数据校正数学模型(声屏障问题)

承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员(打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）
日期： 2014 年 9 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
加速度检测仪数据校正
摘要
本文主要研究的问题是对加速度检测仪测出的数据进行校正，得到速度和位移随时间变化的合理图形。

本文首先通过数值积分方法得到声屏障的速度和位移随时间变化的图形，从系统误差和随机误差两方面对其进行误差分析，其次排除其随机误差、校正其系统误差，最后得到与理想情况相符的结果。

针对问题一，基于速度与加速度和位移与速度的关系式，利用数值积分方法，得到声屏障速度和位移随时间变化的图形，对其分析可知存在明显误差。

针对误差分析，根据声屏障运动状态的不同，对其分段（根据加速度为0m/s2与加速度不为0m/s2）考虑，得出其随机误差分段遵循均值为0的正态分布，其系统误差分阶段为固定值。

针对问题二，本文利用数据拟合和数据滤波来排除随机误差。

对两种方法的优缺点进行了评价。

对于系统误差，当声屏障的理论加速度为0m/s2，此时直接用该段系统误差的估计量来校正；当声屏障得理论加速度不为0m/s2时，由于不了解系统误差的产生机理，将系统误差视作固定值。

根据理论加速度不为0m/s2的阶段始末速度应保持一致，对其进行校正。

将校正后的数据代入问题一的模型，得到与声屏障实际运动相符合的结果。

针对问题三，查阅相关资料后，我们确定了加速度检测仪的应用领域，并在问题一二的模型基础上，将改进后的加速度检测仪应用到手持设备如计步器、图像自动转、照相机防手抖功能、手机图像移动及菜单选择、游戏控制等。

也可以应用于路面平整度的测量等工程测量范围内。

最后对模型的优缺点进行评价，并对改进后的加速度检测仪进行了推广。

关键词：误差分析；数值积分；校正
一、问题的背景与重述
1.1问题的背景
在铁路、公路、高速铁路等各种道路上，声屏障是一种控制行车对周围环境的噪声污染有效措施之一。

随着列车的大幅度加速，脉动风交替出现在列车两侧，从而引起对声屏障的拉压作用，声屏障发生摆动。

正常状态下，声屏障的摆动应当在一定的范围内，当超过正常范围则需要对其进行加固维修。

1.2问题的重述
在试验中，传感器测得的数据通常会存在误差，误差包括系统误差、随机误差。

其中系统误差，又称为固有误差，一般其存在是具有一定的规律性，是可以被分析掌握的；随机误差，又称为测量误差，一般它的出现是不具有规律并且不可避免的。

由于误差的存在，在使用数值积分方法计算振动位移的过程中，就会累积较多的干扰，故而在测得数据后，需要经过系统误差校正、随机误差数据滤波等对数据进行校正。

现有加速度检测仪记录的数据，通过建立数学模型解决以下问题。

（1）通过数值积分的方法计算声屏障的速度、位移，并基于给定数据对模型进行仿真计算，判断声屏障检测仪是否存在明显误差，从随机误差、系统误差2个角度对数据进行误差分析；
（2）分析问题（1）得到的速度位移结果，建立数学模型来对加速度数据进行校正，尽量消除系统误差与随机误差，使得速度和位移的计算结果基本符合物体运动事实；
（3）对所建立的数据处理方法和模型进行推广，所改进过的加速度检测仪除了可以用于声屏障监测以外，还可以应用于哪些场景，结合改进方案阐述理由。

二、问题的分析
本文需建立数学模型，对加速度检测仪记录的数据误差进行分析。

加速度检测仪数据的误差主要来自系统误差和随机误差，需要分别对它们进行处理。

首先通过数据滤波或数据拟合的方法去除其随机误差，之后对其系统误差进行分析，根据系统误差的原理可先将其看做固定值进行处理。

对于问题一，利用数值积分的方法求得声屏障的位移和速度，得出速度和位移与时间的图形，对该图形进行分析可判断是否存在明显误差。

对于系统误差和随机误差的分析，首先利用数据滤波的方法得到其随机误差，对其分布类型进行检验，求得其均值的极大似然估计；其次对系统误差，由于得不到部分阶段加速度的理论值，可将系统误差当做固定值，分别求出不同阶段的系统误差。

