2020年浙江高考数学一轮复习：平面向量的概念及其线性运算

D
．
―→ BC
＋
1 2
―→ BA
答案 ： A
4．已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a＋ λb 与－ (b－ 3a)共线，则 λ＝ ________.
答案： －13
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错 误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“ a≠ 0”，否则 λ可能不存在，也可能有无数个．
k－ λ＝ 0，
k＝ 1，
k＝－ 1，
解得
或
λｋ－ 1＝ 0，
λ＝ 1
λ＝－ 1，
又∵ λ＞ 0，∴ k＝ 1.
[ 由题悟法 ]
共线向量定理的 3 个应用
(1) 证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 λ，使 a＝ λb，则 a 与 b 共线．
(2) 证明三点共线：若存在实数
λ，使
―→ AB
＝ λ―A→C
B． 1
C． 2
D．3
解析： 选 D 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向
时 a＝－ |a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是
3.
2．下列说法中错误的是 ( )
解析： 选 D 设―C→O ＝ y―B→C ，∵ ―A→O ＝ ―A→C ＋ ―CO→＝ ―A→C ＋y―B→C ＝ ―A→C ＋ y(―A→C －―A→B )＝
－ y―A→B ＋ (1＋ y)
―A→C ，∵ ―B→C ＝ 3―C→D ，点 O 在线段
CD 上 (与点
C，D
不重合
)，∴ y∈
1 0， 3
答案： D
2．若 m∥ n， n∥ k，则向量 m与向量 k( )
A ．共线
B．不共线
C ．共线且同向 答案 ： D
D ．不一定共线
3．若 D 是△ ABC 的边 AB 上的中点，则向量
―→ CD
等于
(
)
A
．－
―→ BC
＋
1―→ 2 BA
B．－
―→ BC
－1 2
―→ BA
―→ 1―→ C． BC － 2 BA
解析： 若 a＝ b，则 |a＋ b|＝ |2a|＝ 2|a|， |a|＋ |b|＝ |a|＋ |a|＝ 2|a |，即 p? q.
若 |a＋ b|＝ |a|＋ |b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共线， 即 a＝ λb，且 λ＞ 0，故 q? / p.
∴ p 是 q 的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
2＝ 2λ，
p＝－ λ，即 λ＝1， p＝－ 1.
2．如图， 在△ ABC 中，D，F 分别是
BC，AC
的中点，
―→ AE
＝
2―→ 3 AD
，
―→ AB
＝
a，
―A→C ＝
考点一 平面向量的有关概念 基础送分型考点 —— 自主练透
[ 题组练透 ]
1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝ |a| ·a0；②若 a
与 a0 平行，则 a＝ |a|a0；③若 a 与 a0 平行且 |a|＝ 1，则 a＝a 0.假命题的个数是 ( )
A． 0
0 与任一向量平行或共线
相等向量 相反向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小 0 的相反向量为 0
2.向量的线性运算 向量运算
定义
法则 (或几何意义 )
运算律
加法
求两个向量和的 运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝ b＋ a； (2)结合律： (a＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b＋c )
相反；当 λ＝ 0 时， λa＝ 0
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数
λ，使得 b＝ λa.
[ 小题体验 ]
1．下列四个命题中，正确的命题是 A．若 a∥ b，则 a＝ b
() B．若 |a |＝ |b|，则 a＝ b
C．若 |a|＝ |b|，则 a∥ b
D．若 a＝ b，则 |a|＝ |b|
9
5
C. 11 D. 11
解析： 选 D
―A→P ＝
2 m＋ 11
―→ AB
＋
2 ―→ 11 BC
＝
2 m＋ 11
―→ AB
＋
2 11(
―→ AC
－
―A→B
)＝
―→ m AB
＋
2 11
―→ AC
，设
―B→P ＝ λ―B→N
(0≤ λ≤ 1)，则
―→ AP
＝
―A→B
＋
λ―BN→
＝
―A→B
＋
λ(―A→N
∴
―→ BD
＝―B→C
＋
―C→D ＝
2a＋
8b＋
3a－
3b＝
5(a＋
b)＝
―→ 5 AB
.
