2019年中考数学知识点《二次函数几何方面的应用》精选练习题(含答案解析)

n3
的最大值为
.
【答案】 25 3
【解析】过点 B 作 BE⊥l1 于点 E,作 BF⊥l3 于点 F,过点 A 作 AN⊥l2 于点 N,过点 C 作 CM⊥l2 于点 M,
设 AE＝x,CF＝y,则 BN＝x,BM＝y,∵BD＝4,∴DM＝y－4,DN＝4－x,∵∠ABC＝90°,且∠AEB＝∠BFC
2
3 x
2
)＝
3
3
10
50 3 50
10
5 25
－ 2 x2+10x＝ 2 m2,当 x＝ 3 时,mn 取得最大值为 3 ,∴ 2 m2＝ 3 ,∴m ＝ 最大 3 ,∴m+n＝ 2 m＝ 3 .
3. （2019·凉山）如图，正方形 ABCD 中，AB=12, AE = 1 AB，点 P 在 BC 上运动 （不与 B、C 重合）， 4
【解题过程】（1）∵A、B 是 y = k (x − 1)2 + 2 与 y = kx − k + 2 的交点
y
=
k(x
−1)2
+
2
y = kx − k + 2
k(x −1)2 + 2=k(x −1) + 2
k (x −1)(x − 2) = 0
x= 1
1
，
x=2 2
xy1
=1 =
2
，
xy2
第 25 题答图（1）
由图形轴对称的性质可知 FM = FI ， ND = NH ， 所以四边形 MDNF 的周长 = MD + DN + FN + FM = MD + NH + FN + FI ， 因为 MD 是定值，所以当 NH + FN + FI 最小时，四边形 MDNF 的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当 I、F、N、H 在同一条直线上时 NH + FN + FI 最小
2019年中考数学知识点《二次函数几何方面的应用》精选练习题（含答案解析）
一、选择题
1. （2019·乐山）如图，抛物线 y = 1 x2 − 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 是以点C （0,3）为圆心，2 4
为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA的中点，连结 OQ .则线段 OQ 的最大值是（ ）
△EBP∽△PCQ，∴ CQ
=
PC CQ
，∴
12 =
−
x
，整理得
CQ= −
1
(x −
6)2
+
4 ，∴当
x=6
时，CQ 取
BP BE
x
9
9
得最大值为 4.故答案为 4.
三、解答题 25．（2019 山东烟台，25，13 分）
如图，顶点为 M 的抛物线 y = ax2 + bx + 3 与 x 轴交于 A(−1, 0) ， B 两点，与 y 轴交于点 C，过点
3 【提示】由（1）可知 A(1,2) 和 B(2, 2+k) .根据题意分为两种情况：点 B 在点 C 左侧，点 B 在点 C 右侧.
当点 B 在点 C 左侧时 2+k>0 0>k>-2 如图 1，过点 B 作 BH ⊥ x 轴于点 H ，作 BE 的垂直平分线交 x 轴于点 F ，连接 BF ∵ BF =EF BFH = 2BEC 设 BF =EF =m ，由（1）可知 A(1,2) 和 B(2, 2+k) . E(1, 0) H (2,0) EH = 1
C 作 CD ⊥ y 轴交抛物线与另一个点 D，作 DE ⊥ x 轴，垂足为点 E．双曲线 y = 6 (x 0) 经过点 x
D，连接 MD，BD． (1) 求抛物线的解析式． (2) 点 N，F 分别是 x 轴，y 轴上的两点，当 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点 N， F 的坐标； (3) 动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OC 方向运动，运动时间为 t 秒，当 t 为何值
过点 P 作 PQ⊥EP，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 .
