高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件a21
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是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假 命题．p不是q的充分条件，但q⇒p成立，所以p是q的必要条件．
3．推出符号“⇒”
只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p⇒q”．
12/9/2021
第十六页，共三十二页。
〔跟踪练习 2〕
(2017·安 徽 合 肥 高 二 检 测 ) 函 数
12/9/2021
第十五页，共三十二页。
『规律总结』 1.判断p是q的必要条件(bìyào tiáo jiàn)，就是判断命题“若q，则p”成立； 2．p是q的必要条件理解要点： ①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立． ②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数” 的必要条件．
A．①② C．②③ [思路分析]
B．①③ D．①②③
根据必要条件的定义(dìngyì)进行判断．
12/9/2021
第十四页，共三十二页。
[规范解答] x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇒/ x＝1，故②是 假命题；函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称⇒/ 函数 f(x)为奇函数，函数 f(x)为奇 函数⇒函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称，故③是真命题，∴选 B．
12/9/2021
第二十三页，共三十二页。
典例 4 一次函数 y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不
充分条件是
()
A．m>0，n>0
B．mn<0
C．m<0，n<0
D．mn>0
[错解] 由题意可得，一次函数 y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、二、四象
限，即－1n>m0n，<0，解得 m>0，n>0，所以选 A． 12/9/2021 第二十四页，共三十二页。
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立， 即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分 条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
12/9/2021
第十二页，共三十二页。
〔跟踪练习(liànxí)1〕
“a＋b>2c”的一个充分条件是
D
必要
12/9/2021
第九页，共三十二页。
12/9/2021
互动探究(tànjiū)学案
第十页，共三十二页。
命题(mìng tí)方向1 ⇨充分条件
典例 1 已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)，则(实－∞数，m－的8] 取值范围是__________________.
No 件p：x2－3x－4≤0。(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．。C．既
不是充分条件的，也不是必要条件。C．既不是充分条件，又不是必要条件。故p是q的充分条件．
Image
12/9/2021
第三十二页，共三十二页。
第二十二页，共三十二页。
〔跟踪练习3〕
已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件(bìyào tiáo jiàn)，则实 数a的取值范围是________________．
[－1,5]
[解析] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P， 所以aa－ ＋44≤ ≥13， ，即aa≤ ≥5－，1， 所以－1≤(jiě xī)
由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a
－1)(a－2)＝0”的充分条件，故选A．
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第二十七页，共三十二页。
3．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的 A
() A．充分条件 B．必要条件
1．一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且qp”等价于 “⇒¬/ p⇐¬q且¬p
¬q”， 即“p是q的充分不必要条件”等价于“¬p是¬q的必要不充分条件(chōnɡ ”． fēn tiáo jiàn) 2．若不等式p，q对应的集合分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的 充分条件，q是p的必要条件，这可以用“小范围推出大范围”帮助记 忆：“小充分，大必要”．
12/9/2021
第三十页，共三十二页。
12/9/2021
第三十一页，共三十二页。
内容 总结 (nèiróng)
数 学。现在的招聘一般由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否
(shì fǒu)一定能通过面试。A．①② B．①③。C．②③
D．①②③。真命题的条件是结论的充分条件。已知条
[辨析] p 的必要不充分条件是 q，即 q 是 p 的必要不充分条件，则 q⇒/ p 且 p⇒q，故本题应是题干⇒选项，而选项⇒/ 题干，选项 A 为充要条件．
[正解] 一次函数 y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、二、四象限， 即－1n>m0n，<0，得 m>0，n>0． 由题意可得，m>0，n>0 可以推出选项条件，而反之不成立，所以选 D．
充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)
12/9/2021
第二十九页，共三十二页。
5．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件(tiáojiàn)，说明
理由.
