高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0063 100

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．23-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上
的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.4515-
B.2515
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,
2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．23<a
C ．13<<-a 或2
3>a D ．3-<a 或231<<a 2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-或35-
B ．32-或23-
C ．54-或45-
D ．43-或34
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （ ）
A. 3
B. 2
21 C. 22 D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
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【考情解读】
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
【重点知识梳理】
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系
(1)位置关系的分类
⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a ，b′∥b ，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2．
(3)平行公理和等角定理
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
【高频考点突破】
考点一 平面基本性质的应用
【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是()
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R 的截面图形是()
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【变式探究】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．
解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．
答案①②③
考点二空间两条直线的位置关系
【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④D E与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【变式探究】 (1)如图，在正方体ABC D－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
考点三求异面直线所成的角
【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解(1)在四棱锥P－ABCD中，
【变式探究】已知在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且点M ，N 分别是BC ，AD 的中点．
(1)若直线AB 与CD 所成的角为60°，则直线AB 和MN 所成的角为________．
(2)若直线AB ⊥CD ，则直线AB 与MN 所成的角为________．
解析 (1)法一 如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝
12CD ，
答案 (1)60°或30°(2)45°
【真题感悟】
1.【高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，
6AB =，C 3B =．
（1）证明：C//B 平面D P A ；
（2）证明：C D B ⊥P ；
（3）求点C 到平面D P A 的距离．
所以D CD 1133S h S
∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 1
36737212342
S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372
2.【高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；
（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .
1．（·辽宁卷）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．（·福建卷）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
图1-5
A ＝90°，M ，N 分别是A1B1，A1C1的中点，BC ＝CA ＝CC1，则BM 与AN 所成角的余弦值为()
A.110
B.25
C.3010
D.22
4．（·四川卷）三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .
(1)证明：P是线段BC的中点；
(2)求二面角A - NP - M的余弦值．图1-4
方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD.
因为OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.
又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz.
则A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)．
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，
又由(1)知，P为线段BC的中点，
【押题专练】
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c() A．一定平行
B．一定相交
C．一定是异面直线
D．平行、相交、是异面直线都有可能
2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b 和c的位置关系是()
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
答案D
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
4．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()
A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直
C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直
5．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()
A．两条相交直线B．两条平行直线
C．两个点D．一条直线和直线外一点
解析如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.
答案C
6.一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()
A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
7．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD
上的点，且CF
CB＝
CG
CD＝
2
3，则()
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
8．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
答案1或4
9．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与CC1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB1是异面直线； ④直线AM 与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．
11．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为________．
12.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綉12AD ，BE 綉1
2FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？
13．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
故异面直线OC与MD所成角的正切值为
6 3.
14.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
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【高频考点解读】
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】
题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值
例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋1
4x －5的最大值；
(2)已知x 为正实数且x2＋y2
2＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1
x ＋3＋x －1
的最大值．
(2)因为x>0，
所以x 1＋y2＝2
x212＋y22≤2[x2＋12＋y2
2
]
2
，
又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝3
2， 所以x 1＋y2≤2(12×32)＝32
4， 即(x 1＋y2)max ＝32
4.
(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝t
t2＋t ＋4.
当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t>0，即x>1时，y ＝1
t ＋4t ＋1
，
因为t ＋4
t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1
≤1
5，
即y 的最大值为1
5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)． 【提分秘籍】
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
【举一反三】
(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23
(2)若函数f(x)＝x ＋1
x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )
A ．1＋2
B ．1＋3
C ．3
D ．4 答案 (1)B (2)C
题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值
例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2
y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．
答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2
y )(x ＋y) ＝10＋8y x ＋2x
y ≥10＋2
8y x ·2x
y ＝18.
当且仅当8y x ＝2x
y ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2
y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y
1＋y .
方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， ∴x ＋3y ＝9－3y
1＋y ＋3y
＝
12
1＋y
＋(3y ＋3)－6≥212
1＋y
·3y ＋3－6＝6， 当且仅当12
1＋y
＝3y ＋3，
即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，
9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y
2)2， 当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t>0，∴t≥6.
故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6. 【提分秘籍】
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
【举一反三】
(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)
(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 答案 (1)D (2)5
解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x
y ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝x
y ，即x ＝2y 时等号成立． 由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，
可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4<m<2. (2)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3
5x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋3
5x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.
(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1
2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.
题型三 基本不等式与函数的综合应用
例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)
(2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11
x ＋1
(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是
________．
答案 (1)B (2)[－8
3，＋∞)
解析 (1)由f(x)>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，
解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ， 即x ＝log32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k<22－1.
(2)对任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a≥－(x ＋8
x )＋3.
设g(x)＝x ＋8x ，x ∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝17
3. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－8
3， ∴a≥－83，故a 的取值范围是[－8
3，＋∞)． 【提分秘籍】
(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min ；
(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性． 【举一反三】
已知函数f(x)＝x ＋p x －1(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为
________．
答案 94
解析 由题意得x －1>0，f(x)＝x －1＋p
x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)
在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝9
4.
