2021年全国新高考模拟数学试题分类-----立体几何
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B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），
＝（a﹣1，﹣1，c﹣1）， ＝（1，1，0）， ＝（0，1，1），
设平面DBC1的法向量 ＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得 ＝（1，﹣1，1），
∵B1E∥平面BDC1，∴ ＝a﹣1+1+c﹣1＝0，解得a+c＝1，
∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝1﹣2ac，ac≤（ ）2＝ ，设直线B1E与直线AB所成角为θ，
则 ，
故x2＝ ， ，z2＝ ，
结合图像易得①②正确；
三组对棱长度分别为a＝5，b＝6，c＝7，则x＝ ，y＝ ，z＝ ，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积xyz﹣ ＝ ＝2 ，③正确；
三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径2R＝ ≠ ，④错误．
故选：D．
2.（2021北京西城区模拟）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C．8D．4
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱；
如图所示：
故 ，
故选：D．
3.（2021湖南模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠A＝60°，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，下列说法正确的有（ ）
A．平面PCD⊥平面PBD
B．三棱锥P﹣BCD四个面都是直角三角形
C．PD与BC所成角的余弦值为
D．过BC的平面与PD交于M，则△MBC面积的最小值为
解：△BCD中，CD＝1，BC＝2，∠A＝60°，
所以BD＝ ，故BD2+CD2＝BC2，所以BD⊥CD，
因为平面PBD⊥平面BCD且平面PBD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面PBD，CD⊥PD；
∵ ＝（0，1，0），∴cosθ＝ ＝ ，
∵ac≤（ ）2＝ ，∴2﹣2ac≥ ，∴ ，
∴sinθ＝ ＝
＝ ＝ ≥ ＝ ．∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是 ．
故选：B．
6.（2021湖南模拟）已知点M为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的球面上的动点，点N为B1C1的中点，若满足CM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为 π．
2021年全国新高考省份模拟数学试题分类----立体几何
一、选填问题：
1.（2021北京海淀区模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为a，记平面a截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数S＝f（h）的图象是（ ）
故答案为：①②③．
5.（2021湖南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，
A． B．
C． D．
解：由图1可得，正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，内切球的半径为a，设截面圆的半径为r，则有（a﹣h）2+r2＝a2，解得r2＝﹣h2+2ah，设截面圆的外接正方形的边长为b，则b＝2r，正方形的面积为S＝b2＝4r2＝﹣4h2+8ah，h∈[0，2a]，由函数的解析式可知，图象应该是开口向下的抛物线．
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】画出几何体的结构特征，利用余弦定理转化求解即可．
解：设正四面体的棱长为a，正四面体的中心为O，底面三角形的高为： ，正四面体的高为： ＝ a，
所以点M到BC的距离d＝ ＝ ＝ ，
当a＝ 时，d取得最小值 ，此时△MBC面积取得最小值 ＝ ，D正确．
故选：ABD．
4.（2021湖南模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是①②③．
截面圆的半径r＝ ＝ ，
所以动点M的轨迹的长度为截面圆的周长为2πr＝ π．
故答案为： π．
7.（2021辽宁模拟）甲烷是一种有机化合物，分子式是CH4，它作为燃料广泛应用于民用和工业中．近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加．深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题．甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等．请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值（ ）
同理PB⊥平面CBD，因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面BPD，A，B正确；
以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B（ ，0，0），C（0，1，0），P（ ，0，1），
因为 ＝（ ，0，1）， ＝（﹣ ，1，0），
所以cos ＝ ＝ ，即PD与BC所成角的余弦值为 ，C错误；
因为M在线段PD上，设M（ ，0，a），则 ＝（3﹣ ，0，﹣a），
解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的半径R＝1，
由题意，取BB1的中点H，连接CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，
所以NB⊥平面DCH，
所以动点M的轨迹是平面DCH截内切球O的交线，
也即平面DCHG截内切球O的交线，
因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，
所以O到平面DCH的距离为d＝ ，
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定ห้องสมุดไป่ตู้以构成三角形；
②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；
③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为2 ；
④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 ．
