辽宁省抚顺市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

辽宁省抚顺市2021届新高考数学三月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<…，则A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,2]-
C ．{1}
D ．{1,0,1,2}-
【答案】C 【解析】 【分析】
解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】
由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B =I {1}. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r
绕原点O 按逆时针方向旋转6
π
，所得向量对应的复数是（ ）
A ．122
-
+ B ．122
i -
+ C ．12-
D ．122
i -
- 【答案】A 【解析】 【分析】
由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r
的坐标，逆时针旋转6
π
，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】
解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r
绕原点O 逆时针旋转6
π
得到OB uuu r ， 设OB uuu r
＝(a ，b)，0,0a b <>，
则cos 62
OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又221a b +=，
解得：1,22
a b =-
=
，
∴12OB ⎛=- ⎝⎭
u u u r ，
对应复数为12-+. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．5101900-米
B ．510990-米
C ．4109900
-米
D ．410190
-米
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，
解得4n =，再求和. 【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设11
100,,0.110
n a q a ==
=， 所以1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，
解得4n =，
所以
()
4
4
44111001101111100
1190a q S q
⎛⎫⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=
=-=
--
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.
4．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P
，则实数t 的值为（ ） A
B ．
52
C ．ln 2
22
+
D ．ln 3
22
+
【答案】C 【解析】 【分析】
设(,)x
P x e ，求2AP ，作为x 的函数，其最小值是6，利用导数知识求2
AP 的最小值．
【详解】
设(,)x
P x e ，则2
22()x AP x t e =-+，记22()()x
g x e
x t =+-，
2()22()x g x e x t '=+-，易知2()22()x g x e x t '=+-是增函数，且()g x '的值域是R ，
∴()0g x '=的唯一解0x ，且0x x <时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>，即min 0()()g x g x =， 由题意0
2200()()6x g x e
x t =+-=，而0200()22()0x g x e x t '=+-=，020x x t e -=-，
∴00246x x e e +=，解得022x e =，0ln 2
2
x =
． ∴0
20ln 2
22
x t e
x =+=+
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对0x 和t 的关系的处理是解题关键．
5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数
λ=( )
A
B
．
C
．
3
D
．
2
【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r
，||||
AB AC λ===u u u r
u u u
r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
6．已知f(x)=-1
x x e e a
+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（ ）
A ．(-2,6)
B ．(-6,2)
C ．(-4,3)
D ．(-3,4)
【答案】C 【解析】 【分析】
由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】
因为()1
x x e f x e a
-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，
即11
101e e e a a e
--+=++，解得1a =，即()12
111
x x x
e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()(
)2
39f x f x -<-，所以2
39x x
-<-，解得43x -<<.
故选：C. 【点睛】
7．已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
E a b
a b
-=>>满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线
24
y x
=的焦点F重合；②双曲线E与过点(4,2)
P的幂函数()
f x xα
=的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）
A．
31
+
B．
51
2
+
C．
3
2
D．51
+
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)
，,可求得幂函数为()
f x x
=,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线24
y x
=的焦点为(1,0)
F，F关于原点的对称点(1,0)
-；24α
=，
1
2
α=，所以
1
2
()
f x x x
==，()2
f x
x
'=，设
00
(,)
Q x x，则0
2
x
x
=，解得
1
x=，∴()
1,1
Q，可得22
11
1
a b
-=，又1
c=，222
c a b
=+，可解得
51
2
a
-
=，故双曲线的离心率是
51
51
c
e
a
+
===
-. 故选B．
【点睛】
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
8．如图所示点F是抛物线28
y x
=的焦点，点A、B分别在抛物线28
y x
=及圆224120
x y x
+--=的
实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB
∆的周长的取值范围是（）
【解析】 【分析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】
抛物线2
8y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，
根据抛物线定义可得2A AF x =+，
圆()2