题型四基本不等式的实际应用
例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．
答案 10
【提分秘籍】
对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．
【举一反三】
(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q
2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
答案 (1)B (2)乙
解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2
800x ·x 8＝20.
当且仅当800x ＝x
8(x>0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p%)(1＋q%)， 方案乙：(1＋p ＋q
2%)2， 因为
1＋p%
1＋q%
≤
1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p ＋q
2%，
且p>q>0，所以1＋p%1＋q%
<1＋p ＋q 2%，
即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p ＋q
2%)2， 所以提价多的方案是乙． 【高考风向标】
1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足
12
ab a b
+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C 【解析】
12
121220022,22ab a b ab ab a b
a b a b ab
+=∴=
+≥⨯=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.
2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.
【答案】23
3.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得
111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b a
a b
=+，因为0,0a b >>，所以+2b a b a a b a b ≥⋅，故4a b +≥，当=b a
a b
，即2a b ==时取等号． 4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3
a －4
b ＋5
c 的最小值为________．
【答案】－2
5．（·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax2＋b x 6
的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 【答案】2
【解析】Tr ＋1＝Cr 6(ax2)6－r·⎝⎛⎭
⎫b x r ＝Cr 6a6－r·brx12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C36a6－3b3＝
20，即a3b3＝1，所以ab ＝1，所以a2＋b2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.
6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b)×10＝80＋20(a ＋b)≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.
【答案】C
7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 【解析】由log4(3a ＋4b)＝log2ab 得3a ＋4b ＝ab ， 且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3
b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b)·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋⎝⎛⎭⎫3a b ＋4b a ≥ 7＋2
3a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号．
【答案】7＋43
8．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →
＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()
A ．2
B ．3 C.172
8 D.10 【答案】B
【解析】由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A(y21，y1)，B(y22，y2)，∴OA →·OB →＝y1y2＋y21y22＝2，
解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2. 当y21≠y 2时，AB 所在直线方程为y －y1＝y1－y2y21－y22(x －y21)＝1
y1＋y2(x －y21)，
令y ＝0，得x ＝－y1y2＝2，即直线AB 过定点C(2，0)．
于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y1|＋12×2|y2|＋12×14|y1|＝1
8(9|y1|＋8|y2|)≥1
8×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y22时，取y1＝2，y2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而172
8>3，故选B.
9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当z
xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()
A ．0 B.98 C ．2 D.9
4
【答案】C
10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()
A ．9 B.92 C ．3 D.3 2
2
【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝9
2，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－3
2时等号成立，故选B.
【高考押题】
1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x2＋1
4)>lgx(x>0) B ．sinx ＋1
sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x2＋1>1(x ∈R) 答案 C
解析 当x>0时，x2＋14≥2·x·1
2＝x ， 所以lg(x2＋1
4)≥lgx(x>0)， 故选项A 不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k ∈Z 时，sinx 的正负不定， 故选项B 不正确；
由基本不等式可知，选项C 正确；
当x ＝0时，有1
x2＋1
＝1，故选项D 不正确．
2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1
b 的最小值是( ) A.1
4B ．1C ．4D ．8 答案 C
解析 由a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＝1，a>0，b>0.
故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1
ab ≥
1a ＋b
2
2＝1
122＝4.
当且仅当a ＝b ＝1
2时上式取“＝”．
3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.2
2B ．22C.2D ．2 答案 D
解析 ∵x>0，y>0，x ＋2y≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y)≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴
2xy ≥2，∴xy≥2.
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a<v<abB ．v ＝ab C.ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b
2 答案 A
5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当z
xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0B.98C ．2D.94 答案 C
解析 由题意知：z ＝x2－3xy ＋4y2，
则z xy ＝x2－3xy ＋4y2xy ＝x y ＋4y x －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y2＝－2y2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.
6．若对于任意x>0，x
x2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
答案 a≥1
5 解析
x x2＋3x ＋1
＝1
3＋x ＋1x
， 因为x>0，所以x ＋1
x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则
1
3＋x ＋1x
≤13＋2＝15，
即
x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a≥1
5.
7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1
x2＋4y2)的最小值为________． 答案 9
解析 (x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1
x2y2＋4x2y2≥5＋2
1x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．
8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
答案 20
9．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋8
2x －3的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值． 解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x )＋3
2.
当x<3
2时，有3－2x>0， ∴
3－2x 2＋8
3－2x
≥23－2x 2·8
3－2x
＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x
，即x ＝－1
2时取等号．
于是y≤－4＋32＝－5
2. 故函数的最大值为－5
2. (2)∵0<x<2，∴2－x>0，
∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x
2＝2，
当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，
∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.
10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
高考模拟复习试卷试题模拟卷。