辽宁省大连经济技术开发区得胜高级中学2021_2021学年高二数学下学期期中试题理

2015-2016学年度得胜高中高二理科数学期中考试卷
考试时间：150分钟；命题人：高一备课组
第I 卷（选择题）
1．命题：“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是（ ）
A ．不存在x R ∈，210x x ++>
B ．存在0x R ∈，2
0010x x ++> C ．存在0x R ∈，2
0010x x ++≤ D ．对任意的x R ∈，012≤++x x
2．已知,a b R ∈，则a b >是11()()22
a b <的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
3．设平面α的一个法向量为()11,2,2=-n ，平面β的一个法向量为()22,4,=--n k ，若α∥β，则k=（ ）
A ．2
B ．﹣4
C ．﹣2
D ．4 4．函数3
3y x x =-的单调递减区间是（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,+∞
C ．()1,1-
D ．()
(),11,-∞-+∞
5．21,F F 是椭圆19
252
2=+y x 的两焦点，
过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若8|=AB |， 则=+||22B F A F ||（ ）
A ．2 B.12 C.18 D.96 6．若曲线x
y e =在1x =处的切线与直线210x my ++=垂直，则m = A ．2e - B ．2e C ．2
e
- D ．2e
7．抛物线2
14
y x =
的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1y = C ．1x =- D ．1y =-
8．已知曲线2
21:13
x C y +=和222:1C x y -=的焦点分别为12,F F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则12MF F ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 9．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )
A ．22
14y x -= B ．2214x y -=
C ．22
12y x -= D ．2212x y -=
10．若椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）
A ．y=±x
B ．y=±x
C ．y=±x
D ．y=±x
11．过双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的一个焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在
线段OF 的垂直平分线上，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．
3
3
2 B ．
3 C ．2 D ．2 12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'
'
()()()()0f x g x f x g x +>且
(3)0g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）
A ．(3,0)(3,)-+∞
B ．(3,0)(0,3)-
C ．(,3)(3,)-∞-+∞
D ．(,3)(0,3)-∞-
第II 卷（非选择题） 13．
dx= ．
14．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2
于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．
15．双曲线2
2
1kx y -=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则双曲线的离心率是___________． 16．曲线x 在点处切线的倾斜角为 ．
三、解答题
17．已知c ＞0，且c≠1，设p ：函数x
c y =在R 上单调递减；q ：函数12)(2
+-=cx x x f 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c 的取值范围．
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，
3AB =，5BC =.
（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 是否存在点E ，使得DE 面11AA C C ？若存在，请说
明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角111C A B C --的大小.
19．(12分) 已知函数2
3
)(bx ax x f +=,在1x =时有极大值3; （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 在[]2,1-上的最值.
20．点P 在圆22:8O x y +=上运动，PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上， 满足PM MD =． (Ⅰ) 求点M 的轨迹方程；
(Ⅱ) 过点11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 为弦AB 的中点，求直线l 的方程．
21．已知椭圆的离心率，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距
离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．
22．已知函数2
()ln f x a x bx =-，,a b R ∈．
（1）若()f x 在1x =处与直线1
2y =-
相切，求a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，求()f x 在1
[,]e e
上的最大值；
（3）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2
(,]x e e ∈都成立，求a 的取值范围．
参考答案 1．C 【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以其否定是存在0x R ∈，2
0010x x ++≤，故选C.
考点：全称命题的否定 2．C 【解析】
试题分析：由题意得，根据指数函数1()2x y =为单调递减函数，则当a b >时，11()()22
a b <成立的；当
11()()22a b <时，a b >是成立，所以a b >是11
()()22
a b <的充要条件，故选C ． 考点：充要条件的判定及指数函数的性质． 3．D 【解析】
试题分析：平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，αβ，由
题意可得
24122
k
--==
-，4k ∴=，故选D. 考点: 1、平面的法向量的性质；2、两平面平行的性质.
