高考数学一轮复习数学平面向量多选题专项训练试题含答案

高考数学一轮复习数学平面向量多选题专项训练试题含答案
一、平面向量多选题
1．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°
答案：ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角，
∴
，
且(时与的夹角为0)，
所以且，故A 错误；
对于B
解析：ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，
∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53
λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；
对于D ，因为|||a a b =-∣
，两边平方得||2b a b =⋅，
则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故23||()32cos ,2
||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，
得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.
故错误的选项为ACD
故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
2．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）
A ．若a b →→=，则a b →→=
B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→
=
C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥ 答案：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】 对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；
对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同
解析：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，·
·0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，
故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
3．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π=
==则角C 的大小是( )
A ．6π
B ．3π
C ．56π
D ．23
π 答案：BD
【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.
【详解】
由正弦定理可得,
,而,
,
,
故或.
故选:BD.
【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析：BD
【分析】
由正弦定理可得
sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案.
【详解】 由正弦定理可得sin sin a c A C
=,
∴ sin sin c C A a ==而a c <, ∴ A C <,
∴ 566
C ππ<<,
故3C π
=或23
π. 故选:BD.
【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）
A ．a 是单位向量
B ．//B
C b C ．1a b ⋅=
D ．()
4BC a b ⊥+ 答案：ABD
【分析】
A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；
B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；
C. 根据，利用数量积运算判断；
D. 根据， ，利用数量积运算判断.
【详解】
A. 因为是边长
解析：ABD
【分析】
A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；
B.根据2AB a =，
2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2
a AB
b BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断.
【详解】
A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；
B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；
C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122
a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()
4BC a b ⊥+，故正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．97,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(7，9)
答案：ABC
【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确.
选项B. ,所以B 选项正确.
选项C . ,所以C 选
解析：ABC
【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯
= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---
⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--
⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确 故选：ABC
【点睛】 本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
6．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2 答案：CD
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；
对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A ，向量(
解析：CD
【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=
(2m •n )12≤ (22
m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ．10,45,70b A C ==︒=︒
B ．45,48,60b c B ===︒
C ．14,16,45a b A ===︒
D ．7,5,80a b A ===︒
答案：BC
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两
解析：BC
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B 中：因为csin sin 115
B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；
对于选项C 中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =
<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC .
【点睛】
本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）
A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin
B ：sin C
B ．在AB
C 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b c A B C
答案：ACD
【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；
对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中
解析：ACD
【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；
对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝
2sin 2sin 2sin sin R B R C R B C +=+＝左边，故该选项正确. 【详解】
对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C
===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝
2
π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；
对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C
===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C
++==++＝左边，故该选项正确. 故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B C D ．答案：AB
【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
中，因为，，面积，
所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：，
解得，
当时，由余弦定理得：，
解得
所以或
解析：AB
【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2
ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =
所以1sin 2
ABC S ab C ==
所以sin C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB
【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形
C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 答案：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=
所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=， 因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π
=，ABC 是直角三角形，故③正确；
对D ，因为222
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab
+-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
11．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=
，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．2a b += C ．2a b -=
D ．,60a b =︒ 答案：AC
【分析】 由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确；
，可得，故B 错误；
，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
解析：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；
()
22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()2
2222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;
故选：AC 【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
12．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ）
A ．1122AD A
B A
C =+ B ．0MA MB MC ++=
C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+ 答案：ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三
解析：ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
13．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5
B ．
23
C ．23
-
D ．
53
答案：AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ⨯
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos 3
B ==±. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 14．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
答案：AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；
对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；
对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题. 15．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
答案：AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB.
