中国石油大学概率1-6含单元总结【考试须看】

注意
1. 考试安排 考试时间：第10周周日（11月10日） 下午 2:00-4:00 考试地点：1-2 班 东廊 201； 3-4 班 东廊 202。
2.考试范围：《线性代数》第1章至第5章。
第1页
设 x 为n 维列向量，xT x 1, 令 H E 2xxT , 求证：
H 是对称的正交矩阵。
B1 B2 … Bn
系统 2
A1 A2
An
…
B1 B2
Bn
第22页
解：设如图所示，事件Ai、Bi 分别表示“第 i 个元件正常工作”，事件C1、C2 分别表示“系 统 1、系统 2 正常工作”。则
A1 A2 … An 系统 1
B1 B2 … Bn
P(C1 ) P( A1 A2 An B1B2 Bn )
A A1 A2 A3 A4 , 由于 A1，A2，A3，A4 相互独立，所以
P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) p2 p2 p4 p2(2 p2 )
第21页
例 4 一个元件能正常工作的概率叫做元件的可靠
第10页
（3）在(2)问的基础上，进一步求出 f 的规范形，并写出相 应的可逆变换。
解(3) 作变换 Y=CZ，
y1 z1
y2
z2
y3
z3
y4
即 1 3 z4
y1 y2 y3 y4
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0 1 3
z1 z2 z3 z4
( 1)( 2) 0
故 1, 或 =2.
■
第4页
2 0 1
设矩阵
A
3
1
x
可相似对角化，求 x。
4 0 5
（练习册P36第8题）
2 0 1 解 由 A E 3 1 x ( 1)2( 6)
4 0 5
得 A 的三个特征值为 1 2 1, 3 6.
由于A可相似对角化，故与特征值 1 对应的线性无关的
特征向量有两个，从而 R( A E) 1,
1 0 1
由
(
A
E)
3
0
x ， 知 x 3.
4 0 4
■
第5页
已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, 2, 1, 对应的特征向量
0 1 1
依次为
p1
1
,
p2
1
,
p3
1
,
求
A。
（练习册P37第11题）
1 1 0
0 1 1
1 1 0
n
i 1
Ai
,
定理1-2 (Bayes公式)设 A1，A2， 为，两A两n 互斥事件，
且
n
i 1
Ai
,
P( Ai ) 0,
(i 1, 2,, n),
则对 A , P(有A) 0
P( Ai | A)
P( Ai ) P( A | Ai )
n
(i 1, 2, , n)
P(Aj ) P(A | Aj )
由此
P( A)
1 , P(B)
1
,
而
P(A B)
P( AB)
1 4
1
,
2
2
P(B) 1 2
2
可见 P( A B) P( A) 1 / 2,
此时可得 P( AB) P(B)P( A | B) P(B)P(A)
第15页
定义 设A、B是两事件，如果满足等式
P(AB) P(A)P(B)
则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。
E 4xxT 4xxT E
所以 H 是正交矩阵。
证毕
第2页
已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 1 , 1 , 求 | A* A1 E | .
23 （练习册P35第6题）
解 由 A 的特征值为 1, 1 , 1 , 知 | A | 1 .
23
6
A-1 的特征值为 1, 2, 3,
A* 的特征值为 1 , 1 , 1 , 632
注 (1)若事件A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立，则其中任意 k个(2 k n) 事件也是相互独立的。
注 (2) 若n个事件相互独立，则将其中任意多个事件换成 它们的对立事件，所得的n个事件也相互独立。 （证明略）
通常，n 个事件中，若任意两个事件都相互独立，则称 这 n个事件两两独立。
P( A1 )P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) P( An | A1 An1 )
第13页
定理1-1 设 A1，A2，为 ，两A两n 互斥事件，且
P( Ai ) 0, (i 1, 2,, n), 则对 A 有,
n
P( A) P( Ai ) P( A | Ai ) i 1
注：(1) 概率为0的事件与任何事件独立。 (2) 两事件独立与互不相容间的关系：
当 P(A) 0, P(B) 0时,
两事件独立
两事件互不相容
第16页
结论 若事件A、B 独立，则下列各对事件也独立：
A与B, A与B, A与B
证 只需证 A与B 独立即可。
P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB)
显然，n个事件相互独立 两两独立，但反之不真。
第20页
例 3 设有电路（右图），其中 1、2、3、
4 为继电器接点，设
各继电器接点导通与否
12
相互独立，且每一继电
器导通的概率均为 p，
L
34
R
求 L— R为通路的概率。
解：设事件 Ai 表示：“ 第 i 个继电器接点导通”
（ i 1,2,3,4）；事件 A表示：“ L — R 为通路”。则
1，单位化得 1
p4
1 2
1 1
,
1
1
第9页
于是，得正交变换为 X=PY，即
1
2
x1
x2
0
x3
x4
1

0
0
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
y1 y2
0
1 2
1 2
y3 y4
1 1 1
2 2 2
标准形为 f y12 y22 y32 3 y42 .
解(2) A 的特征多项式为
1 1 0 1
1 1 1 AE
0 (1 )2(1 )( 3)
0 1 1 1
1 0 1 1
于是 A的特征值为 1 2 1, 3 1, 4 3.