∴ ―A→B ，―B→D 共线，又∵它们有公共点 B，∴ A， B， D 三点共线．
(2) ∵ ka＋ b 与 a＋ kb 同向， ∴存在实数 λ( λ＞ 0)，使 ka＋ b＝ λ(a＋kb)， 即 ka＋ b＝λa＋ λｋb.∴ (k－ λ)a＝ (λｋ－ 1)b. ∵ a， b 是不共线的两个非零向量，
求 a 与 b 的相反向
减法
量－ b 的和的运
a－ b＝ a＋ (－b )
算叫做 a 与 b 的差
三角形法则
(1)|λa|＝ |λ||a|；
数乘
求实数 λ与向量 a 的积的运算
(2) 当 λ＞ 0 时， λa 的方向 与 a 的方向相同； 当 λ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向
λ(μa )＝ (λμ)a； (λ＋ μ)a＝λa＋ μa； λ(a＋ b)＝ λa＋ λb
又 b＝ c，∴ b， c 的长度相等且方向相同，
∴ a， c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.
②正确．∵
―A→B
＝
―D→C
，∴
|―A→B
|＝
―→ | DC
|且
A， B， C， D 是不共线的四点，
∴四边形 ABCD 为平行四边形；
反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，
，
―→ ―→
―→
∵ AO ＝ x AB ＋ (1－ x) AC ，∴ x∈
－31， 0
.
2．设两个非零向量 a 与 b 不共线，
(1)
若
―→ AB
＝
a＋
b，
―B→C
＝
2a＋
8b，
―C→D ＝
3(a－
b)，
求证： A， B， D 三点共线；
(2) 试确定实数 k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 同向． 解： (1)证明：∵ ―A→B ＝ a＋ b，―B→C ＝ 2a＋8b， ―C→D ＝ 3a－ 3b，
－
―A→B
)＝
(1
－
―→ λ) AB
＋
m＝ 1－ λ，
λ―AN→，因为 ―A→N
＝
1―→ 3 AC
，所以
―A→P ＝
(1－ λ)―A→B ＋
1 ―→ 3λAC
，则
121＝13λ，
解得
λ＝
6， 11
m＝ 151，
故选 D.
[ 谨记通法 ] 1． 平面向量的线性运算技巧 (1) 不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2) 含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向 量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2． 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1) 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2) 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3) 比较、观察可知所求． 考点三 共线向量定理的应用 重点保分型考点 —— 师生共研
，则
A， B， C
三点共线．
(3) 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程
(组 )求参数的值．
[ 提醒 ] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[ 即时应用 ]
―→
―→
―→
1．设向量 a， b 不共线， AB ＝ 2a＋ pb， BC ＝ a＋ b， CD ＝ a－ 2b，若 A， B，D 三点
向量有关概念的 5 个关键点
[ 谨记通法 ]
(1) 向量：方向、长度． (2) 非零共线向量：方向相同或相反． (3) 单位向量：长度是一个单位长度． (4) 零向量：方向没有限制，长度是 0. (5) 相等相量：方向相同且长度相等． 考点二 向量的线性运算 基础送分型考点 —— 自主练透
[ 题组练透 ]
第一节
平面向量的概念及其线性运算
1． 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量 零向量
既有大小又有方向的量； 向量的大小 叫做向量的长度 (或称模 ) 长度为 0 的向量；其方向是任意的
单位向量 长度等于 1 个单位的向量
平行向量
方向相同或相反的非零向量 共线向量 )
(又叫做
平面向量是自由向量 记作 0 a
非零向量 a 的 单位向量为 ± |a|
A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量 a 和 b 不共线，则 a 和 b 都是非零向量
C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D ．方向相反的两个非零向量必不相等
解析： 选 C 选项 A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项
B 中零
向量与任意向量共线，故 a，b 都是非零向量，故正确；选项 C 中是共线向量，故错误；选
1． (2018 ·武汉调研 )设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD
所在平面内的任意一点，则 ―O→A ＋ ―O→B ＋ ―O→C ＋ ―O→D 等于 (
)
―→ A． OM
―→ B． 2 OM
―→ C． 3OM
―→ D． 4 OM
解析： 选 D 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC， BD 的交点，所以 ―O→A ＋―O→C ＝
共线，则实数 p 的值为 ( )
A．－ 2
B．－ 1
C． 1
D．2
解析： 选 B 因为 ―B→C ＝ a＋ b， ―C→D ＝ a－2b，所以 ―B→D ＝ ―B→C ＋―C→D ＝ 2a－ b.又因为 A，
B，D 三点共线，所以
―→ AB
，―B→D
共线．设
―A→B ＝ λ―B→D ，所以
2a＋ pb＝ λ(2a－ b)，所以
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[ 小题纠偏 ]
