浙江省杭州高级中学贡院校区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题+Word版含答案

杭高贡院校区2020学年第一学期期末考试高一
(数学)试题卷
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。

本卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方。

3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。

4.考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.己知全集为N ,集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分所表示.的集合是()
A.{}1
B.{}3,4
C.{}2
D.{}1,2,3,4
2.已知命题:“R x ∃∈，2
40x ax a +-=”为假命题，则实数a 的取值范围为()
A.{}
160a a -≤≤ B.{}
160a a -<< C.{}40a a -≤≤
D.{}
40a a -<<
3.函数()21,11,1x x x f x x x
⎧-+<⎪
=⎨>⎪⎩的值域是()
A.()0,+∞
B.()0,1
C.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
4.已知正数a ，b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为() A.8
B.10
C.9
D.6
5.函数()sin313x
f x ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调递增区间为
()
A.(),Z 6323k k k ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
B.()22,Z 6
323k k k ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦ C.(),Z 6363k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
D.()22,Z 6363k k k ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
6.已知()0,απ∈且满足7cos cos 4418ππαα⎛
⎫
⎛
⎫-+=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭，则cos 2α=（） A.7
18
-
B.
718
C.79
-
D.
79
7.已知函数()2sin sin 2
x
f x x =+，则()f x 的最大值为()
A.-2
B.-1
C.0
D.1
8.已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13
log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣
⎦
,且方
程()3f x a -=在区间(]
0,3上有两解，则实数a 的取值范围是() A.01a <≤ B.1a < C.01a <<
D.1a ≥
二、选择题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.设3
:
0x p x -<,()():20q x a x a --+≤.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 可以是() A.32 B.52 C.72 D.73
10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是()
A.若在1t 、2t 时刻满足:()()12y t y t =，则()()12x t x t =
B.如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D.被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值
11.已知函数()2sin cos cos 2f x x x x x =+-，R x ∈，则() A.()22f x -≤≤
B.()f x 在区间()0,π上只有1个零点
C.()f x 的最小正周期为π
D.2
3
x π=
为()f x 图象的一条对称轴
12.已知函数())
ln 1f x =，则下列结论正确的是()
A.()f x 是偶函数
B.()f x 有最小值
C.()()21f x f x +>+
D.方程()30f x x +-=有两个不相等的实数根 三、填空题:本大题共4小题，每空4分，共16分. 13.将函数sin 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
4
π
单位，所得到的函数解析式是______________.
14.已知()log 2a y ax =-在区间()0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围为______________.
15.若
sin cos 2sin cos θθ
θθ
+=-，则sin cos θθ⋅=______________.
16.对于定义域为D 的函数()f x k =+,满足存在区间[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为
[],a b ,求实数k 的取值范围______________.
四、解答题:本题共6小题，共74分解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知方程()2
8170x m x m --+-=有两实根.
(1)如果两实根都大于1,求实数m 的取值范围;
(2)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围. 18.已知函数()2sin 34f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭,R
x ∈.
(1)求()f x 的最小正周期和对称轴;. (2)求()f x 的单调递增区间和单调递减区间; (3)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 值域. 19.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米.
求:(1)写出x 与y 的关系式;
(2)求出仓库面积S 的最大允许值是多少?为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长?
20.设函数()()21log R 1x f x a ax +⎛⎫
=∈ ⎪-⎝⎭，若113f ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
. (1)求()f x 的解析式; (2)()
g x =，若12,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()()f x g x ≤有解，求实数k 的取值集合.