4．C 【解析】
试题分析：易知定义域为R ，可得导函数为))(('113332
-+=-=x x x y ．由0<'y 得，11<<-x ，所以函数的单调递减区间为()1,1-．故选C ． 考点：利用导数求函数的单调区间． 5．B 【解析】
试题分析：由题意得：
22112211||||||||4,||||4(||||)445812
F A F B F A F B a F A F B a F A F B a AB +++=+=-+=-=⨯-=
选B.
考点：椭圆定义 【名师点睛】
1. 应用椭圆定义的情境往往为“焦点三角形PF 1F 2” ，而涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|整体代换．
2．利用椭圆定义求解，要注意两点：(1)距离之和为定值，(2)2a>|F 1F 2|，(3)焦点所在坐标轴的位置． 6．B 【解析】
试题分析：x
y e '=，1x y e ='=，所以曲线x
y e =在1x =处的切线斜率为k e =，直线210x my ++=与切线垂直，则210x my ++=的斜率应为1e -
，所以21
(0)m m e
-=-≠，所以2m e =．
考点：1．导数的几何意义；2．两直线垂直． 7．D 【解析】
试题分析：由题意得，抛物线的标准方程为2
4x y =，所以2p =且开口向上，所以准线方程为1y =-，故选D.
考点：抛物线的几何性质. 8．B 【解析】
试题分析：由题曲线2
21:13
x C y +=的焦点分别为()(
)
122,02,0F F -、，且点M 是1C 和2C 的一个
交点，联立22
221
31
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，得2231,22x y ==，故不妨设62,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则
2
2
16||222312MF ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+，21222
236||2||22
,212MF F F ⎛⎫⎛⎫=
+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-=⎭
则△MF 1F 2的中|F 1F 2|最长，2221212|||||MF F MF F =+.故△MF 1F 2是直角三角形．选B ． 考点：三角形的形状的判断
【名师点睛】本题考查三角形的形状的判断，属中档题.解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．由已知条件分别求出()(
)
1
2
2,02,0F F -
、，由于两条曲线相交由四个交点，而且具有对称性，故不妨设
62,22M ⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
，分别求出△MF 1F 2的三条边，用勾股定理判断△MF 1F 2的形状. 9．A 【解析】
试题分析：A 中1,2a b ==，渐近线为2y x =±，B 中2,1a b ==，渐近线为1
2
y x =±
，C 中1,2a b == 渐近线为2y x =±，D 中2,1a b ==，渐近线为22
y x =±
考点：双曲线方程及性质 10．A
【解析】
试题分析：通过椭圆的离心率，得到ab 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 解：椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为，
可得，可得，解得，
∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x ．
故选：A ．
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 11．D 【解析】
试题分析：因为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的一条渐近线为
b y x a =，且过其焦点(,0)F
c 的直线l 与b y x a =垂直，所以直线l 的方程为：()
a y x c
b =-，所以由()a y x
c b b y x a ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩可得垂足的横坐标为
222222a c a c a x a b c c ===+．因为垂足恰好在线段OF 的垂直平分线2c
x =上，所以22a c c =，即22
2c a =，所
以双曲线C 的离心率为2e =
，故应选D ．
考点：1、双曲线的简单性质；2、直线与双曲线的综合问题．
【思路点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的综合问题，属中档题．其解题的一般思路为：首先求出双曲线的一条渐近线与过焦点的与之垂直的直线的交点，然后由该交点在线段OF 的垂直平分线上，即可得出关于,,a b c 之间的等式关系，最后由双曲线的离心率的计算公式即可得出所求的结果． 12．D 【解析】
试题分析：因'
'
()()()()0f x g x f x g x +>，即'
[()()]0f x g x >，故()()f x g x 在(,0)-∞上递增，又∵()f x ，()g x 分别是定义R 上的奇函数和偶函数，
∴()()f x g x 为奇函数，关于原点对称，所以()()f x g x 在(0,)+∞上也是增函数．∵(3)(3)0f g =，∴(3)(3)0f g --=，所以()()0f x g x <的解集为：3x <-或03x <<，故选D ．
考点： 函数奇偶性的性质；导数的运算；不等式． 13． 【解析】
试题分析：根据微积分基本定理计算即可．
解：dx==
故答案为：． 考点：定积分． 14．[)1,+∞ 【解析】
试题分析：可知()(