对于问题二，由于通过数据滤波和数据拟合都可排除数据的随机误差，需要对两种去除方法进行评判。

声屏障的运动状态可能影响加速度检测仪的状态，对其系统误差则应分段考虑，对于声屏障的理论加速度为0m/s2的阶段，通过数据滤波的方法得到其系统误差，对其校正则是直接补充系统误差的均值，对于声屏障的理论加速度不为0m/s2的阶段，则根据其速度变化量为0m/s2，以此进行校正。

对于问题三，结合改进后加速度检测仪，我们可以查阅相关资料，得到加速度检测仪的应用领域，并说明改进后的加速度检测仪应用在这些领域的优点。

三、模型的假设和符号说明
3.1 模型的假设
1、仪器测量中不带来粗大误差；
2、不考虑数值积分方法带来的误差。

3.2 符号说明
i a ：加速度检测仪记录的声屏障在i 时刻的加速度，m/s 2；
i v ：声屏障在i 时刻的速度，m/s ； i x ：声屏障在第i 时间断内的位移，m ；
x ：声屏障位移，m ；
t ：加速度检测仪记录加速度的时间间隔，t=1/1000=0.001s;； si E ：加速度检测仪在i 时刻的系统误差，m/s 2； ri E ：加速度检测仪在i 时刻的随机误差，m/s 2
；
j s E ：在AB 过程中，第j 阶段，加速度检测仪的系统误差，m/s 2
； T ：声屏障的运动时间，s 。

其他符号在下文中说明。

四、模型的建立与求解
4.1问题一模型的建立与求解 4.1.1名词解释
系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

在对同一被测量进行多次测量过程中，出现某种保持恒定或按确定的方法变化的误差，就是系统误差。

系统误差是按照一定规律进行变化，或者系统误差是一固定值。

系统误差来源主要有仪器误差、方法误差（本题中主要是模拟声屏障振动的方法）、操作误差、试剂误差。

随机误差：随机误差也称为偶然误差和不定误差，是由于在测定过程中一系列有关因素微小的随机波动而形成的具有相互抵偿性的误差。

它的特点是大小和方向都不固定，也无法测量或校正。

随机误差的性质是：随着测定次数的增加，正负误差可以相互抵偿，误差的平均值将逐渐趋向于零。

随机误差大体是服从正态分布的。

4.1.2声屏障位移速度求解模型
设声屏障的加速度为a ，声屏障的速度为v ，声屏障的位移为x 。

根据运动力学定律可得：
⎰=dt a v （1）
⎰=dt v x （2）
对于上述积分公式利用微元法建立差分方程可求出声屏障在任意时刻的速度和位移。

将声屏障运动的时间T 分为n （∞→n ），每段的时间间隔为t 。

根据上述条件建立差分方程：
t a v v n n n +=-1 （3） 根据题目所给的声屏障的加速度可得到声屏障的速度，得到声屏障的速度可利用数值积分的梯形公式计算位移：
单位时间位移计算通式为：2/)(1t v v x n n n -+= （4） 总位移为：n x x x x ...21++= （5） 根据题目所给数据上述计算方法编写MATLAB 程序（附件1）可得到声屏障的每一时刻的速度和总位移。

模拟声屏障振动从B A →得到声屏障的速度和位移与时间图，如图1和图2所示。

AB 过程速度与时间图
时间点
速度 m /s
图1 AB 过程速度随时间变化图
观察上图可知，其速度在时间点为700左右时，速度小于0m/s ，这与声屏障的实际运动情况不符，存在明显误差，800之后其速度又缓慢变大，得到最终速度为0.005m/s ，不为0m/s ，与实际情况不符合，存在误差。

AB 过程声屏障位移与时间图
时间点
速度m /s
图2 AB 过程位移随时间变化图
对AB 过程的位移与时间图形大致走向进行分析：在时间点为700之前，其位移一直增大，在时间点为700时，其位移最大，在0～700之前，声屏障的位移走向与实际情况相符合；在时间点为700之后其位移又逐渐减小最终变为0.016，与声屏障的实际运动情况不同，存在明显误差。

图3 CD过程速度随时间变化图
对CD过程的速度与时间关系图进行分析：大概在时间点为0～800，声屏障的速度
C→过程，此时声为0m/s，符合声屏障的实际情况；在时间段为800～1000时，为D
屏障的理论速度变化为先加速后减速，最后速度为0m/s，观察上图时间点为1000时，
D→过程。