2216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，
点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22
4120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2. 点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，
则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 9．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A ．()x e x
f x x
+=
B ．()2
1x f x x -=
C ．()x e x
f x x
-=
D ．()21
x f x x
+=
【答案】A 【解析】 【分析】
对于选项B, ()2
1x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;
对于选项C,当1x <-时, ()0x e x
f x x
-=<,可判断C 错误;
对于选项D, ()22111
=+x f x x x x
+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
10．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是
ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )
A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】B 【解析】
由题意2ξ=或4，则221
[(23)(43)]12
D ξ=
-+-=，故选B ． 11．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足
3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当30,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
()()
2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫
-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得函数()f x 的周期为3，再由奇
函数的性质结合已知可得3
3101022
f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区
间[]
0,6上的零点个数． 【详解】
可得3f x f x （）（）+=，
函数()f x 的周期为3， ∵当30,
2x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
时， ()()
2
ln 1f x x x =-+， 令0f
x =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，
∴在区间33
[]22
-，上，有11000f f f -=-==（
）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴3310102
2
f f f f f -=-====（
）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，
∴方程()f x =0在区间[]
0,6上的解有3
9012345622
，，，，，，，，． 共9个，
故选D ． 【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．
12．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(,)34
内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大
【答案】C 【解析】 【分析】
1121
()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34
内的单调性即可．
解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在2
3,
34p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
内递增， 22111
()(1)(1)333
E p p ξ=-⨯-+=
2
2
2
221121442411
()()()(1)()3333999923
D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，
是以12
p =
为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a
的个数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】
可看出2a
a e ≠，这样根据A B ≠∅I
即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1．
【详解】
解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2a a e =，
在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与
2
x
y e =的图象，
由图可知y x =与2
x y e =无交点， 2a
a e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1．
故答案为：1．
考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2x
x e =无解，属于基础题．
14．不等式1x ax lnx xe ++≤对于定义域内的任意x 恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】
根据题意，分离参数，转化为1
x xe lnx a x
--≤只对于()0,∞+内的任意x 恒成立，令
()ln 1ln 1
x x x xe lnx e x x x
g x +----=
∴=，则只需在定义域内()min a g x ≤即可，利用放缩法1x e x ≥+，得出ln ln 1x x e x x +≥++，化简后得出()min g x ，即可得出a 的取值范围. 【详解】
解：已知1x ax lnx xe ++≤对于定义域()0,∞+内的任意x 恒成立，
即1
x xe lnx a x
--≤对于()0,∞+内的任意x 恒成立，
令()1
x x g xe ln x x =--，则只需在定义域内()min a g x ≤即可，
()ln ln 1ln 1ln 1
x x x x x xe lnx e e x e x x x x
g x +--⋅---∴=-==
， 1x e x ≥+Q ，当0x =时取等号，
由1x e x ≥+可知，ln ln 1x x e x x +≥++，当ln 0x x +=时取等号，
()ln ln 1ln 1ln 1
1x x e x x x x x x
g x +--++--=≥=∴，
当ln 0x x +=有解时，
令()()ln 0h x x x x =+>，则()1
10h x x
'=+
>， ()h x ∴在()0,∞+上单调递增，
又11
10h e e
⎛⎫=
-< ⎪⎝⎭
Q ，()110h =>， ()00,x ∴∃∈+∞使得()00h x =，
所以a 的取值范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D ，11A B 的中点，P 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），若//FP 平面AEC ，则线段1A P 长度的取值范围是______.