21.已知函数()()22sin f x x x ϕ=++. (1)若6
π
ϕ=
,02
x π
≤≤
，求()f x 的值域;
(2)若0ϕπ≤<，R x ∈,()f x 的最大值是
3
2
，求ϕ的值. 22.若函数()y f x =自变量的取值区间为[]
,a b 时，函数值的取值区间恰为22,b a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,就称区间[]
,a b 为
()y f x =的一个“和谐区间”.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()3g x x =-+.
(1)求()g x 的解析式;
(2)求函数()g x 在()0,+∞内的“和谐区间”:
(3)若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合
()(){}(){}
2
,,x y y h x x y y x
m =⋂=+恰含有2个元素若存在，求出实数m 的取值集合;若不存在，说
明理由.
参考答案
1.故选B.
2.故选B.
3.故选A.
4.故选A.
5.故选B.
6.故选C.
7.故选D.
8.故选A. 9.故选BD. 10.选ABD.
11.选AC.
12.选ABD.
13.所得到的函数解析式是sin y x = 14.故a 的取值范围为12a << 15.222sin cos tan 3
sin cos sin cos 1tan 10
θθθθθθθθ⋅⋅===++
16.9
24
k -
<≤- 17.（1）令()()2
817f x x m x m =--+-，由根的分布可得()0
1210
b a
f ⎧≥⎪
⎪->⎨⎪⎪>⎩△，
化简得25,91720m m m ≥≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，所以25m ≥， （2）令()()2
817f x x m x m =--+-，由根的分布可得()20f <，化简得27m >，故()27,m ∈+∞.
18.∴23T π=
，令342x k πππ+=+，则123k x ππ=+，故最小正周期为23
T π
=，对称轴为
()Z 12
3
k x k π
π
=
+
∈. （
2
）
∵
2322
4
2
k x k π
π
π
ππ
-
+≤+
≤
+，∴
22
43123
k x k π
πππ-
+≤≤+，∵
3232242k x k πππππ+≤+≤+，∴252123123
k x k πππππ+≤≤+，∴()f x 的单调递增区间为()22,Z 43123k k k πππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为()2
52,Z 123123k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦. （3）∵0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴73444x πππ≤+≤
，∴(
)f x ≤≤，∴()f x
的值域为⎡⎣. 19.（1）40245203200x y xy +⨯+≤，∴()320408029
x
y x x -≤
<<+.
（2）∵2320429
x x S xy x -=≤+，令()299169t x t =+<<，则9
2t x -=，
∴()()2
21609917815211521178178100t t t t S t t t t ----+-⎛⎫≤==-++≤-= ⎪⎝
⎭，当且仅当
1521
t t
=
即39t =时等号成立.所以当正面铁柵为39米时，仓库面积S 的最大值为100平方米. 20.（1）解：代入113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得2
12log 133f a ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，解得1a =，故()21log 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. （2）由对数定义域可得0k >，故()()()2
222
11log log 1x x g x f x k x ++⎛⎫==≥= ⎪-⎝⎭
， 即
()()()2
22
11111x x k x x k x ++≥
⇔≤+--在12,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解， 而()()2
111x x x +-=-在12,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的最大值为13
144-=，
故只需2
34k ≤
，结合0k >可得02
k <≤，即为所求.
21.（1）由题()23112sin cos 22cos 26422f x x x x x x π⎛
⎫=
++=+- ⎪⎝
⎭
11112cos 2cos 2442232x x x π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭， 因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()30,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
（2）由题()11
cos 2sin 2cos 222
f x x x x ϕϕ=
+-
11
sin 2cos 222x x ϕϕ⎫=+-+⎪⎪⎝⎭
()1
22x θ=
++，
因为()f x 的最大值是3
2，所以2
231sin 142ϕϕ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，
化简得：
31
144
ϕ+=，即cos 0ϕ=，又因为0ϕπ≤<，所以2πϕ=.
22.（1）因为()g x 是定义在R 上的奇函数，故()3,00,03,0x x g x x x x -+>⎧⎪
==⎨⎪--<⎩
（2）由题可得：()()22g a a g b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2323a a
b b ⎧
-+=⎪⎪⎨⎪-+=
⎪⎩
，解得：12a b =⎧⎨=⎩，所以函数()g x 在()0,+∞内的“和谐区
间”为[]
1,2
（3）同理可求函数()g x 在(),0-∞内的“和谐区间”，()()22g a a g b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2323a a
b b ⎧
--=⎪⎪⎨⎪--=
⎪⎩
，解得21a b =-⎧⎨=-⎩
所以函数()g x 在(),0-∞内的“和谐区间”，[]2,1-- 集合
()(){}(){}
2
,,x y y h x x y y x
m =⋂=+恰含有2个元素，所以
()2312x m x x +=-+≤≤，()2321x m x x +=---≤≤-共有两解，
所以()2
312m x x x =--+≤≤，()2
321m x x x =----≤≤-每个方程有一个解，
故：()()
2
2
312321m x x x m x x x ⎧=--+≤≤⎪⎨=----≤≤-⎪⎩，所以3153m m -≤≤⎧⎨-≤≤-⎩，那么{}3m ∈-。