【答案】4
【解析】在正方形 ABCD 中，∵AB=12, AE = 1 AB=3，∴BC=AB=12，BE=9，设 BP=x，则 CP=12-x. 4
∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=∠B=∠C=90°，∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ，∴
−m + n = 4 所以 2m + n = −3 ，
m = − 7
3
解得
n
=
5
，
3
所以直线 HI 的表达式为 y = − 7 x + 5 ，
当 x = 0 时， y = 5 ，
33
3 当 y = 0 时， 0 = − 7 x + 5 ，所以 x = 5 ，
33
7
5
5
所以 F (0, ) ， N ( , 0) ，
因为 MB = MC ,可得3t − 2 = (3t − 2 − 3)2 + (t − 0)2
解得t = 9 − 2 15 或 t = 9 + 2 15 （舍去）
所以当 t = 9 − 2 15 时， BPD 的度数最大．
27．（2019 江苏盐城卷，27，14）如图所示，二次函数 y = k(x −1)2 + 2 的图象与一次函数 y = kx − k + 2 的
时， BPD 的度数最大？（请直接写出结果）
【解题过程】
（1） 当 x = 0 时 y = a 02 + b 0 + 3 = 3
所以OC = 3 ， C(0, 3) ，
因为CD ⊥ y 轴， DE ⊥ x 轴， CO ⊥ EO ，
所以四边形 OEDC 为矩形，
又因为双曲线 y = 6 (x 0) 经过点 D， x
+ 8 ，当 x=4 5 5
时，S△BDE
的最大值为 8.
2. (2019· 台州)如图,直线 l1∥l2∥l3,A,B,C 分别为直线 l1,l2,l3 上的动点,连接 AB,BC,AC,线段 AC 交直线 l2 于点D.设直线l1,l2 之间的距离为m,直线l2,l3 之间的距离为n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且 m = 2 ,则m+n
DG AN
2x；易证△HED∽△GMD，于是 HE = HD ， x = 4 5 − 2x ，即 MG = x2
GM GD GM
x
45−2x
，所以 S△BDE = 1 BM 2
1
x2
×HD= ×（2x −
2
4 5 − 2x
）×（4
5 5 - 2x）= − x2 + 4 5x = −
2
5 4 5 2 2 x − 5
ODC=BFH
tan ODC = tan BFH
∵ C(1,1 − 2 ) OC =1 − 2 ， OD=2 − k
k
k
1−2
tan ODC = OC = k = − 1 OD 2 − k k
− 1 = 4 + 2k k −k 2 − 4k − 3
k= 3
∵k0
k= − 3
当点 B 在点 C 右侧时 2+k<0 k<-2 如图，过点 B 作 BM ⊥ x 轴于点 M ，作 BE 的垂直平分线交 x 轴于点 N ，连接 BN ∵ BN =EN BNM = 2BEC 由（1）可知 A(1,2) 和 B(2, 2+k) . E(1, 0) M (2,0) EM = 1
FH = 1 − m
在 Rt△BFH 中，由 BH 2 + FH 2 =BF 2 得(k + 2)2 + (1 − m)2 = m2
k2 + 4k + 5 m=
2
−k 2 − 4k − 3
BH 4 + 2k
FH =1 − m = 2
tan BFH = FH = −k 2 − 4k − 3
∵ ODC = 2BEC
∵△OAB 是以OA为腰的等腰三角形 分为两种情况： OA=AB 或 OA=OB
当OA=AB 时即 5= k 2 + 1
k 2 = 4 k = 2
∵ k 0 k = −2
当 OA=OB 时即 5 = 4 + (k + 2)2
(k + 2)2 = 1
k = −1 或 k = −3
综上所述， k = −1 或 k = −2 或 k = −3 . （3）存在， k = − 3 或 k = −4 − 7
2
时 OC=3，OB=4，由勾股定理可得 BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，OQ= 1 PB= 7 ，故选 C. 22
二、填空题
1. （2019·无锡）如图，在 ABC 中，AB=AC=5，BC= 4 5 ， D 为边 AB 上一动点( B 点除外)，以CD
为一边作正方形 CDEF ，连接 BE ，则 BDE 面积的最大值为
第 25 题答图（2）
第 25 题答图（3）
所以可作 T 过点 B、D，且与直线 OC 相切，切点为 P，此时BPD 的度数最大，
由已知，可得OP = t ， P(0, t)
因为直线 OC 与 T 相切， 所以TP ⊥ OC ， 所以直线 PT 的解析式为 y = t
因为抛物线的表达式为 y = −x2 + 2x + 3 ，
=2 = 2+k
1
2
∵ B 点在 A 点的右侧 A(1, 2) ， B(2, 2+k) （2）由（1）可知 A(1, 2) 和 B(2, 2+k) ∵ O(0, 0)
A 点横坐标是1 ， B 点横坐标 2 .