【答案】230225⎡⎢⎣ 【解析】 【分析】
取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，推导出平面//FGB 平面AEC ，从而点P 在线段BG 上运动，作1A H BG ⊥于H ，由111A H A P A B 剟
，能求出线段1A P 长度的取值范围． 【详解】
取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，
Q 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D 、11A B 的中点，
//AE BG ∴，//AC FG ， AE AC A =Q I ，BG FG G =I ，
∴平面//FGB 平面AEC ，
P Q 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界）
，//FP 平面AEC ， ∴点P 在线段BG 上运动，
在等腰△1A BG 中，221215A G BG ==+2212222A B =+， 作1A H BG ⊥于H ，由等面积法解得：
22
111(
)
225223025
A B A B BG A H -⨯-=
==
g ， 111A H A P A B ∴剟，
∴线段1A P 长度的取值范围是230[，22]．
故答案为：230
[
，22]．
【点睛】
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．若x 5=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+…+a 5(x-2)5，则a 1=_____，a 1+a 2+…+a 5=____ 【答案】80 211 【解析】 【分析】
由()5
522x x ⎡⎤=+-⎣⎦，利用二项式定理即可得1a ，分别令3x =、2x =后，作差即可得125a a a ++⋅⋅⋅+. 【详解】
由题意()5
522x x ⎡⎤=+-⎣⎦，则1154
280a C ⋅==， 令3x =，得5
01253243a a a a +++⋅⋅⋅+==，
令2x =，得5
0232a ==， 故12524332211a a a ++⋅⋅⋅+=-=. 故答案为：80，211. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知非零实数,a b 满足a b <． （1）求证：332222a b a b ab -<-； （2）是否存在实数λ，使得
2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围； 若不存在，
请说明理由
【答案】（1）见解析（2）存在，[]1,3λ∈- 【解析】 【分析】
（1）利用作差法即可证出.
（2）将不等式通分化简可得2222
b ab a a b ab
λ++≥，讨论0ab >或0ab >，分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】
()()()()()3322221222a b a b ab a b a ab b ab a b ---=-++--
()()()222
2324b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫=--+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
,0a b a b <∴-<Q 又2
23024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝
⎭
332222a b a b ab ∴-<-
()
22211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
即3322b a b a
a b ab λ
--≥ 即()2222*b ab a a b ab
λ++≥
①当0ab >时，()*即2222
1b ab a b a a b a b λ++≤=++恒成立
2b a a b +≥=Q
（当且仅当a b =时取等号），故3λ≤
②当时()0,*ab <2222
1b ab a b a a b a b λ++≥=++恒成立
2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦Q
（当且仅当=-a b 时取等号），故1λ≥-
综上，[]1,3λ∈- 【点睛】
本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.
18．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
A 市场：
B 市场：
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由. 【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，2()P B ，()3P B ，代入
()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；
（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则
()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++
()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；
（2）X 可取180，190，200，210，220，
()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=
()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=
当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-=
当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--
985.3=.
9486985.3<Q .，
200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
19．已知12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，
290AF B ∠=o ，且220
9
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
【答案】（1）22
154
x y +=（2）45
【解析】 【分析】
（1
）不妨设2,3A a b ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =
，根据面积得到a b ⋅=到答案.
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00
122
mx y x x +=
，22
2
0120
4
m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】
（1
）由题意不妨设2,33A a b ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
，2,3
3B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r
，223b F B c ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ．
∵290AF B ∠=o
，∴22
22254099
b F A F B
c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．
又2
1220
239
F AB b S ∆==
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0
OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴0
0MN y k x =-
，设直线MN 的方程为
()00
0y y x m m x =-+≠， 联立0022
,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222
000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22
004520x y +=，∴上式可化为(
)
22
2
0004240x mx y x x m -+-=．
∴00122mx y x x +=，22
2
0120
4m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()22000
1212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++=
=， ()2
20000121212122000
0y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
2
22
0000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭，
∴()()()222
2
22
0001020120120
00
255
m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 222000
25
m x mx y -=
()()()
2222000
1020120120
24
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线l
的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪
⎨=+⎪⎩
（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标. 【答案】（1）2
2
(2)4x y +-=（2）
3
π
)． 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式cos ,sin x y ρθρθ==求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可. 【详解】
（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=， ∴24sin ρρθ=，则224x y y +=, 即2
2(2)4x y +-=.
