2021高中物理必修三第九章静电场及其应用9-5核心-1.章末核心素养提升
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答案 (1)3.2 m/s2 (2)0.9 m
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第九章 静电场及其应用 章末核心素养提升
1.章末核心素养提升
方法探究
一、三个自由点电荷的平衡问题 1.条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 2.规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。 “两同夹异”——正负电荷相互间隔。 “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。 “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 三个点电荷的电荷量满足 q1q3＝ q1q2＋ q2q3。
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方法探究
【例2】 (2020·广西壮族自治区高三一模)如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5 条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒。每根细棒均匀带上正电。现将电荷
量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零。若移走＋Q 及AB边上的细棒，则O点强度大小为(k为静电力常量)(不考虑绝缘棒及＋Q之间的相
(1) 小 球 B 开 始 运 动 时 的 加 速 度为多大？ (2)小球B的速度最大时，与M 端的距离r为多大？
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解析 (1)如图所示，开始运动时小球 B 受重力、小球 A 对它的库仑力、匀强电场对它 的静电力和杆的弹力，沿杆方向运动， 由牛顿第二定律得 mgsin θ－kLQ2q－qEcos θ＝ma， 代入数据得 a＝3.2 m/s2。 (2)小球 B 速度最大时所受合力为零， 即 mgsin θ－kQr2q－qEcos θ＝0， 代入数据解得 r＝0.9 m。
解析 (1)q3 受力平衡，必须和 q1、q2 在同一条直线上，因为 q1、q2 带异号电荷，所以 q3 不可能在它们中间。再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知 q3 应 该在 q1、q2 的连线上，q1 的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示。
设 q3 离 q1 的距离是 x，根据库仑定律和平衡条件列式 kqx3q2 1－k（xq＋3qr2）2＝0 将 q1、q2 的已知量代入得 x＝r，对 q3 的电性和电荷量均没有要求。
所以叠加后电场强度为
4kQ 2 3L2 cos
30°＝4
33Lk2Q；故选
D。
答选项中的各14圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布， 各14圆环间彼此绝缘。坐标原点 O 处电场强度最大的是( B )
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解析 设带电荷量为 q 的41圆环在 O 点处产生的场强大小分别为 E0， 根据对称性可得四种情况下， O 点处的场强大小分别为: EA＝E0，EB＝ 2E0，EC＝E0，ED＝0，选项 B 正确。
答案 B
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三、静电场中的动力学分析 【例4】 如图所示，有一水平向左的匀强电场，电场强度为E＝1.25×104 N/C，一根 长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下 端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自 由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。将小球B从杆的上端N静 止释放，小球B开始运动。(静电力常量 k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
因 EF 上的细棒与 BC 中点的点电荷在 O 点产生的电场强度叠加为零，
EF 上的细棒在 O 点产生的电场强度为43kLQ2 ，故每根细棒在 O 点产生的电场强度为43kLQ2 ，
移走＋Q 及 AB 边上的细棒，O 点的电场强度为 EF 与 ED 上的细棒在 O 点产生的电 场强度叠加，这两个场强夹角为 60°，
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【例1】 在真空中有两个相距r的点电荷A和B，带电荷量分别为q1＝－q，q2＝4q。 (1)若A、B固定，在什么位置放入第三个点电荷q3，可使之处于平衡状态？平衡条 件中对q3的电荷量及正负有无要求？ (2)若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们 都处于平衡状态，对q3的电荷量及电性有何要求？
互影响)( D )
kQ A. L2
2 3kQ C. 3L2
4kQ B. 3L2
4 3kQ D. 3L2
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解析 根据对称性，AF 与 CD 上的细棒在 O 点产生的电场强度叠加为零，
AB 与 ED 上的细棒在 O 点产生的电场强度叠加为零。
BC 中点的点电荷在 O 点产生的电场强度为（LsinkQ60°）2＝43kLQ2 ，
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二、巧用“对称法”解电场的叠加问题 1.技巧： 对称法求电场强度时常利用中心对称、轴对称等。 2.方法 (1)确定对称性——是电荷对称，还是相对电荷对称。 (2)确定某对称点的电场强度——常利用公式 E＝kQr2来确定电场强度大小。 (3)确定对称点的合电场强度——根据对称性确定两电荷在对称点的合电场强度，或 者某电荷在另一对称点的电场强度，再利用矢量合成的方法求合电场强度。
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(2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对 q3 的电性和电荷量都有要求，首先 q3 不能是 一个负电荷，若是负电荷，q1、q2 都不能平衡，也不能处在它们中间或 q2 的外侧，设 q3 离 q1 的距离是 x。根据库仑定律和平衡条件列式如下： 对 q3：kqx3q2 1－k（xq＋3qr2）2＝0 对 q1：kqx1q2 3－kqr1q2 2＝0 解上述两方程得 q3＝4q，x＝r。 答案 (1)在 q1 的外侧距离为 r 处，对 q3 的电性和电荷量均没有要求 (2)电荷量为 4q 带正电