[解析] p是q的充分条件． 因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}； q：x≥－1或x≤5就是实数集R． 所以P⊆R，也就是p⇒q， 故p是q的充分条件．
12/9/2021
第二十页，共三十二页。
m<0，
m<0，
可得3＋m≤－1，或3－m≤－1，
3－m≥4， 3＋m≥4，
解得 m≤－4 或 m≥4．
经验证，当 m＝－4 或 m＝4 时，①式的解集均为{x|－1≤x≤7}，符合题意．
故 m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
故选 D．
12/9/2021
12/9/2021
第二十五页，共三十二页。
1．设x∈R，则x>2的一个(yī ɡè)充分条件是
C
()
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
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第二十六页，共三十二页。
2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的
A
()
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件的，也不是必要条件
[x－(3＋m)][x－(3－m)]≤0①，当 m＝0 时，①式的解集为{x|x＝3}；当 m<0 时，
①式的解集为{x|3＋m≤x≤3－m}；当 m>0 时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}；
故可得m3＋<0m，≤－1或m3－<0m，≤－1，解之即可得 m 的取值范围． 3－m≥4 3＋m≥4
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第十九页，共三十二页。
[规范解答] 由 x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 由 x2－6x＋9－m2≤0，可得[x－(3＋m)][x－(3－m)]≤0，① 当 m＝0 时，①式的解集为{x|x＝3}； 当 m<0 时，①式的解集为{x|3＋m≤x≤3－m}； 当 m>0 时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则集合{x|－1≤x≤4}是①式解集的真子集．
p 不是 q 的__必__要_(_bì_yà_o)__条件 q 不是 p 的___不_必__要____条件
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第六页，共三十二页。
1．下列命题中，真命题是
B
()
A．“x2>0”是“x>0”的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共三十二页。
12/9/2021
自主(zìzhǔ)预习学案
第四页，共三十二页。
现在的招聘一般(yībān)由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你 在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否一定能通过面试？是否 一定能求职成功？
C．既不是充分条件，又不是必要条件 D．无法(wúfǎ)判断 [解析] 由a∥b，得2×4－(x＋1)(x－1)＝0， ∴x＝±3， ∴“x＝3”是“a∥b”的充分条件，故选A．
12/9/2021
第二十八页，共三十二页。
4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当(shìdàng)的一种填空： (1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必_要__条__件__(b_ìy_à_o _tiá_o．jiàn) (2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的____________．
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第十八页，共三十二页。
典例 3 已知条件(tiáojiàn)p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充
分不必要条件，则m的取值范围是
()
A．[－1,1]
B．[－4,4]
D
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
[思路分析] 由 x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，由 x2－6x＋9－m2≤0，可得
第二十一页，共三十二页。
『导师点睛』 充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解(qiú jiě)，特别是
求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集 合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
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()
A．a>c或b>c
B．a>c或b<c
C[解．析a]>ca且>cb且<cb>c⇒a＋b>2c， D．a>c且b>c
a＋b>2c⇒/ a>c 且 b>c，故选 D．
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第十三页，共三十二页。
命题方向(fāngxiàng)2 ⇨必要条件
典例 2 下列命题中是真命题的是
( B)
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
[规范解答] p：x>－m2 ，q：x<0 或 x>4，由条件知 p⇒q， ∴－m2 ≥4，∴m≤－8．
12/9/2021
第十一页，共三十二页。
『规律总结(zǒngjié)』 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p， 则q”为真命题．
2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结 论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
新课标导学
数学
选修2-1 ·人教A版
12/9/2021
第一页，共三十二页。
第一章
常用逻辑 用语 (luójí) 1.2 充分条件 与必要条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
1.2.1 充分条件 与必要条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
12/9/2021
第二页，共三十二页。
12/9/2021
第五页，共三十二页。
充分条件 与必要条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题
推出关系
p___⇒___q
p____⇒/____q
条件关系
p 是 q 的充__分__(c_hō_n_gf_èn条) 件 q 是 p 的__不__充__分__条件
f(x)
＝
a
－
2 2x＋1
为
奇
函
数
的
必
要
条
件
是
____a_＝_1____．
[解析] 由于 f(x)＝a－2x＋2 1的定义域为 R，且为奇函数，则必有 f(0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1．
12/9/2021
第十七页，共三十二页。
充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)与必要条件的应用
