上海市2021年高三第一学期质量调研考试数学(文)试题(含答案)

第一学期高三年级质量调研考试
数 学 试卷（文科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上
答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足i 3i z （i 为虚数单位），则||z =.2
2．若全集U =R ，函数2
1
x y =的值域为集合A ，则U
A =.)0,(-∞
3．方程4260x
x
--=的解为.2log 3x =
4．函数()cos()sin sin()cos x x
f x x x
π-=
π+的最小正周期T =.π
5．不等式
11
2
x >的解集为.)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.15π
学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ ……………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………
7．已知ABC △中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △的面积
为.
252
8．在2021年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种.10
9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且
32532
S S =+，则2lim n n S n →∞=.5
10．若函数1
()2
x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于.1
11．若点P 、Q 均在椭圆22
22
:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为.2a
12．已知函数cos 04()2
5 4x x f x x x π⎧
≤≤⎪
=⎨⎪-+>⎩，，
，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是.(8 10)，
13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为
b a 和d
c （*
,,,a b c d ∈N ）,则b d a c
++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令
3149
1015
<π<，则第一次用“调日法”后得
165是π的更为精确的过剩近似值，即
3116
105
<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调
日法”后可得π的近似分数为.
227
14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1
(1)32n
n n n
S a n =-++-，则数列{}21n a -的前n 项和为.11334
n n --⋅
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编
号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“
2b a
a b
+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件(B)充分不必要条件
(C) 必要不充分条件 (D)既非充分又非必要条件
16．设2
3
4
5
()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.
(A)511y x =-(B)511y x =-(C)511y x =--511y x =--17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足
a b c c
b a b c
-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）.
(A)0,
π⎛
⎤ ⎥6⎝⎦(B)0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦(C),π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭(D),π⎡⎫
π⎪⎢3⎣⎭
18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所
示.{}
(())0A x f g x ==,{}
(())0B x g f x ==,则A
B 中元素的个数为（
C ）.(A) 1(B)2(C)3(D)4
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，
证
12AA AB ==，1BC =,BAC π
∠=
6
，D 为棱1AA 中点，明异面直线11B C 与CD 所成角为
π
2
，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．
[证明]
在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即
C
A
B
D
A 1
B 1
C 1
x
y -1
O
1
2 1
图2
x
y -1
O
1 1
-1
图1
为异面直线11B C 与CD 所成角，……………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=
6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π∴∠=2
即BC AC ⊥，…………4分
又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分
BC CD ∴⊥………………8分
所以异面直线11B C 与CD 所成角的为
2
π
．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为11
31232
ABC V S AA =⋅=
⋅=△12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．
如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02βαπ
<<<<π． （1）若3
=
4
απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；
（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+． [解]（1）方法一: ()2cos 3
αβ-=
， 1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9
1
-…3分
3
=4απ，即9
1)223cos(
-=-βπ， …………………………………6分 O
x
y
A
B
9
1
2sin =∴β．…………………………………8分
方法二: ()2cos 3αβ-=
，3=4απ，即3
2sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 3
2
2cos sin =
-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β……………………………6分
9
1
2sin =∴β．…………………………………8分
（2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=
⋅∴=β
αβαsin sin cos cos +………………10分
又因为与夹角为βα-1==OB OA
⋅∴)cos()βαβα-=-OB OA ………………………12分
综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立．……………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．
某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观
光大道
AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P
（即直
y
A
M
P
大海
2l
线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数a
y x
=
图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）. [解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的函数关系式为8
y x
=
，…4分 又得4(10,)5
N ，所以定义域为[]1,10.………………………………6分
（2）由（1）知(2,4)P ，设直线AB 方程为4(2)y k x -=-，
由4(2)8
y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩
得 22(2)80k x k x +--=,224(2)324(2)0k k k ∆=-+=+=…8分
20k ∴+=，2k ∴=-，所以直线AB 方程为28y x =-+， ……………… 10分
得(0,8)A 、(4,0)B ， ………………………………………………12分
所以6416458.944AB =+=≈千米． 答: 公路AB 的长度为8.944千米.………14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．
已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3
(1,)2
，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，
斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为43k 的值； （3）若直线l 过点()0,1M -，设直线OC ，OD 的斜率分别为12,k k ，且
12
121
,,k k k 成等差数列，求直线l 的方程.
[解]（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题设得22221
91
41
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，…2分 22
43
a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22
143x y +=…………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2
(1),4,
y k x y x =-⎧⎨
=⎩得2222
2(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，
则42422
2
4(44)44(1)1k k k k AB k k ++-+=+=
…………………………6分 (1,)P k -到l 的距离2
31
k d k =
+，又43PAB
S =△222314(1)4321
k
k k k +∴⋅
=+22433k k =+，故3k =±10分
（3）设直线:1l y kx =-，由221,1,43
y kx x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y 得()22
43880k x kx +--=，
()0,1M -在椭圆内部，l ∴与椭圆恒有两个交点,设()()1122,,,C x y D x y ，则1221228,43
8.43k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
，由
12121,,k k k 成等差数列得121221121212
411x x
x y x y k k k y y y y +=+=+= 122112
122211212(1)(1)2()
(1)(1)()1
x kx x kx kx x x x kx kx k x x k x x -+--+=
=---++…………………12分 2222168248843123
k k k
k k k k --=
=--++-， ………………………14分
即22k =±
，∴直线l 的方程为212
y x =±-．………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．
已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为
1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”．
（1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*
N ，66n n a S a S ≥；
（3）若数列{}n a 为“6关联数列”，当6n ≥时,在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，
∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列
,4,51516+=+=∴a a a a 且
256=a a ， 即24
511=++a a ，解得31-=a …………2分 54,4
2,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或55
4,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）．……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717
,5,6
222227,627,7n
n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩
） …………………………………6分
{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a ---，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,
n S -----
-
{}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S --，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，
证明：541
(4)(7),5
22(27),6
n n n n n n n n a S n --⎧--≤⎪=⎨⎪-≥⎩，
列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分
精品 Word 可修改 欢迎下载 当6n ≥时，)6(27)2(2525≥⋅-⋅=--n S a n n n n ，设52n t -=，则{}22,2,,2,m t ∈，
222749272()2272648
n n a S t t t =-=--≥⋅-⋅=-．……………………10分 （3）由（1）可知，当6n ≥时，52n n a -=，因为：1(21)n n n a a n d +=++-，4522(1)n n n
n d --=++故：5
21
n n d n -=+．……………………………13分 假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：()2k m p d d d =，即：2555222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭
，()()()21010
222111k m p m p k -+-=+⋅++（*）15分 因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2
++=+p m k ， 即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．
所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列．…18分
（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而5
21
n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）。