)
,,,A a a B
a a -，设C ()2,m m ，()()
22,,,AC m a m a BC m a m a =+-=--．
∵该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，
()()
()220AC BC m a m a m a ∴⋅=+-+-=，化为()2
220m a m a -+-=．
2101m a m a a ≠∴=-≥∴≥，∴a 的取值范围为[)1,+∞．
考点：直线与圆锥曲线的关系 15．
5
2
【解析】
试题分析：双曲线2
2
10tx y --=的渐近线为y k x =±，一条渐近线与直线230x y -+=垂直，所以渐近
线的斜率为12-，所以1
2
b a ＝，所以222
14c a a -＝，所以52e =． 考点：1、双曲线的性质；2、两条直线垂直的充要条件． 16．
【解析】
试题分析：首先对曲线的方程求导，代入曲线上的所给的点的横标，做出曲线对应的切线的斜率，进而得到曲线的倾斜角． 解：∵曲线
∴y′=x， ∴曲线在点处切线的斜率是1， ∴切线的倾斜角是
故答案为：
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角． 17．
1
12
c <<
【解析】
试题分析：由指数函数二次函数的单调性可分别求得命题p,q 中c 的取值范围；借助于复合命题的判定方法分情况讨论得到c 需满足的条件，进而得到其范围 试题解析：依题意：p 真q 假或p 假q 真
p 真01c ⇔<<（3分） q 真102
c ⇔<≤
01
1112c p q c c <<⎧⎧⎪∴⇔⎨⎨<<>⎩⎪⎩真假或 112c ∴<<
1
102
c p q c >⎧⎧⎪∴⇔⎨⎨<≤⎩⎪⎩假真 ϕ∴
综上可知：
1
12
c << 考点：1．函数单调性；2．复合命题
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AA C C ；（Ⅲ）45︒．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（Ⅱ）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE
A C ，进而得出DE 面11AA C C ；（Ⅲ）利用二面角的定义
先确定11C A C ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．
试题解析：（Ⅰ）因为四边形11AA C C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =，
所以1AA ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AA C C ，
连结1A B 交1AB 于点E ，连结DE ，
因为点E 是1A B 中点，点D 是线段BC 的中点，所以1DE A C ．
又因为DE ⊄面11AA C C ，1A C ⊂面11AA C C ，所以DE 面11AA C C .
（Ⅲ）因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥.
又因为AC AB ⊥，所以AB ⊥面11AA C C ，所以11A B ⊥面11AA C C ，所以11A B ⊥11A C ，11A B ⊥1A C ， 所以11C A C ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得11111
tan 1C C
C A C C A ∠=
=，所以二面角111C A B C --的平面角为45°. 考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．
【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 19．（Ⅰ）6,9a b =-=;（Ⅱ）最大值()115f -=, 最小值()212f =- 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可知()13f =且()'10f =,从而可求得,a b 的值. （Ⅱ）求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,比较其极值与端点处函数值,其中最大的为最大值,最小的为最小值. 试题解析：解: （Ⅰ）()2
'32f x ax bx =+,
由题意可知()()1336,9320
'10f a b a b a b f =⎧+=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨+==⎩⎪⎩. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()3269f x x x =-+,()()2
'1818181f x x x x x ∴=-+=--, 令()'0f x =得0x =或1x =
()'0f x >时, 01x <<;()'0f x <时10x -<<或12x <<.
所以函数()f x 在()1,0-和()1,2上单调递减,在()0,1上单调递增.
因为()()16915,1693f f -=+==-+=,
()()00,212f f ==-,
最大值()115f -=, 最小值()212f =- 12分
考点：用导数求函数的极值和最值.
20．(Ⅰ) 2
2182y x +=;(Ⅱ) 220x y +-=. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据PM MD =可知M 是线段PD 的中点.设(,)M x y ,根据中点坐标公式可得点P 坐标,将其代入圆O 方程,整理即可求得点M 的轨迹方程. (Ⅱ) 设11(,)A x y 、22(,)B x y ,将其代入点M 的轨迹方程.两式相减,结合中点坐标公式可得直线l 的斜率.由点斜式可得直线l 的方程.