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：A 【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形． 【详解】
ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-= ，
∴222
22a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．
17．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，
B S ，
C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ⋅+⋅+⋅=
B ．cos cos cos 0A OA B OB
C OC ⋅+⋅+⋅=
C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 解析：C
利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到
AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到
::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定
理”得到答案. 【详解】
如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，
所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

因为四边形DOEC 的对角互补，所以AOB C π∠=-，
cos()cos OA OB OA OB C OA OB C π∴⋅=-=-．
同理，||cos OB OC OB OC A ∴⋅=-‖，
||cos OC OA OC OA B ∴⋅=-‖，
∴||cos ||||cos ||||cos OA OB C OB OC A OC OA B ==‖． ∴
||cos ||||cos ||||cos ||||||||||||
OA OB C OB OC A OC OA B
OA OB OC OA OB OC OA OB OC ==‖‖‖‖，
::cos :cos :cos OA OB OC A B C ∴=．
又11
sin()sin 22
A S O
B O
C A OB OC A π=
-= 11
sin()sin 22B S OA OC B OA OC B π=-= 11
sin()sin 22
C S OB OA C OB OA C π=
-= sin sin sin ::::A B C A B C S S S OA OB OC ∴=
=sin sin sin ::tan :tan :tan cos cos cos A B C
A B C A B C
=． 由奔驰定理得tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．()8bc b c +>
B ．()ab a b +>
C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
解析：A 【分析】
由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+
化简得出1
sin sin sin 8
A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即
可. 【详解】
ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1
sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+，
即()()1sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=
， 即()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()1
2sin cos 2sin cos 2
A A A
B
C +-=
， 即()()12sin cos 2sin cos 2
A B C A B C -++-=
， 即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2
A B C B C A B C --+==
⎡⎤⎣⎦，1
sin sin sin 8
A B C ∴=
， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则
2sin sin sin a b c
R A B C
===， []2111
sin 2sin 2sin sin 1,2
224
S ab C R A R B C R =
=⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤，
338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；
对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；
对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>
成立. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 19．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b = ②ABC ∆
的面积为
3
③ABC ∆
的周长为4+④ABC ∆
外接圆半径3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：C 【分析】
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2
A π
=
或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求
值，从而可得结论． 【详解】
4c =，3
C π
∠=
，可得
42sin sin 3
c R C π=
==
，可得ABC ∆
外接圆半径R =④正确；
()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2
A π
=或sin 2sin B A =，即2b a =；
若2
A π
=
，3
C π
=
，6
B π
=
，可得2a b =，①可能成立；
由4c =
可得a =
，b =
4+
12bc = 则②③成立；
若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得a =
，b =
则三角形的周长为4a b c ++=+
11sin sin 223S ab C π=
==
； 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 20．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(8，－1)
解析：B 【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】
解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而
12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1
32x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，即31,2P ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，
故选B. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 21．在ABC
∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于
（ ）
A
．
3 B
C
D ．解析：A 【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.
详解：由题意，在ABC ∆中，
利用三角形的面积公式可得011
sin 1sin 6022
ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯= 解得4c =，
又由余弦定理得222
1
2cos 116214132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
=
，解得a =
由正弦定理得2sin 2sin sin sin 3a b c a A B C A -+===
-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
22．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4 B ．3
C ．-4
D ．5
解析：C 【分析】
先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影． 【详解】
对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，
2222
22AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，
()
2
16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，
设向量BC 与CA 的夹角为θ，
所以，BC 在CA 方向上的投影为16
cos 44
BC CA BC CA BC BC BC CA
CA
θ⋅⋅-⋅=⋅=
=
=-⋅， 故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．
23．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72 B ．144
C ．150
D ．300
解析：B 【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =
，所以5sin 13
A =，所以1
||||sin 302
AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12
|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．
24．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
62)2
C 62
D ．
1
62)2
解析：A 【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB
=︒︒
，化简求得AE 62= 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA 2=BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°
＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故
∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°62
+=， △ABE 中，由正弦定理可得
sin30sin105AE AB
=︒︒
，
∴1
2
AE =
AE = 故选:A ．
【点睛】 本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
25．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
解析：D
【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．
【详解】 解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒
所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形
故选：D ．
【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题．
26．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形 解析：D
【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．
【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 27．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12
AE ED =
，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1
B ．23-
C ．13-
D ．34
- 解析：B
【分析】 选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.
【详解】
13BE AE AB AD AB =-=-，1()2
AD AB AC =+ ， 5166
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23
λμ∴+=-. 故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
28．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =
，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．441
B ．45
C ．425 D
．41
解析：B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =
，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C
=求解. 【详解】
在三角形ABC 中， 1a =
，c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
1322125=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C
=，
所以2sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题.
29．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ）
A ．M
B ．N
C ．
D ．1 解析：C
【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.
【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ===≥a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ==a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；
故选：C.
【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.
30．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
解析：B
【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S △△△.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。