示范教案一5.8探索直角三角形全等的条件

第十三课时
●课题
§5.8 探索直角三角形全等的条件
●教学目标
（一）教学知识点
1.直角三角形全等的条件.
2.直角三角形全等的应用.
（二）能力训练要求
经历探索直角三角形全等条件的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题.
（三）情感与价值观要求
通过画图、观察、操作、交流，培养学生自身的探索精神和探索能力.
●教学重点
直角三角形全等的条件.
●教学难点
直角三角形全等的条件的应用.
●教学方法
启发诱导法.
●教具准备
投影片七张
第一张：图片及问题（记作投影片§5.8 A）
第二张：工作人员的方法（记作投影片§5.8 B）
第三张：做一做（记作投影片§5.8 C）
第四张：想一想（记作投影片§5.8 D）
第五张：Rt△全等的条件（记作投影片§5.8 E）
第六张：议一议（记作投影片§5.8 F）
第七张：理由（记作投影片§5.8 G）
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情景，引入新课
［师］我们经常去看一些晚会，不知大家有没有注意过舞台背景的形状，我这里有一张舞台背景的图片（出示投影片§5.8 A）.
（图片为P153的舞台背景）
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
［生甲］他可测量每个三角形斜边和两个锐角中的任一个锐角.根据“AAS”知道：这两个三角形全等.
［生乙］他也可测量每个三角形没有被花盆遮住的那条直角边和一个锐角.同样根据“AAS”可知道，这两个三角形全等.
［师］很好，那如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？大家讨论讨论.
……
［师］好，看看工作人员是如何完成这个任务的（出示投影片§5.8 B）.
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信他的结论吗？
［师］我们这节课就来探索直角三角形全等的条件.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们通过画图来看那位工作人员的结论是否正确.（出示投影片§5.8 C）做一做.
已知线段a,c（a＜c）和一个直角α（如图），利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α,AB=c,CB=a.
按照下面的步骤做一做
.
为圆心，c 为半径画弧，交射线A
）连接AB
（2）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ ［生甲］按照上述步骤所作出的△ABC ，就是所求作的三角形.
［生乙］我按要求所作的直角三角形与同伴画的三角形能够完全重合.
［生丙］老师，由此能不能说：在两个直角三角形中，只要有斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形就全等.
［师］同学们的意见呢？
［生齐声］同意丙同学的意见.
［师］好，由此我们得到了直角三角形全等的条件：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL ”. 如图5－166.
图5－166
−→−⎪⎩
⎪
⎨⎧''='
'=='∠=∠B A AB C A AC C C 90Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′ 我们现在来看刚才的那个例子（出示投影片 §5.8 A 、B ）：你相信那位工作人员的结论吗？
［生齐声］相信，他就是应用了直角三角形全等的条件来判定的. ［师］很好，那同学们来想一想（出示投影片§5.8 D ） 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
［生甲］因为直角三角形是特殊的三角形，所以它既满足一般三角形全等的条件：边边边、角边角、角角边和边角边；又满足它自身特有的全等的条件：斜边、直角边.
［师］同学们总结得很好，这些直角三角形全等的条件要灵活应用.（出示投影片§5.8 E ）
图5－167
−→−
⎪⎩
⎪
⎨⎧''=''=''=C B BC C A AC B A AB △ABC ≌△A ′B ′C ′ −→−⎪⎩⎪
⎨⎧='∠=∠'
'='∠=∠ 90
C C C A AC A A △ABC ≌△A ′B ′C ′ −→−
⎪⎩
⎪⎨⎧''=='∠=∠'∠=∠C B BC C C A A
90△ABC ≌△A ′B ′C ′ −→−
⎪⎩
⎪⎨⎧''=='∠=∠''=C B BC C C C A AC
90△ABC ≌△A ′B ′C ′ −→−⎪⎩
⎪
⎨⎧''='
'=='∠=∠B A AB C A AC C C 90△ABC ≌△A ′B ′C ′ 好，下面我们来看一个题（出示投影片§5.8 F ）. 议一议
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？
图5－168
［生乙］∠ABC 与∠DFE 相等.
［生丙］不对，应该是互为余角.因为有一条直角边和斜边对应相等.即AC =DF 、BC =EF 所以△ABC 和△DEF 全等.这样∠ABC =∠DEF .
也就是∠ABC +∠DFE =90°.
［生丁］∠ABC 与∠DFE 是互余的.因为在Rt △ABC 和 Rt △DEF 中，BC =EF 、AC =DF .因此这两个三角形是全等的.这样，∠ABC =∠DEF ，所以∠ABC 与∠DFE 是互余的.
［生戊］也可以这样写理由：
−→−⎩⎨⎧=∠=∠==
90FDE CAB DF
AC EF BC 、△ABC ≌△DEF . −→−∠ABC =∠DEF −→−∠ABC +∠DFE =90°
［师］同学们的理由说得很明白，其他同学怎么样？能听懂吗？现在来看一下刚才这三位同学说的理由.（出示投影片§5.8 G ）
（上述三位同学的叙述）
［师］大家明白他们的思考过程吗？ ［生齐声］明白.
［师］好，接下来我们做练习以巩固直角三角形全等的条件. Ⅲ.课堂练习
（一）课本P 156随堂练习
图5－169
1.如图5－169，AC =AD .∠C 、∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？
解：−→−⎩⎨
⎧=∠=∠==
90
D C AB AB AD AC 、Rt △ABC ≌Rt △ABD −→−
BC =BD .
图5－170
2.如图5－170，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩子上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
解：相等.
−→−⎩
⎨⎧=∠=∠==
90AOC AOB OA
OA AC AB 、Rt △ABO ≌Rt △ACO −→−BO =OC . （二）看课本P 153~155，然后小结. Ⅳ.课时小结
本节课我们重点探讨了直角三角形全等的条件.
1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形全等的条件来判定，还可以应用直角三角形特殊的全等条件——“HL ”来判定.
2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需找两个条件.注意：两个条件中至少有一个条件是一对边相等.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P 156习题5.13 1、2.
（二）1.预习内容：全章内容，即P 117~156. 2.写一份章节总结. Ⅵ.活动与探究
图5－171
1.如图5－171，∠ACB =∠BDA =90°.要说明△ACB ≌△BDA ，需要再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来，有几种不同的方法就写几种.
［过程］让学生通过思考、交流，进一步掌握直角三角形全等的条件.
［结果］如图5－171，∠ACB =∠BDA =90°.要说明△ACB ≌△BDA .需要再补充一个条件即可.
（1）补充一条边时，有以下两种：可补充AD =BC ，也可补充BD =AC 即： ⎪⎩
⎪
⎨⎧===∠=∠AB AB BC
AD BCA ADB 90 （HL ）
⎪⎩
⎪
⎨⎧===∠=∠AB AB BD
AC BCA ADB 90 （HL ）
（2）补充一个角时，有以下两种：补充∠DAB =∠CBA
也可补充：∠DBA =∠CAB 即：⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=∠=∠AB AB CBA DAB BCA ADB 90
（AAS ）
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=∠=∠AB AB CAB
DBA BCA ADB 90 （AAS ） ●板书设计
§5.8 探索直角三角形全等的条件 一、做一做 （尺规作图）
二、直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简称为“斜边、直角边”或“HL ”. 三、想一想 四、议一议 五、课堂练习 六、课时小结 七、课后作业。