单位“1”的用法探秘

单位“1”的用法探秘
提到单位“1”，人们不禁联想到有关分数和百分数问题，的确分数和百分数问题离开不单位“1”的认定。

但单位“1”也并不是分数、百分数的专利，其它问题同样可以使用。

有些数学问题由于条件隐蔽，一时难以找到各个量之间的相互关系，如果设某个不变量为单位“1”，这时就可以和另外的量进行沟通，以达到数量关系明朗化的目的。

有时单位“1”的使用，还能使某些复杂的计算简单化。

单位“1”是沟通数量关系的桥梁，是解开难题的钥匙，是繁琐计算简单化的催化剂。

那么，分数和百分以外数问题，在什么样的情况下可以或者是需要使用单位“1”呢？下面以几个实例予以探讨。

例1、某养殖户共养鸡和兔306只，已知其脚数是706只，这个养殖户养有鸡多少只？
解：设一只兔的脚数为单位“1”，则一只鸡的脚数为兔脚数的12。

一鸡一兔脚数的和为112，由于本来一鸡一兔的脚数和为4＋2＝6（只），缩小了6÷112
＝4倍，这样，题中脚的总数也要缩小4倍，应为7064。

所以，这个养殖户养有鸡的只数为： （306×1－7064）÷（1－12）＝306×2－7064
×2＝259（只） 这种解法与常规解法相比较，略去了大数字的计算。

例2、十一节假期间，甲、乙两个骑自行车的学生，同时从A 地出发，要到相距51千米的B 地去游玩。

甲骑车速度是每小时11千米，乙骑车速度是每小时行15千米，几小时后，甲剩下的路程是乙剩下路程的3倍?
解：因为只要按现有的速度继续骑行下去，不论行多少小时，甲、乙两人所行的路程始终都是11：15。

这样，无论设谁为单位“1”，都可以进行解答。

因为题中要求甲剩的路程是乙剩下路程的3倍，
可知，DB 的路程是CD 路程的12。

所以，乙剩下的
路程DB是全程51千米路的（1－11
15
）×
1
2
＝
2
15
，
乙已行的路程，即AD＝51÷（1＋
2
15
）＝45（千米）
推知，乙行到了D地时，他们已行45÷15＝3（小时）
所以，两人骑行3小时后，甲剩的路程是乙剩下路程的3倍.
例3、年终，厂委会准备给工人发过年费。

这笔过年费如果只发给第一车间，每人可以得到1200元；如果只发给第二车间，则每人可以得到1500元；如果只发给第三车间，每人可以得到2000元。

现在准备平均分发给三个车间的每个人，那么每人可分得多少元？
解：这道题，条件中没有每个车间的人数，也没有这笔过年费总钱数的数目，看来，仅依靠已有的这些条件，要求得每人可分得多少元是有困难的。

如果把这笔过年费的总钱数看作单位“1”，则第一车间的人数相当于总钱数的
1
1200
，第
二车间的人数相当于总钱数的
1
1500
，第三车间的人数相当于总钱数的
1
2000。

那么，平均分给
三个车间的每个人，每人可分得的钱数就是：
1÷（
1
1200
＋
1
1500
＋
1
2000
）＝500（元）
细心的人，在上面算式的计算过程中，每个车间的人数，以及过年费的总钱数都能看出。

例4、如右图所示，在长方形ABCD 中，点E为AB 边上
靠近点B的四等分点，点F为BC边上靠近点 C的四等分点，
对角线 AC 交线段 DF于O点，已知三角形COD的面积比四
边形AOFE的面积小567平方厘米，则长方形ABCD的面积是
多少平方厘米？
【解】：连接 AF。

因为四边形ABCD为长方形，△DCF和△ACF同底同高，所以这两个三角形的面积相等，又，根据等量减等量差相等的道理，推知，S△AOF＝S△COD．这样，三角形 COD与四边形 AOFE的面积之差即为三角
形 AEF的面积，也就是567平方厘米．
设长方形ABCD的面积为“1”.
已知点E为AB 边上靠近点B的四等分点，点F为BC边
上靠近点C的四等分点，可知三角形 AEF 的面积为长方形
ABCD面积的：1
2
×
3
4
×
3
4
＝
9
32
，
因此，长方形 ABCD的面积为：567÷
9
32
＝2016（平方厘米）
例5、某超市采购部用同样多的钱分别购买了三种不同的糖果。

每千克的购进价分别是12元、15元、18元，现将它们混合后出售，如果按48%的利润率定价，这批糖果的售价应该为每千克多少元？
【解】：设每种糖果购入的总价为“1”，三种不同的糖果的购入总价是：1×3＝3.
按48%的利润率定价，则三种糖果应当售出的总价为：3×（1＋48%）＝4.44
由于每千克的进价分别为12元，15元，18元，可知1元钱，只能分别买这三种不同的
糖果
1
12
千克、
1
15
千克、
1
18
千克。