由两点间距离公式可得： OA= 5,OB = 4 + (k + 2)2 , AB = k 2 +1
所以 S矩形OEDC = 6 ,
所以CD = S矩形OEDC = 2 , OC
所以 D(2, 3)
将点 A(−1, 0) 、 D(2, 3) 代入抛物线 y = ax2 + bx + 3得
a − b + 3 = 0 4a + 2b + 3 = 3
a = −1 解得b = 2
所以抛物线的表达式为 y = −x2 + 2x + 3 ． （2） 解：作点 D 关于 x 轴的对称点 H ，作点 M 关于 y 轴的对称点 I ，如图（1）
所以当 I、F、N、H 在同一条直线上时，四边形 MDNF 的周长最小，
连接 HI ，交 x 轴于点 N，交 y 轴于点 F，
因为抛物线的表达式为 y = −x2 + 2x + 3 ，所以点 M 的坐标为(1, 4) ，
由轴对称的性质可得， I (−1, 4) ， H (2, −3) ，
设直线 HI 的表达式为 y = mx + n ，
3
7
5
5
所以当 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小时， F (0, ) ， N ( , 0) ．
3
7
（3） 解：本题的答案为 9 − 2 15 ．
解题分析：如图（2），当两点 A、B 距离是定值，直线 CD 是一条固定的直线，点 P 在
直线 CD 上移动，由下图可以看出只有当过 A、B 的圆与直线 CD 相切时APB 最大．
A． 3
B． 41 2
C． 7 2
D． 4
【答案】C
【解析】连接 PB，令 y = 1 x2 − 4 =0，得 x= 4 ，故 A（-4，），（4，0），∴O 是 AB 的中点，又Q 是线 4
段 PA的中点，∴ OQ= 1 PB，点 B 是圆 C 外一点，当 PB 过圆心 C 时，PB 最大，OQ 也最大，此
.
【答案】8
【解析】过 D 作 DG⊥BC 于 G，过 A 作 AN⊥BC 于 N，过 E 作 EH⊥HG 于 H，延长 ED 交 BC 于 M. 易证△EHD≌△ DGC， 可设 DG=HE=x，∵AB=AC=5，BC= 4 5 ，AN⊥BC， ∴BN= 1 BC=2 5 ，
2 AN= AB2 − BN 2 = 5 ，∵G⊥BC，AN⊥BC，∴DG∥AN，∴ BG = BN = 2 ，∴BG=2x，CG=HD=4 5 -
所以B (3,0) 、点 D(2,3)
可以求得直线 BD 的垂直平分线的解析式为 y = 1 x + 2 33
联立 y = t 与 y = 1 x + 2 ，得 x = 3t − 2 ， y = t 33
直线 PT 与直线 BD 的交点即为点 M，所以 M (3t − 2, t)
图象交于 A , B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别于 x 轴、 y 轴交于C 、 D 两点，且 k 0 .
（1） 求 A , B 两点横坐标； （2） 若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3） 二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E ,是否存在实数 k ，使得ODC = 2BEC ，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.
＝90°,∠CMD＝∠AND＝90°,易得△AEB∽△BFC,△CMD∽△AND,∴ AE = BE ,即 x = m ,mn＝xy,
BF CF n y
AN ∴
CM
= DN DM
,即
m n
=
4 − x = 2 ,∴y＝10－ 3 x
y−4 3
2
,∵
m2 =
n3
,∴n＝
3 m,m+n＝
2
5 m,∵mn＝xy＝x(10－