的
C.只有〔4〕是不正确的
D.只有〔1〕〔2〕是正确的
① ②
③ ④
11、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

假设
a AB =，
b AD =，
c AA =1，那么以下向量中与DM 相等的向量是〔 〕
A 、 c b a ++-2121
B 、 c
b a ++21
21 C 、 c b a +--2121 D 、 c
b a +-21
21
12、正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，那么动点P 的轨迹是〔 〕
A 、线段B1C
B 、BB1中点与CC1中点连成的线段
C 、线段BC1
D 、BC 中点与B1C1中点连成的线段 二、填空题〔每一小题4分，一共16分〕 13.下面是关于四棱柱的四个命题：
①假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱
②假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱 ③假设四个侧面两两全等，那么该四棱柱为直四棱柱
④假设四棱柱的四条对角线两两相等，那么该四棱柱为直四棱。

其中，真命题的编号是_____ 〔写出所有真命题的编号〕。

14、以下五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的
中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是______〔写出所有符合要求的图形序号〕.
M
C
B1
D1 A1
B
D
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 z
y
x
C
Q
A D
B
O
E
F
15、如图，将长a AD 2=
，宽AB=a 的长方形ABCD 沿虚线折成一个正三棱柱的三个
侧面，那么原对角线AC 成了绕在三棱柱面上的折线段，此折线段相邻两段所成的角为_____。

16．给出编号分别为①、②、③、④的四张整齐的直角三角形薄板〔如图〕，且这四个直角三角形薄板一定能围成一个多面体，它的容积恰好等于一个球体的体积，那么这个球的半径是 。

① ② ③ ④
三、解答题〔解容许写出文字说明，证明过程或者或者演算步骤。

一共74分〕 17．〔文科考生做，10分〕表达并证明三垂线的逆定理。

17．〔理科考生做，10分〕如图，正方体的一个顶点为O ，OA 、OB 、OC 是有一个公一共点O 的三个面上的对角线，OQ 为体对角线。

〔1〕求OC OB OA
++与OQ 的关系；〔2〕
沿OA 、OB 、OC 方向分别作用10g 、20g 、30g 的力，求这些力的合力的大小。

18．〔此题20分，只填最后结果〕如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 、F 分别为
AB 、AD 的中点，
(1)
11
A C 与
1B C
所成角的大小是_____________;
(2) 11
A C 与EF 所成角的大小是_____________; (3) 1A C 与
1
AD 所成角的大小是_____________;
(4)1AD 与EF 所成角的大小是_____________; (5)1BD 与CE 所成角大小是_____________; (6)1B C 与平面ABCD 所成角的大小是_________; (7)
1
BD 与平面
1!
DCC D 所成角的大小是_____________;
(8)二面角1A BC D
--的大小是_________; (9)二面角
111B AC B --的大小是_____________; (10)二面角
1C EF C
--的大小是_____________
19.〔10分〕在直角坐标系O —xyz 中，OA =〔0，1，0〕，AB =〔1，0，0〕，OC =〔2，0，0〕，OS =〔0，0，1〕.
〔1〕求SC 与OB 的夹角α的大小；
〔2〕设n =〔1，p ，q 〕，且n ⊥平面SBC ，求n ； 〔3〕求OA 与平面SBC 的夹角； 〔4〕求点O 到平面SBC 的间隔 ； 〔5〕求异面直线SC 与OB 间的间隔 .
20.〔此题10分〕如图，ABCD 是正方形，M 、N 分别是AB 、AD 的中点，MN 交AC 于点E ，
PC ⊥平面ABCD ．
〔Ⅰ〕求证：BD∥平面PMN ； 〔Ⅱ〕求证：平面PEC ⊥平面PMN ．
P A B
C
D
M
N
O
E
21.〔10分〕正四棱柱1111D C B A ABCD -，2,11==AA AB ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点。

〔1〕证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线 〔2〕求点1D 到面BDE 的间隔
22．〔此题14分，文科生只做第〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕，理科生全做〕如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面B 1ED 交A 1D 1于F 。

〔Ⅰ〕指出F 在A 1D 1上的位置，并说明理由； 〔Ⅱ〕求直线A 1C 与DE 所成的角；
〔Ⅲ〕设P 为侧面BCC 1B 1上的动点，且3
3
2=
AP ； 试指出动点P 的轨迹，并求出其轨迹所表示曲线的长度。

C
A 1
D E
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
参考答案
一、 单项选择题〔每一小题5分，一共60分。

〕
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
C
A
B
D
A
B
B
A
C
D
A
二、填空题〔每一小题4分，一共16分。

