最新版精编2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1． 设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若γα⊥，γβ⊥，则//αβ； ②若//αβ，α⊂l ，则//l β；
③若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ；
④若l αβ=I ，m βγ=I ，n γα=I ，//l γ，则//m n 。

其中命题正确的是 ▲ ．（填序号）
2．在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱 AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ） A
B
C
D
3．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）
（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交
4． 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是________________________
二、填空题
5．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 时，平面MBD ⊥平面PCD ．(只需写出一种情形)
A
C
P
M
（第16题图）
6．如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于B A ,点）直线PA 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，有以下四个命题：
(1)PA//平面MOB; (2)MO//平面PAC (3)OC ⊥平面PAB; （4）PC BC ⊥ 其中正确的命题是 ▲
.
(第10题)
7．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．1
2 8．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是 1 : 4，截去的小圆锥的母线长是
3 cm ，则圆台的母线长 ▲ cm ．
9．已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 2
cm ． 10．正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 与面对角线BD 所成角为 ． 11．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92
π
, 则正方体的棱长为 ______.（2013年高考天津卷（文））
12．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断： ①
m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： . （1999全国18）
13．如图,,测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D,测得
120BDC ∠=,10CD =米,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60,则塔高
AB=_______.
A
B
C
D
P
M
14．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是
15．关于直角AOB ∠在平面α内的射影有如下判断：①可能是0的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180的角。

其中正确判断的序号是__________
16．一个半径为6的球内切于一个正方体 ，则这个正方体的对角线长为
三、解答题
17． （本小题满分14分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，
090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==
，AB =，F
是BC 的中点.
(1)求证：DA ⊥平面PAC ；
(2)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥
A -PCG 的体积.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中．
（1）若1BB BC =，11B C A B ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ； （2）设D 是BC 的中点，E 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B DE ，求11
A E
EC 的值．
A
D
C
F
P
B
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三
角形
，
2
ACB π
∠=
，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且
13A C B C B C ===，点T 是平面1ABC 内一点．
（1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1A T 与平面1ABC 所成角；
（2）是否存在点T ，使1TB TC =且平面11TAC ⊥平面11ACC A ，若存在，求出线段TC 的长度，若不存在，说明理由．(本小题满分10分)
A
20． 如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝
22，
M 为BC 的中点 (Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离。

21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等．
M P
D
C
B
A
（1）求证：AB //平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ．
在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，的中点，
22．如图：正三棱柱111ABC A B C -中， 12,1AB AA ==,D 是BC 的中点，点P 在平
面11BCC B 内，11PB PC ==（1）求证：1PA BC ⊥；
（2）判断直线1PB 与平面1AC D 的关系，并说明理由．
23．如图，四面体P ABC -中，AB BC ⊥,PA ⊥底面ABC ,且PA AB =,点E 是棱BC 的中点，点F 是棱PB 的中点． （1）求证：//EF 面PAC ； （2）求证：PE AF ⊥．
24．如图，正三棱锥P ABC -中，底面ABC
的边长为
，,E F 分别在
,AP AB 上，且
,AE AF
EF CE EP FB
=⊥,则该三棱锥的高为_______________
25．平行四边形ABCD 中，CD =1，∠BCD =60°，且BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点。

(1)求证：BD ⊥平面CDE ； (2)求证：GH ∥平面CDE ； (3)求三棱锥D-CEF 的体积。

26．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O
段CO
的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==
B 1
F
E
P
C
B
A
（第16题图）
（1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．
【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形， ABC ∆为等边三角形． …………………2分
（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，
BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分
因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，
在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．
因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，
所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分
于是
2AQ
AO QF OG
==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分 【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.
27．如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；
（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.
证明：（Ⅰ） 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面
ABEF =AB ，
⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，
CB AF ⊥∴……………………………………3分
第
16
A
B
C
D
E F M
O
P
A
B
C
O
E
F G
Q
又AF BF ⊥，且BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，⊥∴AF 平面CBF ……………5分 （Ⅱ）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 2
1
，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，
//OM ∴AN ……………………………………………………………………………8分
又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF ……………………………10分
（Ⅲ）过点E 作EH AB ⊥于H ，则060EBH ∠=，所
以EH =
，21EF AB HB =-=，
故11224BEF S ∆=⨯⨯=………12分，
1312
C BEF BEF V S BC -∆=⨯⨯= …………14分
28．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别在1,AA AB 上，且
1M N M C ⊥，求直线MN 与平面11MB C 所成的角。

D 1
C 1
B 1
A 1A
C
B
D M
N
29．已知空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==，求证：BD AC ⊥。

30．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥； （Ⅲ）求三棱锥EFC B V -1的体积．
C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A A 1。