高中数学人教版A版精品教案《三角函数的图象与性质》

三角函数的图象与性质
——正弦函数、余弦函数的性质
【教学目标】
1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
3．掌握正弦函数(n )si y A x ωϕ＝＋的周期及求法。

【教学重点】
正、余弦函数的性质。

【教学难点】
正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】
一、讲解新课：
（1）定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(,)-∞+∞］，
分别记作：
sin y x x ∈R ＝，
cos ,y x x =∈R
（2）值域
1sin 1x ≤≤-，-1cos 1x ≤≤
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[]-1,1。

其中正弦函数sin y x =，x ∈R
（1）当且仅当x 2k 2
ππ=+，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。

而余弦函数cos y x ＝，x ∈R
当且仅当2x k π=，k ∈Z 时，取得最大值1(21)x k π=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。

（3）周期性
由sin(2)sin x k x π+=，cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
()()f x T f x +=，那么函数f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，…，2π-，4π-，…2k πk ∈Z 且0k ≠都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期。

注意：
1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x T M +∈，且若0T ＞则定义域无上界；
0T ＜则定义域无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则()f x 就不为周期函数（如()()00¹
f x t f x +） 3．T 往往是多值的（如sin y x =，2π，4π，…，2π-，4π-，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()f x 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k πk ∈Z 且0k ≠都是它的周期，最小正周期是2π
（4）奇偶性
由sin()sin x x -=-
()cos x cosx -＝可知：sin y x =为奇函数
cos y x =为偶函数
∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于轴对称
（5）单调性
从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
的图象上可看出： 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，曲线逐渐上升，sin x 的值由1-增大到1。

当3x ,22ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到1-。

结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z 上都是增函数，其值从1-增大到1；在每一个闭区间32,2()22k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z 上都是减函数，其值从1减小到1-。

余弦函数在每一个闭区间[(2k 1),2k ](k )ππ-∈Z 上都是增函数，其值从1-增加到1；在每一个闭区间[2,(21)]()k k k ππ+∈Z 上都是减函数，其值从1减小到1-。

二、讲解范例：
例1：
求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。

（1）cos 1y x =+，x ∈R ；
（2）sin 2y x =，x ∈R 。

解：（1）使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最大值的的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k π=∈Z 。

函数cos 1y x =+，x ∈R 的最大值是112=＋。

（2）令 2 z x =，那么x ∈R 必须并且只需z ∈R ，且使函数y sin z ＝，z ∈R 取得最大值的z 的集合是|2,2z z k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 由222x z k ππ==
+， 得4x k π
π=+
即使函数sin 2y x ＝，x ∈R 取得最大值的的集合是|,4x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
Z 。

函数sin 2y x ＝，x ∈R 的最大值是1。

例2求下列函数的定义域：
（1）1n 1si x
y =+ （2）cos y x = 解：（1）由1sin 0x +≠，得sin -1x ≠
即32()2
x k k Z ππ≠+∈ ∴原函数的定义域为3|2,2x x k k ππ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
Z （2）由cos 0x ≥得22()22
k x k k ππππ-++∈Z ∴原函数的定义域为2,2()22k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
Z 例3求函数cos y x =-的单调区间
解：由cos y x =-的图象可知：
单调增区间为[2,(21)]()k k k ππ+∈Z
单调减区间为[(21),2]()k k k ππ-∈Z
例4求下列三角函数的周期：1．sin 3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ 2．y cos2x = 3．3sin 25x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 解：1．令3z x π=+
而sin(2)sin z z π+= 即：(2)()f z f z π+= (2)33f x f x πππ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭ ∴周期2T π=
2．令2z x =
∴()cos2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+ 即：()()f x f x π+=
∴周期T π=
3．令25
x z π=+则 4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)252
5x x f x z z f x ππππππ+⎛⎫⎛⎫==+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴周期4T π=
三、课堂练习：
1．求下列函数的周期：
（1）sin 22cos 346y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）sin y x = （3）cos 2cos 21y x x x =+- 解：（1）1sin 24y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭最小正周期1T π= 22cos 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭最小正周期22T 3π= ∴T 为1T ，2T 的最小公倍数2π∴T π=
（2）T π=
（3）2cos 2y x x =+∴T π=
2． 直接写出下列函数的定义域、值域：
（1）11sin x
y +=（2）y =解：（1）当x 2k 2ππ≠-k ∈Z 时函数有意义，值域：1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦
（2）3x 2k ,2k 22ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦
k ∈Z 时有意义，值域 3．求下列函数的最值：
（1）sin 314y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
（2）sin 24sin 5y x x =-+（3）=x x cos 3cos 3+- 解：（1）当3242
x k ππ
π+=+即 =12
32ππ+k k ∈Z 时max 0y = 当3242x k πππ+=-即234k x ππ-= k ∈Z 时min 2y =- （2）()sin 221y x =-+
∴当22x k ππ=-
k ∈Z 时max 10y = 当22x k π
π=- k ∈Z 时min 2y =
（3）13c 1os x
y +=-+
当2x k ππ=+ k ∈Z 时max 2y = 当2x k π= k ∈Z 时1min 2y = 4．函数sin y k x b =+的最大值为2，最小值为4-，求k ，b 的值。

解：当0k ＞时⎩
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+13
42b k b k b k 当0k ＜时⎩
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=+-1342b k b k b k （矛盾舍去）∴3k = 1b =- 5．求下列函数的定义域：
（1
）y =2）(
)lg 2si n 1y x =+（3
）y =解：（1） ∵3cos 12cos20x x --≥∴co 112
s x ≤≤
∴定义域为： 223()3k k k ππππ⎡-⎤∈⎢⎥⎣+⎦Z ， （2）7122sin 662()1cos 22233k x k x k x k x k ππππππππ⎧⎧-<<+>-⎪⎪⎪⎪⇒∈⎨⎨⎪⎪≥-≤≤+⎪⎪⎩⎩
Z 22()63
k x k k π
π
ππ⇒-<≤+∈Z ∴定义域为：(2,2]()63
k k k ππππ-+∈Z （3）∵()cos sin 0x ≥ ∴22()22k x k k π
π
ππ-≤≤+∈Z
∵1sin 1x ≤≤
∴x R ∈
1y ≤≤。