【全国百强校】江西省高安中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题(重点班)

江西省高安中学2014-2015学年度下学期期中考试
高一年级重点班数学试题
一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的．）
1． 2015cos(
)3
π
的值等于（ ） A ．12
B ．1
2
-
C ．
32 D ．32
- 2.扇形的半径是6 cm ，圆心角为15°,则扇形面积是( ) A.
22
cm π
B. 2
3cm
π
C ．2cm π
D ．
232
cm π
3.函数12sin y x =-的值域是（ ）
A.[]2,1-
B.[]1,3-
C.[]0,1
D.[]2,3-
4．在△ABC 中，若0CA CB ⋅=，则△ABC 是（ ）
A 锐角三角形；
B 钝角三角形；
C 直角三角形；
D 等腰三角形 5.已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(3,6)- B.(6,2) C ． (2,0)
D.(2,0)-
6. 如图,在ABC ∆中，,AB c =AC b =若 点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．
2133b c + B.5233c b - C.2133c b - D.2233
b c + 7. 给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③0a λ= (λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
()sin f x x =，则5()3
f π
的值为（ ）
A. 1
2
-
B.
3
2
C.32-
D.12
9.右图是函数sin()(0,0,)2
y A x A π
ωϕωϕ=+>>≤
图像的一部分．为了得到这
个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )
A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变.
B.向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变.
D.向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
10．已知向量a ，b 的夹角为4π，且4=a ，1
()(23)122
+⋅-=a b a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）
A ．2
B ．3
C ．42
D ．1
11.已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有
)2015()()(11+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小正值为（ ）
A. 20151
B. 40301
C. 2015π
D. 4030
π
12.如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，
E F 、分别为边AB AD 、的中点，
当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是 （ ） A ．62,62⎡-⎣ B ．[]6,6- C ．32,32⎡⎤-⎣⎦
D ．[]4,4-
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

)
13. 已知角α的终边经过点)4,3(P ，则αcos 的值为 ． 14.若向量()()BA 2,3,CA 4,7,BC ==则= ．
15. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,且满足21
OC OA OB,33=+则AC AB
= .
y
x
E
F D B C
M
O
A
16. 有以下四个命题：①函数f(x)=sin(
3
π
－2x)的一个增区间是,43ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；②若函数f(x)=sin(ωx+ϕ)).0(,>ω为奇函数，则ϕ为π的整数倍；③对于函数f(x)=tan (2x+3
π
)，若f(x 1)=f(x 2)，则x 1－x 2必是π的整数倍；④函数y=2sin(2x+3π)的图像关于点(,0)32
k ππ+对称。

其中正确的命题是 （填上正确命题的序号）
三.解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (10分)已知02απ<<
,4
sin 5
α=. （1）求cos α的值；（2）求tan()4
π
α+
的值；
（3）求
sin()cos()tan(
)
2
cos()
π
παααπα---+的值.
18.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =. （1）若25c =，且//c a ，求向量c ；
（2）若35
b =
，且2a b +与2a b -垂直，求向量a 与向量b 的夹角的余弦值. 19. (12分)已知点(1,0),(0,1),(2sin ,cos ).A B C θθ (1)若sin 2cos ,sin cos AC BC θθ
θθ
+=-求
的值.
(2)若(2)1,OA OB OC +⋅=其中O 为坐标原点,求sin cos θθ⋅的值. 20.(12分) 函数)2
,0)(sin(π
ϕωϕω<
>+=x y 在同一个周期内，当4
π
=
x 时y 取最大值1，当
12
7π
=
x 时，y 取最小值1-. （1）求函数的解析式).(x f y =
（2）求方程),10()(<<=a a x f 在]2,0[π内的所有实数根之和.
21.(12分) 已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π
=-+++,0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的值 域为[]5,1-.
(1)求常数a ，b 的值；(2)设 ()()2
g x f x π
=+且g(x)的定义域为不等式lg [g (x )]>0的解集，
求()g x 的单调区间．
22.(12分) 某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=253米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路O E,EF 和OF,考虑到小区整体规划,要求O 是AB 的中点,点E 在边BC 上,点F 在边AD 上,且OE ⊥OF,如图所示. (1)设∠BOE=α,试将△OEF 的周长l 表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
高一年级重点班数学期中试题答案
13.3/5 14.(-2,-4) 15. 1/3 16. ②④ 17.解：（I ）02απ<<
,4sin 5α=，3
cos 5
α∴=； …………2分 （II ）4
tan 3
α=
…………4分 tan()74
π
α+=-
…………6分
（III ）
sin()cos()tan(
)
2
cos()
π
παααπα---+
=
sin cos cot cos αααα-=3
sin cot cos 5
ααα-=-=-. …………10分
18.
解：（Ⅰ）
//c a ，可设c a λ=，
∴c a λ=，=，
∴
2λ=± ∴
(2,4)c =或(2,4)c =--. ……… 6分 （Ⅱ）∵2a b +与2a b -垂直，∴()()
220a b a b +⋅-=，即22
2230a b a b -+⋅=
∴4510204θ-⨯
+=，∴5cos 9θ=，所以a 与b 的夹角的余弦值5
9
…… 12分 19. (1)AC BC ,==
简得2sin θ=cos θ,所以tan θ=1
2
,…………4分 所以
…………6分
(2)()()OA 1,0,OB 0,1,OC ===(2sin
θ,cos θ),
所以OA 2OB +=(1,2),因为()
OA 2OB OC +=1,
所以2sin θ+2cos θ=1.所以(sin θ+cos θ)2
=14
,…………10分
所以sin θ·cos θ=-38
.…………12分
20. (1)
3)4127(22=∴-⨯=ωππωπ
…………2分
又因,2243,1)43sin(ππϕπϕπ+=+∴
=+k 又,4
,2πϕπϕ-=∴< ∴函数
)
43sin()(π-
=x x f …………5分
(2))43sin()(π
-
=x x f 的周期为π3
2 )4
3sin(π
-
=∴x y 在]2,0[π内恰有3个周期，
并且方程)10()4
3sin(<<=-
∴a a x π
在]2,0[π内有6个实根且2
21π
=
+x x
同理，,6
19,6116543ππ=+=+x x x x 故所有实数之和为2
116196112ππππ=++…………12分
21.解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1
2，1， ∴－2a sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6∈[－2a ，a ]．
∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，
∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5………5分
(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋7π
6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，………6分
又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6－1>1， ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z ，………8分
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π
6，k ∈Z ，
∴g (x )的单调增区间为⎝
⎛⎦⎤k π，k π＋π
6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π
3
，k ∈Z .
∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . ………12分
22.(1)在Rt △BOE 中,OE=25cos α,在Rt △AOF 中,OF=25
sin α
. 在Rt △OEF 中
25,sin cos =αα当点F 在点D 时,角α最小,α=6π,
当点E 在点C 时,角α最大,α=3π,所以l =
25(sin cos 1)
,sin cos α+α+αα
定义域为[6π,3
π
].…………6分
(2)设t=sin α+cos α,α∈[
6π,3
π
],
t ≤≤ (
)
))
2
25t 150501,50
1,t 1t 12
+⎡
⎤=
=∈⎣⎦
--l
所以当α=
4
时, l min +1),总费用最低为元. …………12分。