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一、三个自由点电荷的平衡问题 1.条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 2.规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。 “两同夹异”——正负电荷相互间隔。 “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。 “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 三个点电荷的电荷量满足 q1q3＝ q1q2＋ q2q3。
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【例2】 (2020·广西壮族自治区高三一模)如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5 条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒。每根细棒均匀带上正电。现将电荷
量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零。若移走＋Q 及AB边上的细棒，则O点强度大小为(k为静电力常量)(不考虑绝缘棒及＋Q之间的相
(1) 小 球 B 开 始 运 动 时 的 加 速 度为多大？ (2)小球B的速度最大时，与M 端的距离r为多大？
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解析 (1)如图所示，开始运动时小球 B 受重力、小球 A 对它的库仑力、匀强电场对它 的静电力和杆的弹力，沿杆方向运动， 由牛顿第二定律得 mgsin θ－kLQ2q－qEcos θ＝ma， 代入数据得 a＝3.2 m/s2。 (2)小球 B 速度最大时所受合力为零， 即 mgsin θ－kQr2q－qEcos θ＝0， 代入数据解得 r＝0.9 m。
解析 (1)q3 受力平衡，必须和 q1、q2 在同一条直线上，因为 q1、q2 带异号电荷，所以 q3 不可能在它们中间。再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知 q3 应 该在 q1、q2 的连线上，q1 的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示。
设 q3 离 q1 的距离是 x，根据库仑定律和平衡条件列式 kqx3q2 1－k（xq＋3qr2）2＝0 将 q1、q2 的已知量代入得 x＝r，对 q3 的电性和电荷量均没有要求。
所以叠加后电场强度为
4kQ 2 3L2 cos
30°＝4
33Lk2Q；故选
D。
答选项中的各14圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布， 各14圆环间彼此绝缘。坐标原点 O 处电场强度最大的是( B )
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解析 设带电荷量为 q 的41圆环在 O 点处产生的场强大小分别为 E0， 根据对称性可得四种情况下， O 点处的场强大小分别为: EA＝E0，EB＝ 2E0，EC＝E0，ED＝0，选项 B 正确。
答案 B
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三、静电场中的动力学分析 【例4】 如图所示，有一水平向左的匀强电场，电场强度为E＝1.25×104 N/C，一根 长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下 端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自 由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。将小球B从杆的上端N静 止释放，小球B开始运动。(静电力常量 k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
因 EF 上的细棒与 BC 中点的点电荷在 O 点产生的电场强度叠加为零，
EF 上的细棒在 O 点产生的电场强度为43kLQ2 ，故每根细棒在 O 点产生的电场强度为43kLQ2 ，
移走＋Q 及 AB 边上的细棒，O 点的电场强度为 EF 与 ED 上的细棒在 O 点产生的电 场强度叠加，这两个场强夹角为 60°，
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【例1】 在真空中有两个相距r的点电荷A和B，带电荷量分别为q1＝－q，q2＝4q。 (1)若A、B固定，在什么位置放入第三个点电荷q3，可使之处于平衡状态？平衡条 件中对q3的电荷量及正负有无要求？ (2)若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们 都处于平衡状态，对q3的电荷量及电性有何要求？
互影响)( D )
kQ A. L2
2 3kQ C. 3L2
4kQ B. 3L2
4 3kQ D. 3L2
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解析 根据对称性，AF 与 CD 上的细棒在 O 点产生的电场强度叠加为零，
AB 与 ED 上的细棒在 O 点产生的电场强度叠加为零。
BC 中点的点电荷在 O 点产生的电场强度为（LsinkQ60°）2＝43kLQ2 ，
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二、巧用“对称法”解电场的叠加问题 1.技巧： 对称法求电场强度时常利用中心对称、轴对称等。 2.方法 (1)确定对称性——是电荷对称，还是相对电荷对称。 (2)确定某对称点的电场强度——常利用公式 E＝kQr2来确定电场强度大小。 (3)确定对称点的合电场强度——根据对称性确定两电荷在对称点的合电场强度，或 者某电荷在另一对称点的电场强度，再利用矢量合成的方法求合电场强度。
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(2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对 q3 的电性和电荷量都有要求，首先 q3 不能是 一个负电荷，若是负电荷，q1、q2 都不能平衡，也不能处在它们中间或 q2 的外侧，设 q3 离 q1 的距离是 x。根据库仑定律和平衡条件列式如下： 对 q3：kqx3q2 1－k（xq＋3qr2）2＝0 对 q1：kqx1q2 3－kqr1q2 2＝0 解上述两方程得 q3＝4q，x＝r。 答案 (1)在 q1 的外侧距离为 r 处，对 q3 的电性和电荷量均没有要求 (2)电荷量为 4q 带正电