其速度大概为-0.08m/s，存在明显误差；在时间点为2200之后的过程，为C
在此阶段，声屏障速度方向改变，声屏障经历一个先加速后减速的过程，从它的速度图中看出，其速度变化符合实际情况，但是最后声屏障的速度应为0m/s，图3中速度最后稳定在-0.1m/s，不符合实际情况，存在明显误差。

图4 EF过程速度随时间变化原图
E→过对上图进行分析，速度与时间图形的大致走向符合实际情况。

在第一次F
F→过程末尾，其速程，其末速度为0m/s，观察大致在时间点为1200时，为第一次E
E→过程末尾，其速度大概为-0.07m/s，小度小于0m/s不符合实际情况，在第二次F
于0m/s ，不符合实际情况。

4.1.3声屏障的误差分析模型
由上文得出的结果可知，在排除数值积分公式带来的误差的情况下，加速度检测仪检测的加速度存在明显误差。

误差主要有系统误差和随机误差两部分。

对B A →的过程的误差进行分析，其记录的加速度与时间的关系图如图5所示。

图5 AB 过程加速度随时间变化图
在时间点为0～470（后文第一阶段）和690～1395（后文第三阶段）阶段，声屏障并没有开始运动，其加速度的理论值为0m/s ，此时加速度的值在某一固定值上下波动，造成其波动为随机误差和系统误差叠加的结果；在470～690（后文第二阶段）时间段内，加速度的理论曲线应为光滑曲线，观察上图其图形较密集，可得出随机误差对测量结果影响较大。

由以上分析可知，对AB 过程，随机误差对其影响不同。

基于以上分析，本文对误差进行分段考虑。

4.1.3.1声屏障的系统误差分析
在时间点为0～470和690～1395阶段，声屏障的理论加速度为0m/s ，因此此时加速度检测仪的记录的值为随机误差和系统误差的和，即在此阶段：
ri si i E E a +=（i=0～470和690～1395） （6） 对于上述两阶段，首先利用滤波的方法排除掉随机误差，之后其数据仅包含系统误差，如图6所示。

前段系统误差
后段系统误差
图6 AB 过程前后无加速度段系统误差图
观察图6可得：系统误差大致在某一固定值上下波动。

取其平均值[1]可得到第一阶段和第三阶段的系统误差为：
21s /m 2476.0=s E 23s /m 2142.0=s E
由上述结果可得：在AB 过程第一阶段和第三阶段时，其系统误差大致保持不变，即在理论加速度为0时，其系统可认为一固定值。

对于AB 过程第二阶段，此时加速度的理论值时刻变化，其系统误差可能随着加速度的理论值变化而变化或保持不变，根据滤波后的速度图形可得出其为固定值，其系统误差为22/m 92.0s E s =，详细求解过程请见模型二。

同理可得到CD 过程和EF 过程的系统误差图，对其进行分析可得到在CD 过程和EF 过程分阶段系统误差为固定值。

加速度检测仪在记录数据时，由于系统误差导致加速度检测仪记录数据包含一固定误差。

4.1.3.2声屏障的随机误差分析
由上文可知，AB 过程第一阶段和第三阶段记录的是系统误差和随机误差的数据和，减去上文得到的系统误差可得其随机误差，如图7所示。

加速度的处理前图
t/0.001s
a /(m /s 2
)
加速度的处理后图
t/0.001s
a /(m /s 2)
随机误差示意图
t/0.001s
a /(m /s 2)
图7 AB 过程加速度随时间变化对比图
上图第一幅图AB 过程加速度传感器测得的原始加速度，中间位滤波处理后的加速度图形，第三幅图为其随机误差示意图。

观察随机误差图可得，其随机误差在0上下波动，大致为正态分布。

对AB 过程的随机误差进行正态检验，其不符合正态分布。

对其分段进行检验，得到第一阶段和第二阶段不符合正态分布，第二阶段的随机误差符合正态分布。

第二阶段的随机误差正态分布检验如图8所示。

Data
P r o b a b i l i t y
Normal Probability Plot
图8 AB 加速度段随机误差正态分布检验图
由上图可知，第二阶段即在加速度理论值不为0m/s 2的阶段的随机误差分布符合正态分布，对其均值进行极大似然估计可得其均值为0.04m/s 2，其均值不为0m/s 2，有可能是采样点过少。

同理对CD 和EF 过程的随机误差进行正态检验时，得出在加速度理论值为0m/s 2的阶段，其随机误差不符合正态分布，接近正在加速度理论值不为0m/s 2阶段，其随机误差为正态分布。