1．若菱形
ABCD 的边长为
2，则
―→ | AB
－
―C→B ＋
―C→D
|＝
________.
解析：
|―A→B
－
―C→B
＋
―C→D |＝
―→ | AB
＋
―B→C
＋
―C→D
|＝
―→ | AD
|＝
2.
答案： 2
2．已知 a，b 是非零向量， 命题 p：a＝ b，命题 q：|a＋ b|＝|a|＋ |b|，则 p 是 q 的 ________ 条件．
则 ―A→B ∥―D→C 且 |―A→B |＝ |―D→C |，因此， ―A→B ＝ ―D→C . ③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使 |a|＝ |b|，也不能得到 a＝ b，故 |a|＝ |b|且 a∥ b 不是 a＝ b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑 b＝ 0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①② . 答案： ①②
[ 典例引领 ]
1．在△ ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且
―→ BC
＝
3―C→D
，点
O 在线段
CD 上 (与
点 C， D 不重合 )，若 ―A→O ＝ x―A→B ＋ (1－ x) ·―A→C ，则 x 的取值范围是 (
)
1 A. 0， 2
B.
1 0， 3
C. － 12， 0
D. － 13， 0
＋―A→D
＋
1―→ 2 AB
＝
34―A→B ＋
1―→ 2 AD
.
3． (2019 ·郑州第一次质量预测 )如图，在△ ABC 中， N 为线段 AC 上
靠近点 A 的三等分点，点
P 在线段
BN
上且 ―A→P ＝
2 m＋11
―A→B ＋ 2 ―B→C ，则实数 11
m 的值为
()
1 A． 1 B.3
2―OM→ ， ―O→B ＋ ―O→D ＝ 2―OM→ ，所以 ―O→A ＋ ―O→B ＋ ―O→C ＋―O→D ＝ 4―O→M .
2． (2018 ·温州模拟 )在等腰梯形
ABCD
中，
―→ AB
＝－
2―C→D
，M
为 BC 的中点，则
―A→M ＝
()
A.
1―→ 2 AB
＋
1―→ 2 AD
3―→ B.4 AB
项 D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．
3． (易错题 )给出下列命题： ①若 a＝ b，b＝ c，则 a＝c；
②若 A， B，C， D 是不共线的四点，则
―→ AB
＝
―DC→是四边形
ABCD 为平行四边形的充
要条件；
③ a＝ b 的充要条件是 |a|＝|b|且 a∥ b； ④若 a∥ b，b∥ c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是 ________． 解析： ①正确．∵ a＝ b，∴ a， b 的长度相等且方向相同，
＋
1―→ 2 AD
C.
3―→ 4 AB
＋
1―→ 4 AD
1―→ D.2 AB
＋
3―→ 4 AD
解析：选 B
因为 ―A→B ＝－
2―C→D ，所以 ―A→B ＝ 2―DC→.又
M
是
BC
的中点，所以
―→ AM
＝
1 2(
―→ AB
＋―A→C
)
＝
1 ―→ 2( AB
＋
―→ AD
＋
―→ DC )
＝
1 2
―→ AB