试题解析：解：(Ⅰ) 点M 在线段PD 上，满足PM MD =
∴点M 是线段PD 的中点
设(,)M x y ，则(,2)P x y
点P 在圆22:8O x y +=上运动
则 ()2228x y += 即 2
2182
y x += ∴点M 的轨迹方程为22182y x +=． (Ⅱ) 方法一：
当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是
点Q ，这种情况不满足题意．
设直线l 的方程为1(1)2
y k x -=-，
由 221()248y kx k x y ⎧=+-⎪⎨⎪+=⎩
可得 22211(14)8()4()8022
k x k k x k ++-+--= 由韦达定理可得 122
18()214k k x x k -+=-+ 由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，可得218()2214k k k --=+ 解得12
k =- 即直线l 的方程为11(1)22
y x -=-- ∴直线l 的方程为220x y +-=
方法二：
当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是
点Q ，这种情况不满足题意
设11(,)A x y 、22(,)B x y
A 、
B 两点在椭圆上，满足 221122221(1)821(2)82
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由(1)(2)-可得 22221212082
x x y y --+= 则 1212121214
y y y y x x x x -+⋅=--+ 由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫
⎪⎝⎭，可得12122,1x x y y +=+=，代入上式
121212
AB y y k x x -==-- 即直线l 的方程为11(1)22
y x -=-- ∴直线l 的方程为220x y +-=
考点：1代入法求轨迹方程;2中点弦问题. 21．（1）
．（2）经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD 为直径的圆过点E ． 【解析】
试题分析：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系
进行求解．
解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，
依题意可得：，
解得：a2=3，b=1，
∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则
而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③
将②代入③整理得k=，
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．
考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
22．（1）
1
1,
2
a b
==；（2）最大值为
1
(1)
2
f=-；（3）
2
[,)
2
e
+∞．
【解析】
试题分析：（1）已知“()f x 在1x =处与直线12y =-相切”说明'(1)0f =，1(1)2
f =-，联立可解得,a b ；（2）要求最大值，首先通过导数研究函数()f x 在1[,]e e
上的单调性与极值，发现在此区间上只要一个极大值点，它一定是最大值点；（3）本小题不等式恒成立问题，有两个参数,a b ，因此要把问题进行转化，不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，即2ln a x bx x -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2
(,]x e e ∈都成立，即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，即ln 0a x x -≥对2(,]x e e ∈恒成立，即ln x a x
≥
对2(,]x e e ∈恒成立， 即a 大于等于ln x x 在区间2(,]e e 上的最大值，下面只要求得于()ln x h x x
=在区间2(,]e e 上的最大值即可． 试题解析：（1）'()2a f x bx x =-． 由函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，得'(1)01(1)2
f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩． 解得：112
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩． （2）由（1）得：21()ln 2
f x x x =-，定义域为(0,)+∞． 此时，2
'
11()x f x x x x -=-=，令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，得1x >． 所以()f x 在1
(,1)e
上单调递增，在(1,)e 上单调递减，
所以()f x 在1[,]e e 上的最大值为1(1)2f =-． （3）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，
即2ln a x bx x -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2
(,]x e e ∈都成立， 即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2
(,]x e e ∈都成立， 即ln 0a x x -≥对2
(,]x e e ∈恒成立， 即ln x a x
≥
对2(,]x e e ∈恒成立， 即a 大于等于ln x x 在区间2(,]e e 上的最大值．
令()ln x h x x
=，则'2ln 1()(ln )x h x x -=，当2(,]x e e ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增， 所以()ln x h x x
=，2(,]x e e ∈的最大值为22()2e h e =，即22e a ≥． 所以a 的取值范围为2
[,)2
e +∞． 考点：用导数研究函数在某点处的切线，用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题．
【名师点睛】1．求曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程：（1）求出函数y ＝f （x ）在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的斜率．
（2）切线方程为：y ＝y 0＋f ′（x 0）（x －x 0）．
2．不等式恒成立问题可转化为函数最值，转化为用导数求函数的最值，具体的转化方法是用分离参数法．。