根据总价、数量、单价的基本关系式，这批糖果混合后每千克的售价应该为：
4.44÷（1
12
＋
1
15
＋
1
18
）＝4.44×
180
37
＝21.6（元）。

例6、今年小明的年龄是爸爸的
1
4
，12年后小明的年龄是爸爸的
5
11
，今年小明几岁？解：人的年龄随着时间的推移而增长，但不论过多少年，两人的年龄差始终是不会变的。

设父子两人的年龄差为单位“1”。

今年小明的年龄是爸爸的
1
4
，父子俩的年龄差是：1－
1
4
＝
3
4
，
同理，12年后父子俩的年龄差是：1－
5
11
＝
6
11
今年爸爸的年龄是年龄差的1÷
3
4
＝
4
3
，12年后，爸爸的年龄是年龄差的1÷
6
11
＝
11
6两人年龄差是：12÷（
11
6
－
4
3
）＝24（岁），
今年爸爸的年龄是：24×
4
3
＝32（岁）
所以，今年小明的年龄是：32×
1
4
＝8（岁）
例7、两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，以相同的速度相对而行。

一列火车开来，
全列车从甲身边开过用了10秒钟。

3分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用了9秒钟。

火车离开乙多少分钟后两人相遇？
解法一：设步行人每秒钟的速度为“1”。

据题意
10秒钟火车比人多行一个火车长：10×（火车速－1）＝10火车速－10
9秒钟火车和人共行一个火车长：9×（火车速＋1）＝9火车速＋9
火车车长为：10火车速－10＝9火车速＋9，
简化这个等式，可得火车每秒速度：9＋10＝19，
从火车离开甲起，到离开乙时止，火车共比甲多行了：（19－1）×（60×3＋9）＝3402 所以，火车离开乙后，甲、乙两人相遇需要的时间为：
3402÷（1＋1）＝1701（秒）＝28720
分. 解法二：设火车每秒的速度为“1”。

据题意
10秒钟火车比同向行人多行一个火车长：10×（1－人速）＝10－10人速
9秒钟火车和相向人共行一个火车长：9×（1＋人速）＝9＋9人速
火车车长为：10－10人速＝9＋9人速
简化这个等式，可得火车速与人速的关系：1＝19人速，即，步行人每秒的速度是火车的
119
从火车离开甲起，到离开乙时止，火车共比甲多行：（1－119）×（60×3＋9）＝1818919´ 所以，火车离开乙后，甲、乙两人相遇需要的时间为：
1818919´÷（119＋119）＝1818919´×192＝1701（秒）＝28720
分。

解法三：设火车的长度为“1”. 火车每秒钟比同向步行人多行火车长度的110，火车与相向步行人每秒共行火车长度的19
步行人每秒能走行火车长度的 （19－110）÷2＝1180
从火车离开甲起，到离开乙止，火车共前行了：60×3＋9＝189（秒） 在此段时间内，火车比同向的甲多行走的路程相当于火车长度的：
110×189＝18910
所以，火车离开乙后，甲、乙两人相遇需要的时间为：
18910 ÷（1180×2）＝1701（秒）＝28720分。

从以上几例可以看出，所有题的解答都是以不变量为单位“1”的。

例1、例2两题是题中的总量为已知条件，这样的题，题中并列的两个部分量，设任意一个为单位“1”，都能对题中的问题进行解答。

例3、例4、例5三题都是部分量为已知，没有总量，这些部分量没法建立起能解答问题的正常数量关系，这样的题就得要设单位“1”为总量。

例6表面上看来有统一的单位“1”，而它们代表的却是两个不同的年龄段。

凭这样的条件只能看出两个人年龄差，因为两人的年龄差始终都是不变的，因此要设年龄差为单位“1”。

本文最后一例是个行程问题，可是行程问题偏偏只有时间，而没有速度或者路程。

解法一、二是分别设步行人和火车每秒的速度为“1”。

根据火车与步行人追及和相遇的时间，就分别推导出了每秒火车的速度，以及步行者的速度。

解法三是设火车车身的长度为“1”，用火车车身长这把大尺子量出了步行人的速度，量出了火车比同向步行人多走的路程，即火车离开乙后两个步行者相隔的距离，从而使问题轻松地得到了解决。

在一道题里，不同的单位“1”的设置，就能产生不同的思维导向。

恰当地设置单位“1”，就帮我们能沟通数量间的关系，搭建起解决数学中的“问题”的平台。