本文对在加速度理论值为0m/s 2的阶段随机误差不符合正态分布解释如下：在此阶段数据波动较小，观察滤波后的图形任然具有波动，数据滤波不完全，滤波之后的随机误差可能具有偏差。

综上，本文通过系统误差和随机误差对其存在误差进行分析得出以下结论：随机误差分阶段服从均值为0的正态分布，系统误差大致在某个固定值上下波动，其值与声屏障的运动状态有关，即声屏障的加速度为0m/s 2或者不为0m/s 2。

4.2问题二模型的建立与求解
4.2.1随机误差去除模型的建立与求解
由于传感器在工作时，受到随机因素影响，如空气的扰动、电磁场的微变随机等因素甚至在传输信号时受到干扰信号的影响，造成信号中带有噪声信号。

利用数据滤波和数据拟合的相关方法对原始数据进行处理。

下面对AB 过程记录的加速度进行处理。

数据滤波可以排除原始数据的干扰，即去除随机误差，本文采用简单移动平均滤波法对数据进行处理。

数据拟合是通过选择适当的曲线类型来拟合观测数据，因此只要保证足够的拟合优度，数据拟合可认为是去除随机误差的方法。

在AB 过程第二阶段，声屏障去除随机误差后的加速度与时间具有函数关系，可利用曲线拟合拟合该段数据。

对数据拟合和数据滤波的评判，则是对其处理得到的随机误差进行评价，随机误差的均值越接近于0，则说明处理方法越好。

利用Excel 对AB 过程第二阶段的数据进行拟合，得到其图形，如下图所示：
图9 AB 过程加速度段拟合图
假设该段函数声屏障加速度检测仪记录的加速度排除随机误差后的加速度与时间的关系为：
)(t F a = （7）
其函数关系式为0824.37337.00110
.0105.3235++-⨯=-t t t a （8） 对于上式，各个系数的拟合区间不包含0，且拟合优度为0.82，可认为该拟和图形较好。

将该时间段（470～690）内时间点带入该函数关系式，得到的数据即认为去除了随机误差。

用原始数据减去该数据可得到其随机误差，对其进行检验，符合正态分布，其均值的极大似然估计为0.4。

利用数据滤波的方法对AB 过程第二阶段进行处理，可将原始数据去除掉随机误差，同理可得到其随机误差的均值为-0.08。

由于利用简单平滑滤波得到的数据处理得到的均值小于利用数据拟合的均值，在AB 过程第二阶段，其随机误差利用数据滤波的方法去。

对于CD 和EF 过程的声屏障加速或减速时随机误差的校正方法则根据随机误差的选择具体讨论。

对AB 过程进行数据滤波后得到其加速度与时间图，如图7所示。

同理对CD 和EF 过程的进行滤波后得到其去除随机误差前后的加速度随时间变化对比图，见附录。

4.2.4系统误差的校正模型建立与求解
由上文分析可知，其随机误差的应该分段考虑，对于系统误差，本文考虑仍然利用分段的思想，将声屏障理论加速度为0m/s 2和不为0m/s 2 阶段分开考虑。

下面对AB 过程三个阶段的系统误差分别进行分析。

在AB 过程第一阶段和第三阶段，加速度的理论值为 0m/s 2，加速度记录的数据是其随机误差和系统误差的和。

对其第一阶段和第三阶段进行滤波后即可得到其系统误差图形。

由问题一模型可知，其系统误差为在某一固定值上下波动，因此对此阶段进行系统误差校正是，则补偿该固定值。

对于AB 过程第二阶段，由于不知道本题的模拟方法，不能从机理上对系统误差进行分析，得不出系统误差的规律。

本文将其视作固定值，观察调整后的速度和位移与时间的关系图，如果符合声屏障的实际运动情况，则可在AB 过程第二阶段视为固定值。

对于AB 过程的第二阶段，在此阶段其末速度为0m/s ，基于此进行补偿。

假设对AB
过程第二阶段进行滤波后得到加速度为2a ，理论加速度为'
2a ，其与时间的函数关系为：
)(22t F a = （9） 对于此阶段，设其补偿的系统误差为2s E ，则理论加速度与时间的关系为：
22'
2)(s E t F a += （10）
在此阶段速度变化量为0m/s ，即上述函数与时间的积分为0。