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件
12/9/2021
第七页，共三十二页。
2．设x∈R，则x>2的一个(yī ɡè)必要条件是
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
[解析] x>2⇒x>1，∴x>1是x>2的必要条件．
( A)
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第八页，共三十二页。
34．．“若x＝向3量”是v＝“x2(＝x,29)”的(x∈__R__)，__则__“x条充＝件分1(”填是(chō““n|充vgf|è＝分n) ”(c的hōn_g_fè_n)_”或__“_必_条要件”).(填“充分”或“必要”). 5．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”). 充分(chōngfèn)
3．推出符号“⇒”
只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p⇒q”．
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第十六页，共三十二页。
〔跟踪练习 2〕
(2017·安 徽 合 肥 高 二 检 测 ) 函 数
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第十五页，共三十二页。
『规律总结』 1.判断p是q的必要条件(bìyào tiáo jiàn)，就是判断命题“若q，则p”成立； 2．p是q的必要条件理解要点： ①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立． ②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数” 的必要条件．
A．①② C．②③ [思路分析]
B．①③ D．①②③
根据必要条件的定义(dìngyì)进行判断．
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第十四页，共三十二页。
[规范解答] x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇒/ x＝1，故②是 假命题；函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称⇒/ 函数 f(x)为奇函数，函数 f(x)为奇 函数⇒函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称，故③是真命题，∴选 B．
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第二十三页，共三十二页。
典例 4 一次函数 y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不
充分条件是
()
A．m>0，n>0
B．mn<0
C．m<0，n<0
D．mn>0
[错解] 由题意可得，一次函数 y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、二、四象
限，即－1n>m0n，<0，解得 m>0，n>0，所以选 A． 12/9/2021 第二十四页，共三十二页。
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立， 即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分 条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
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〔跟踪练习(liànxí)1〕
“a＋b>2c”的一个充分条件是
D
必要
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第九页，共三十二页。
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互动探究(tànjiū)学案
第十页，共三十二页。
命题(mìng tí)方向1 ⇨充分条件
典例 1 已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)，则(实－∞数，m－的8] 取值范围是__________________.
No 件p：x2－3x－4≤0。(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．。C．既
不是充分条件的，也不是必要条件。C．既不是充分条件，又不是必要条件。故p是q的充分条件．
Image
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第三十二页，共三十二页。
第二十二页，共三十二页。
〔跟踪练习3〕
已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件(bìyào tiáo jiàn)，则实 数a的取值范围是________________．
[－1,5]
[解析] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P， 所以aa－ ＋44≤ ≥13， ，即aa≤ ≥5－，1， 所以－1≤(jiě xī)
由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a
－1)(a－2)＝0”的充分条件，故选A．
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第二十七页，共三十二页。
3．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的 A
() A．充分条件 B．必要条件
1．一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且qp”等价于 “⇒¬/ p⇐¬q且¬p
¬q”， 即“p是q的充分不必要条件”等价于“¬p是¬q的必要不充分条件(chōnɡ ”． fēn tiáo jiàn) 2．若不等式p，q对应的集合分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的 充分条件，q是p的必要条件，这可以用“小范围推出大范围”帮助记 忆：“小充分，大必要”．
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第三十一页，共三十二页。
内容 总结 (nèiróng)
数 学。现在的招聘一般由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否
(shì fǒu)一定能通过面试。A．①② B．①③。C．②③
D．①②③。真命题的条件是结论的充分条件。已知条
[辨析] p 的必要不充分条件是 q，即 q 是 p 的必要不充分条件，则 q⇒/ p 且 p⇒q，故本题应是题干⇒选项，而选项⇒/ 题干，选项 A 为充要条件．
[正解] 一次函数 y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、二、四象限， 即－1n>m0n，<0，得 m>0，n>0． 由题意可得，m>0，n>0 可以推出选项条件，而反之不成立，所以选 D．
充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)
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5．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件(tiáojiàn)，说明
理由.