解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z，
＝（a﹣1，﹣1，c﹣1）， ＝（1，1，0）， ＝（0，1，1），
设平面DBC1的法向量 ＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得 ＝（1，﹣1，1），
∵B1E∥平面BDC1，∴ ＝a﹣1+1+c﹣1＝0，解得a+c＝1，
∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝1﹣2ac，ac≤（ ）2＝ ，设直线B1E与直线AB所成角为θ，
则 ，
故x2＝ ， ，z2＝ ，
结合图像易得①②正确；
三组对棱长度分别为a＝5，b＝6，c＝7，则x＝ ，y＝ ，z＝ ，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积xyz﹣ ＝ ＝2 ，③正确；
三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径2R＝ ≠ ，④错误．
故选：D．
2.（2021北京西城区模拟）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C．8D．4
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱；
如图所示：
故 ，
故选：D．
3.（2021湖南模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠A＝60°，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，下列说法正确的有（ ）
A．平面PCD⊥平面PBD
B．三棱锥P﹣BCD四个面都是直角三角形
C．PD与BC所成角的余弦值为
D．过BC的平面与PD交于M，则△MBC面积的最小值为
解：△BCD中，CD＝1，BC＝2，∠A＝60°，
所以BD＝ ，故BD2+CD2＝BC2，所以BD⊥CD，
因为平面PBD⊥平面BCD且平面PBD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面PBD，CD⊥PD；
∵ ＝（0，1，0），∴cosθ＝ ＝ ，
∵ac≤（ ）2＝ ，∴2﹣2ac≥ ，∴ ，
∴sinθ＝ ＝
＝ ＝ ≥ ＝ ．∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是 ．
故选：B．
6.（2021湖南模拟）已知点M为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的球面上的动点，点N为B1C1的中点，若满足CM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为 π．
2021年全国新高考省份模拟数学试题分类----立体几何
一、选填问题：
1.（2021北京海淀区模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为a，记平面a截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数S＝f（h）的图象是（ ）
故答案为：①②③．
5.（2021湖南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，
A． B．
C． D．
解：由图1可得，正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，内切球的半径为a，设截面圆的半径为r，则有（a﹣h）2+r2＝a2，解得r2＝﹣h2+2ah，设截面圆的外接正方形的边长为b，则b＝2r，正方形的面积为S＝b2＝4r2＝﹣4h2+8ah，h∈[0，2a]，由函数的解析式可知，图象应该是开口向下的抛物线．
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】画出几何体的结构特征，利用余弦定理转化求解即可．
解：设正四面体的棱长为a，正四面体的中心为O，底面三角形的高为： ，正四面体的高为： ＝ a，
所以点M到BC的距离d＝ ＝ ＝ ，
当a＝ 时，d取得最小值 ，此时△MBC面积取得最小值 ＝ ，D正确．
故选：ABD．
4.（2021湖南模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是①②③．
截面圆的半径r＝ ＝ ，
所以动点M的轨迹的长度为截面圆的周长为2πr＝ π．
故答案为： π．
7.（2021辽宁模拟）甲烷是一种有机化合物，分子式是CH4，它作为燃料广泛应用于民用和工业中．近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加．深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题．甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等．请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值（ ）
同理PB⊥平面CBD，因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面BPD，A，B正确；
以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B（ ，0，0），C（0，1，0），P（ ，0，1），
因为 ＝（ ，0，1）， ＝（﹣ ，1，0），
所以cos ＝ ＝ ，即PD与BC所成角的余弦值为 ，C错误；
因为M在线段PD上，设M（ ，0，a），则 ＝（3﹣ ，0，﹣a），
解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的半径R＝1，
由题意，取BB1的中点H，连接CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，
所以NB⊥平面DCH，
所以动点M的轨迹是平面DCH截内切球O的交线，
也即平面DCHG截内切球O的交线，
因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，
所以O到平面DCH的距离为d＝ ，
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定ห้องสมุดไป่ตู้以构成三角形；
②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；
③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为2 ；
④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 ．
解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z，