即：
0))((22'
2=+=⎰⎰dt E t F dt a s （11）
基于上述原理，利用MATLAB 编程可以得到其系统误差的校正量。

对此阶段系统误
差校正后可得到其速度与时间关系图。

-400-2000200400600800100012001400
图10 AB 加速度段校正前后对比图
观察上图可知：校正系统误差后，AB 过程速度与时间的图形更符合实际情况。

02004006008001000
12001400
0.050.10.15位移的处理前图
t/0.001s
l /m
200
400
600
800
1000
1200
140000.050.10.15位移的处理后图
t/0.001s
l /m
图11 AB 过程位移随时间变化对比图
依据上述原理可以得到CD过程和EF过程的各个阶段系统误差的校正量，如表1、2、3所示。

CD和EF过程去除系统误差和系统滤波后得到速度和位移随时间变化前后对比图见附录。

表2 C到D各阶段的系统误差
表3 E到F各阶段的系统误差
4.3改进后的加速度检测仪的应用
改进后的加速度检测仪可以应用并推广于以下几种情况[2][3]。

（1）计步器功能
利用改进后的加速度检测仪可以检测交流信号以及物体的振动，人在走动的时候会产生一定规律性的振动，而加速度传感器可以检测振动的过零点，并通过改进后的模型进行修正，从而计算出人所走的步或跑步所走的步数,从而计算出人所移动的位移。

并且利用一定的公式可以计算出卡路里的消耗。

（2）图像自动翻转
用加速度传感器检测手持设备的旋转动作及方向，需要准确的实现所要显示图像的转正，对所测加速度的修正就很关键，改进后的加速度检测仪就可以很好的解决这一问题，使得图像的转正灵敏、准确且符合实际。

（3）防手抖功能
普通照相机在按快门时手都后会使图像模糊，要使所拍摄的图像永远是清晰的，就必须对测得加速度进行校正。

用改进后的加速度检测仪检测手持设备的振动/晃动幅度，当振动/晃动幅度过大时锁住照相快门，就能使所拍的照片清晰。

（4）图像移动及菜单选择
手机的尺寸比较小，因此当显示的图像内容较大或较多时，一般要通过上下左右导航键加以控制，操作起来比较麻烦。

而通过在手持设备当中加装改进后加速度检测仪，可以轻易地实现左右前后的倾角测量，从而实现对屏幕所显内容的左右前后的移动的准确性以及菜单的选择。

（5）游戏控制
加速度传感器可以检测上下左右的倾角的变化，因此通过前后倾斜手持设备来实现对游戏中物体的前后左右的方向控制，而应用改进后的加速度检测仪，就能使游戏操作更加灵敏和精确，使得游戏可玩性大大增强。

（6）路面平整度的测量
汽车在行进过程中路面的不平整会使汽车在行驶时产生非线性振动，会影响乘坐舒适性，应用加速度检测仪检测路面平整度来对道路进行维护，应用我们的加速度检测仪校正模型，能够使得路面的平整度测得的更加精确。

五、模型的评价与改进
5.1模型的评价
5.1.1模型的优点
本文建立的模型能够快速、高效的去除随机误差并校正系统误差，得到符合实际情况的速度和位移与时间的图像。

本文建立的模型人为操作较少（程序调试），具有很高的应用价值，可以方便的进行推广。

5.1.2模型的缺点
对于加速度的理论加速不为0m/s2的阶段，本文对其系统误差的考虑是将其简化为固定值考虑，此方法可以方便的进行处理，从而得到符合实际情况的速度和位移与时间图形。

对于实际情况，系统误差可能遵循一定的规律分布，本文的处理方法可能与实际情况稍有偏差。

5.2模型的改进
本篇论文对于系统误差的校正方法较为简单，可在此基础上对该模型进行改进。

由于对试验模拟方法不了解，不能从机理上分析系统误差的规律，对于该系统误差的校正模型的改进则需从机理上对系统误差分析，得出其规律进而对其改进。

六、模型的应用与推广
本模型很好地解决了加速度的较正问题，首先可以应用到利用加速度传感器的领域，对其测得数据进行改进，如计步器、图像自动翻转领域；其次本文建立的误差校正模型可以推广到其他误差校正领域，如对信号分析与处理。

参考文献
[1]容太平,沈承虎，袁中平,许松梅,用加速度传感器测量位移的原理与误差分析[J],华中理工大学学报，2000
[2]程斌杰，魏逢原，金孟加,基于加速度传感器的智能小车路况自动测量系统[J],机电工程,2012(10)
[3]加速度传感器有哪些应用,传感器专家网，/index.html, 2013-04-09。