（2
）22222cos 2cos 121)
22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩
，
∴y =，1x >
联立22
(2)4x y +-=可得22343x x x
+=，
0x =（舍）或3x =，
公共点(3，3)，化为极坐标(23，3
π
)． 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.
21．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC P ，2PA AD AB CD ====，4BC =，
PA 丄底面ABCD .
（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；
（2）过PA 的平面交BC 于点E ，若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分，求二面角
A PE
B --的余弦值.
【答案】（1）见证明；（2）4
7
【解析】 【分析】
（1）先证明等腰梯形ABCD 中AC AB ⊥，然后证明PA AC ⊥，即可得到AC 丄平面PAB ，从而可证明平面PAC 丄平面PAB ；（2）由P ABE P ABCD V V 三棱锥四棱锥--=，可得到ABE AECD S S ∆=梯形，列出式子可求出
BE ，然后建立如图的空间坐标系，求出平面PAE 的法向量为1n u v ，平面PBE 的法向量为2n u u v
，由
12
1212
cos ,n n n n n n ⋅=u v u u v u v u u v u v u u v 可得到答案．
【详解】
（1）证明：在等腰梯形ABCD ，2AD BC AD AB CD ===P ，
， 易得60ABC ∠=︒
在ABC ∆中，222 2cos 416812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-=， 则有222AB AC BC +=，故AC AB ⊥，
又PA Q ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥， 即
AC AB AC AC PA ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
平面PAB ，故平面PAC 丄平面PAB . （2）在梯形ABCD 中，设BE a =，
P ABE P ABCD V V 三棱锥四棱锥--∴=，ABE AECD S S 梯形∆∴=，
()1
sin 22
CE AD h BA BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=
，而22213h =-=, 即
()423
13222
a a -+⨯⨯⨯⨯=
，3a ∴=. 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图的空间
坐标系，则()0,0,0A ，()()1330,0,22,0,0,,022P B E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，
设平面PAE 的法向量为()()1133,,,,00,0,22n x y z AE AP ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭u v u u u v u u u v
，，
， 由11n AE n AP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u u v 得1330
220x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
， 取1x =，得30y z =-=，，131,,09n ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u v ， 同理可求得平面PBE 的法向量为231,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u v ，
设二面角A PE B --的平面角为θ，
则121212
33101934
cos cos ,7
111011273
n n n n n n u v u u v
u v u u v
u v u u v θ-⨯+⨯⋅===
=
+
+⋅++， 所以二面角A PE B --的余弦值为
47
.
【点睛】
本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．
22．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为
12
，乙每次投球命中的概率为2
3，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；
②1161
77i i i p p p +-=+，11156n n p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，
由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ． 【详解】
（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3
P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，
(1)()P X P AB =-=1
21()()(1)233
P A P B ==-⨯
=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232
=
⨯+-⨯-=，
121
(1)()()()(1)236
P X P AB P A P B ====⨯-=，
∴X 的分布列为：
（2）由（1）116
p =
， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117
()2662636
=⨯+⨯+=，
同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则
2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==
由此得甲的得分Y 的分布列为：
∴3111111131143()()3362636636636216
p =
⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，
∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)7
17b a b
c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：1161
77
i i i p p p +-=+， ∴111
()6
i i i i p p p p +--=
-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为1
6q =
，首项为1016
p p -=， ∴11
()6
n
n n p p --=．
∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-L 1
11111()()(1)66656
n n n -=+++
=-L ． 【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
23．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求
()E X ．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】
（1）∵2K Q 的观测值()2
160604040203210.667 6.6358080100603
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯
=人，女生有2
1045
⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．
则X 的可能取值有0,1,2,3，
()306431020101206C C P X C ∴====，()21
64310601
11202C C P X C ====，
()1264310363212010C C P X C ====，()036431041
312030
C C P X C ====，
X ∴的分布列为：
()01236210305
E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.。