由 1 2 1, 解方程组 ( A E)x 0,
得特征向量
1
1
0 1
,
2
0
（练习册P34第4题）
证 注意到 xTx 是一个数，而 xxT 是 n 阶方阵。
由于 H T (E 2xxT )T ET 2( xxT )T E 2xxT H , 所以 H 是对称阵。
又 H T H H 2 (E 2xxT )2 E 2 4xxT 4( xxT )( xxT ) E 4 xxT 4 x( xT x)xT
解：设 A表示：“甲击中敌机”， B表示：“乙击中敌机”，
C表示：“敌机被击中”，则 C A B,于是
P(C) P( A B) P( A) P(B) P( AB) 由题意可认为事件A与事件B相互独立，因此
P(C) P( A) P(B) P( A)P(B) 0.6 0.5 0.6 0.5 0.8
解
记
P
(
p1
,
p2
,
p3
)
1
1
1 1
1
,
则
0
P 1
1
0
1
1
,
1 1
由 P1AP ，
0 1 12
1 1 0 2 3 3
知
A
P
P
1
1
1
1
2
1
1
1
4
5
3
.
1 1 0
1 0 1 1 4 4 2 ■
第6页
已知 4 元二次型
（练习册P38第13题）
f x12 +x22 x32 +x42 2 x1 x2 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4
P( A1 A2 An ) P(B1B2 Bn )
P( A1 A2 AnB1B2 Bn )
rn rn r2n rn(2 rn )
第23页
系统 2
A1 A2
An
…
B1 B2
Bn
P(C2 ) P[( A1 B1) ( A2 B2 ) ( An Bn )]
或 P(C ) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB)
1 P( A)P(B ) 1 (1 P( A))(1 P(B))
1 (1 0.6) (1 0.5) 1 0.2 0.8
第19页
定义（n个事件的独立性）设 A1 , A2 , , An 是n个事件，如 果对于其中任意2个，任意3个，···，任意n个事件的积的 概率都等于概率之积，则称事件 A1 , A2 , , An相互独立。
P(A) P(A)P(B) P( A)(1 P(B)) P( A)P(B )
所以事件 A与B 相互独立。
定义（三个事件的独立性），设A、B、C是三个事件，
如果满足
P( AB) P( A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P( AC ) P( A)P(C) P( ABC ) P( A)P(B)P(C)
1 0
，单位化得
p1
1
0 1
2
,
p2
0 1
0
2
,
0
1
2 0
1
2
第8页
对于3 1, 解方程组 ( A+E)x 0，
1
1
得特征向量
3
1 ， 单位化得 1
p3
1 2
1
1
,
1
1
对于 4 3, 解方程组( A 3E)x 0，
1
1
得特征向量
4
则称事件A、B、C相互独立。
第17页
例1 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面 染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、 白、黑三种颜色，现以 A, B, C 分别记投一次四面体出 现红、白、黑颜色朝下的事件。
由于四面体中有两面有红色，因此 P( A) 1 , 2
同理 P(B) P(C ) 1 , 2
性；由元件组成的系统能正常工作的概率叫做系统的
可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为
r (0 r 1)，且各元件能否正常工作是相互独立的.设 2n(n 1)个元件按照下图的两种联接方式构成两个系 统（记为 C1、C2），求它们的可靠性，并比较两个系 统可靠性的大小。
A1 A2
… An
系统 1
（1）求二次型 f 的秩； （2）求一个正交变换化二次型成标准形，并求出其标准形； （3）在(2)问的基础上，进一步求出 f 的规范形，并写出相
应的可逆变换。
解 二次型 的矩阵为
1 1 0 1
A
1 0
1 1 1 1
0
1
1
0
1
1
由于 A~E, 故 R( A) 4, 即二次型的秩为4.
第7页
容易知道 P( AB) P(BC ) P( AC ) 1 , 4
所以有 P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ),
P( AC ) P( A)P(C ),
但是 P( ABC ) 1 P( A)P(B)P(C ). 4
第18页
例2 甲、乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概 率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率。
(记其中变换矩阵为 C )
得规范形为 f z12 z22 z32 z42 .
可逆变换为 X PY P(CZ ) (PC)Z
第11页
（3）在(2)问的基础上，进一步求出 f 的规范形，并写出相 应的可逆变换。
1
2
0
PC
1
2
0
0
1 2
1 2
1
0
0
1 2
1 2
1 2
2.乘法定理（公式） P( AB) P( A) P(B A) P(B) P(A B)
(P( A) 0) (P(B) 0)
推广： P( ABC ) P( A) P(B A) P(C AB) (P( AB) 0)
P( A1 A2 An1 An )
(P( A1 An1 ) 0)
0 0
1 0
0 1
0 1
1 2 1
1
2 1
0
0
0
2 2 2
1
0
2
0
0
0
1 3
1
2
0
0
1 2
2
1 3
1 2
1 2
2
1 3
0
1 2
1
2
3
1 1 1
2 2 2 3
■
第12页
课前复习
1.条件概率
P(B
A)
P( AB)
P( A) 0
P( A)
注 条件概率函数 P( A) 也是一种概率函数。
A* A1 E 的特征值为 13 , 10 , 9 , 6 32
所以 | A* A1 E | 13 10 9 65 .
6 32 2
■
第3页
设 A2 3A 2E O, 证明 A 的特征值只能取 1 或 2。
（练习册P36第7题）
解 设λ是 A 的特征值，则有
2 3 2 0
j 1
第14页
§1.6 事件的独立性
设A, B为两个事件, P( A) 0,一般P(B A) P(B)
[引例] 设试验E为抛掷甲、乙两枚匀质硬币，观察 正(H)、反(T)面出现的情况。
分析：设事件A表示：“甲币出现正面”；事件B表示： “乙币出现正面”，则试验 E 的样本空间
{HH，HT，TH，TT }