[解析] p是q的充分条件． 因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}； q：x≥－1或x≤5就是实数集R． 所以P⊆R，也就是p⇒q， 故p是q的充分条件．
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m<0，
m<0，
可得3＋m≤－1，或3－m≤－1，
3－m≥4， 3＋m≥4，
解得 m≤－4 或 m≥4．
经验证，当 m＝－4 或 m＝4 时，①式的解集均为{x|－1≤x≤7}，符合题意．
故 m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
故选 D．
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第二十五页，共三十二页。
1．设x∈R，则x>2的一个(yī ɡè)充分条件是
C
()
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
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第二十六页，共三十二页。
2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的
A
()
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件的，也不是必要条件
[x－(3＋m)][x－(3－m)]≤0①，当 m＝0 时，①式的解集为{x|x＝3}；当 m<0 时，
①式的解集为{x|3＋m≤x≤3－m}；当 m>0 时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}；
故可得m3＋<0m，≤－1或m3－<0m，≤－1，解之即可得 m 的取值范围． 3－m≥4 3＋m≥4
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第十九页，共三十二页。
[规范解答] 由 x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 由 x2－6x＋9－m2≤0，可得[x－(3＋m)][x－(3－m)]≤0，① 当 m＝0 时，①式的解集为{x|x＝3}； 当 m<0 时，①式的解集为{x|3＋m≤x≤3－m}； 当 m>0 时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则集合{x|－1≤x≤4}是①式解集的真子集．
p 不是 q 的__必__要_(_bì_yà_o)__条件 q 不是 p 的___不_必__要____条件
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第六页，共三十二页。
1．下列命题中，真命题是
B
()
A．“x2>0”是“x>0”的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
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自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共三十二页。
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自主(zìzhǔ)预习学案
第四页，共三十二页。
现在的招聘一般(yībān)由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你 在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否一定能通过面试？是否 一定能求职成功？
C．既不是充分条件，又不是必要条件 D．无法(wúfǎ)判断 [解析] 由a∥b，得2×4－(x＋1)(x－1)＝0， ∴x＝±3， ∴“x＝3”是“a∥b”的充分条件，故选A．
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4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当(shìdàng)的一种填空： (1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必_要__条__件__(b_ìy_à_o _tiá_o．jiàn) (2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的____________．
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典例 3 已知条件(tiáojiàn)p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充
分不必要条件，则m的取值范围是
()
A．[－1,1]
B．[－4,4]
D
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
[思路分析] 由 x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，由 x2－6x＋9－m2≤0，可得
第二十一页，共三十二页。
『导师点睛』 充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解(qiú jiě)，特别是
求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集 合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
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()
A．a>c或b>c
B．a>c或b<c
C[解．析a]>ca且>cb且<cb>c⇒a＋b>2c， D．a>c且b>c
a＋b>2c⇒/ a>c 且 b>c，故选 D．
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命题方向(fāngxiàng)2 ⇨必要条件
典例 2 下列命题中是真命题的是
( B)
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
[规范解答] p：x>－m2 ，q：x<0 或 x>4，由条件知 p⇒q， ∴－m2 ≥4，∴m≤－8．
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『规律总结(zǒngjié)』 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p， 则q”为真命题．
2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结 论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
新课标导学
数学
选修2-1 ·人教A版
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第一章
常用逻辑 用语 (luójí) 1.2 充分条件 与必要条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
1.2.1 充分条件 与必要条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
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充分条件 与必要条件 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题
推出关系
p___⇒___q
p____⇒/____q
条件关系
p 是 q 的充__分__(c_hō_n_gf_èn条) 件 q 是 p 的__不__充__分__条件
f(x)
＝
a
－
2 2x＋1
为
奇
函
数
的
必
要
条
件
是
____a_＝_1____．
[解析] 由于 f(x)＝a－2x＋2 1的定义域为 R，且为奇函数，则必有 f(0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1．
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充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)与必要条件的应用
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件
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2．设x∈R，则x>2的一个(yī ɡè)必要条件是
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
[解析] x>2⇒x>1，∴x>1是x>2的必要条件．
( A)
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34．．“若x＝向3量”是v＝“x2(＝x,29)”的(x∈__R__)，__则__“x条充＝件分1(”填是(chō““n|充vgf|è＝分n) ”(c的hōn_g_fè_n)_”或__“_必_条要件”).(填“充分”或“必要”). 5．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”). 充分(chōngfèn)