〕
13、②④； 14、①④⑤；15、 90°； 16、 343π
=r 。

三、解答题： 17．文科答案略
解：⑴设正方体的棱长为1，由图中坐标系可得：A 〔1，1，0〕， B 〔1，0，1〕，C 〔0，1，1〕，Q 〔1，1，1〕，……2’
∴
OC
OB OA ++=〔2，2，2〕，
OQ
=〔1，1，1〕， 那么
OC OB OA ++=2OQ ………4’
⑵ ∵OA、OB 、OC 是有一个公一共点O 的三个面上的对角线， ∴OA 、OB 、OC 两两夹角均为600
， …………6’
又∵沿OA 、OB 、OC 方向分别作用10g 、20g 、30g 的力， ∴可设|OA |=10，|OB |=20，|OC |=30， 8’ ∵|OC OB OA ++|2
=〔OC OB OA ++〕2
=2500
∴|OC OB OA
++|=50，那么这些力的合力的大小50………
10 ’
18．〔1〕60〔2〕90〔3〕90〔4〕60 〔5〕arccos 15
〔6〕45
〔7〕2
arctg
〔8〕45〔9〕〔10〕3
22arctan
19解：〔1〕如图，
SC = OC －OS =〔2，0，－1〕，OB = OA + AB =〔1，1，0〕，那么
|SC |=
222)1(02-++=5，|OB |=222011++=2
.
C x y
z cos α=cos 〈SC ，OB 〉|
|||OB SC OB SC =
2
50
02⋅++=
510，α=arccos 5
10
. n ·SC =0，
n ·BC =0.
∵SC =〔2，0，－1〕，BC = OC －OB =〔1，－1，0〕，
〔2〕∵n ⊥平面SBC ，∴n ⊥SC 且n ⊥BC ，即
2－q =0， p =1，
1－p =0. q =2，
〔3〕OA 与平面SBC 所成的角θ和OA 与平面SBC 的法线所夹角互余，故可先求OA 与n 所成的角.
OA =〔0，1，0〕，|OA |=1，|n |=222211++=6.
∴cos〈OA ，n 〉|||OA |OA n n
⋅6
11
⋅=
66，即〈OA ，n 〉=arccos 66.∴θ=2
π
－arccos 66. 〔4〕点O 到平面SBC 的间隔 即为OC 在n 上的投影的绝对值，∴d =|OC ·
|n |n
|=6
2= 36.
〔5〕OC 在异面直线SC 、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的间隔 ，故先求与
SC 、OB 均垂直的向量m .
设m =〔x ，y ，1〕，m ⊥SC 且m ⊥OB ， 那么m ·SC =0，且m ·OB =0.
2x －1=0， x =
2
1
， x +y =0， y =－2
1
.
∴m =〔
21，－21
，1〕，d ′=|OC ·||m m |= 6
2=36.
20证明：〔Ⅰ〕由BD ∥MN ，可得BD∥平面PMN ； 〔Ⅱ〕BD ⊥AC ，BD ⊥PC 可得BD ⊥平面PEC ， 即MN ⊥平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PMN ． 21．17.〔I 〕证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ， ∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=
21D 1
D 又EC=2
1
CC 1
，且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1
又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线
∴ ∴
即n =〔1，1，2〕.
∴
即
〔II 〕 解：如图建系：xyz D -
那么D 〔0，0，0〕、D 1〔0，0，2〕B 〔1，1，0〕 E 〔0，1，1〕∴)2,0,0(1
=DD 、)1,1,0(=DE
)0,1,1(=DB ，设平面BDE 的法向量为),,(z y x n =
那么⎩⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+y
x y z y x z y 00取)1,1,1(-=n ，那么点1D 到面BDE 的间隔 d
为：
3
323
2=
=
=
d 22解：〔Ⅰ〕F 为A 1D 1的中点。

证明：由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，
面ABCD//面A 1B 1C 1D 1，面B 1EDF ∩面ABCD=DE ，面B 1EDF ∩面ABCD=B 1F ∴B 1F//DE ，同理：B 1E//DF 。

∴四边形DEB 1F 为平行四边形
∴B 1F=DE ，又A 1B 1=CD ，Rt △A 1B 1F ≌Rt △CDE ∴A 1F=CE=1121
21D A =。

∴F 为A 1D 1的中点
〔Ⅱ〕过点C 作CH//DE 交AD 的延长线于H ，连结A 1H 。

那么A 1C 与DE 所成的角就等于A 1C 与CH 所成的锐角即∠A 1CH 〔或者其补角〕。

由于正方体的棱长为1，E 为BC 中点，
∴可求得A 1C=
25
,213,31==
CH H A 在△A 1CH 中，由余弦定理得：
151525
32413
4532cos 12
12211=⋅
-+
=
⋅⋅-+=
∠CH
C A H
A CH C A CH A ∴1515arccos 1=∠CH A ， 即直线A 1C 与DE 所成的角为
1515
arccos。

〔Ⅲ〕由于点A 到侧面BCC 1B 1的间隔 等于AB=1，∴A 、P 、B 构成直角三角形的三个顶点。

∴
B AB AP BP ,3322=
-=
为定点，∴点P 的轨迹是以B 为圆心，33为半径的四分之一的圆。

∴它的长度等于：
π
π
6
3
3
3
2
4
1
=
⋅。

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厚积薄发，一鸣惊人。

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“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。