山西省三晋名校2025届高三上学期10月联合考试数学试卷(含答案)

山西省三晋名校2025届高三上学期10月联合考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =2i (1−i )+1，则|z |=( )
A.
5
B.
13
C. 5
D. 13
2.已知函数f (x +1)=x 2−3x +5，则f (3)=( )A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3S 3，则S 9
S 3=( )A. 4
B. 6
C. 7
D. 9
4.现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km ，上底面边长为4km ，侧棱长为3
2km ，则该水
库的最大蓄水量为( )A. 112
3km 3
B. 112km 3
C. 56
3km 3
D. 56km 3
5.已知数列{a n }是等差数列，m ，n 都是正整数，则“m +n =10”是“a n +a m =2a 5”的( )A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.若函数f (x )=ln (e 2x +1)−ax 是偶函数，则曲线y =f (x )在x =0处的切线斜率为( )A. −1
2
B. 0
C. 1
2
D. 3
2
7.已知函数f(x)=
3cos (2ωx +π
3)−2sin (ωx +π
6)sin (ωx−π
3)(ω>0)在(0,π)上恰有2个零点，则ω的取值
范围是( )A. (23,7
6]
B. [23,7
6)
C. (1112,17
12]
D. [1112,17
12)
8.已知圆M:x 2+y 2−6y =0与圆N:(x−cos θ)2+(y−sin θ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B 两点，则▵ABM(M 为圆M 的圆心)面积的最大值为( )
A.
2
B. 9
4
C. 2
2
D. 9
2
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是A,B 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是( )
A. 这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大
B. 这年上半年A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大
D. 这年上半年A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大10.已知函数f (x )=sin x +2cos x ，下列结论正确的是( )A. f (x )的最小正周期为2π
B. 若直线x =x 0是f (x )图象的对称轴，则sin x 0=
55
C. f (x )在[0,π]上的值域为[−2,
5]
D. 若α≠β,α,β∈(0,2π]，且f (α)=f (β)=−2，则cos(α+β)=3
5
11.在长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =4,AA 1=2
2,E,F 分别是棱A 1D 1,BB 1的中点，G 是A 1B 的中
点，直线C 1G 与平面ABCD 交于点P ，则( )A. 异面直线EF 与CD 所成角的余弦值是2
2211
B. 点C 到平面DEF 的距离是
8 22
11
C. 三棱锥P−AA 1C 的体积为16
2
3
D. 四面体CDEF 外接球的表面积是34π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知单位向量a ,b 满足|a +3b |=
13，则a 与b 的夹角为 ．
13.对于非空数集A ，B ，定义A ×B ={(x,y )|x ∈A,y ∈B }，将A ×B 称为“A 与B 的笛卡尔积”.记非空数集M 的元素个数为|M |，若A ，B 是两个非空数集，则
|A ×A |+4|B ×B |
|A ×B |的最小值是 ．14.已知x 0满足x 20e x 0+ln x 0=0(0<x 0<1)，则e x 0
−
3ln x 0+1
x 0
= ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率是2
2
，且点P(6,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若▵OAB的面积是6，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且(b+c)cos A=a(cos B−cos C)．
(1)证明：A=2B．
(2)若▵ABC是锐角三角形，求b
a
的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，其中AB//CD，
AB=2CD=4,AD=10．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBD．
(2)若PD=3，求二面角B−PA−C的余弦值．
18.(本小题17分)
以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在R上的函数f(x)满足条件①在闭区间[a,b]上连续，②在开区间(a,b)内可导，则∃x0∈(a,b)，
f(a)−f(b)
a−b
=f′(x0).而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若f(a)=f(b)，则f′(x0)=0.现已知函数f (x)=(x−2)e x+ax3(a∈R)．
(1)设可导函数g(x)=(x2−5x+4)f(x)+1，证明：∃x0∈(1,4)，g′(x0)=0；
(2)若f’(x)在(−1,1)上的最小值为−1，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
某项测试共有n道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记n道题的总得分为X,X的取值个数为a n．
(1)求a1,a2,a3的值；
(2)当n=5时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求X=10的概率；
(3)求数列{1a n a n+1}的前n项和S n．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.C
6.B
7.A
8.C
9.ACD 10.ACD 11.ACD 12.π
3或60∘ 13.4 14.3 15.解：(1)
由题意可得
{
c a =
226
a
2+1b 2=1a 2=b 2+c 2
，解得a =2
2，b =2，c =2，
故椭圆C 的标准方程为x 2
8+
y 2
4
=1．(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，F (−2,0)．
设直线l ：x =my−2，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，
联立{
x =my−2
x 28
+y 24
=1，整理得(m 2+2)y 2−4my−4=0，直线过椭圆焦点，必有
Δ>0，
则y 1+y 2=4m m 2+2，y 1y 2=−4
m 2+2，故|y 1−y 2|=
(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4
2⋅
m 2
+1m 2+2
．
因为▵OAB 的面积是 6，所以12|OF ||y 1−y 2|= 6，即12×2×4
2⋅
m 2+1m 2
+2
= 6，整理得3m 4−4m 2−4=0，即(3m 2+2)(m 2−2)=0，解得m =±
2，
则直线l 的方程为x−
2y +2=0或x +
2y +2=0(或y =±
22
(x +2)).
16.解：(1)由题设(sin B +sin C )cos A =sin A (cos B−cos C )，
所以sin B cos A +sin C cos A =sin A cos B−sin A cos C ，
则sin C cos A +sin A cos C =sin A cos B−sin B cos A ，即sin (A +C)=sin (A−B)，又A +C =π−B ，则sin (π−B)=sin B =sin (A−B)，且A,B ∈(0,π)，所以B =A−B⇒A =2B ，得证．
(2)由题设{0<A <π20<B <π2π2
<A +B <π，即{
0<2B <π
20<B <π2π2
<3B <π
，得π6<B <π
4，由b a =sin B
sin A =sin B sin 2B =12cos B ，而cos B
∈(
22, 3
2
)，故b a ∈
(
33, 2
2
)．
17.解：(1)过D 作DE ⊥AB ，垂足为M ，则BE =3AE =3,DE = AD 2−AE 2=3，
因为AB//CD ，则DE ⊥CD ，且PD ⊥平面ABCD ，
如图所示，以D 为坐标原点，DE,DC,DP 分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
则A (3,−1,0),B (3,3,0),C (0,2,0),D (0,0,0)，可得AC =(−3,3,0),DB =(3,3,0)，
因为AC ⋅DB =−9+9+0=0，则AC ⊥BD ，
又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC ⊥PD ，且BD ∩PD =D ，BD,PD ⊂平面PBD ，可得AC ⊥平面PBD ，又因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．(2)若PD =3，由(1)可知：P (0,0,3)，
可得AB =(0,4,0),PA =(3,−1,−3),AC =(−3,3,0)，设平面PAC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则
{m ⋅PA =3x 1
−y 1
−3z 1
=0
m ⋅AC =−3x 1
+3y 1
=0
,令x 1=3，则y 1=3,z 1=2，可得m =(3,3,2)，设平面PAB 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2)，则
{
n ⋅PA =3x 2−y 2−3z 2=0n ⋅AB =4y 2=0
,
令x 2=1，则y 2=0,z 2=1，可得n =(1,0,1)，
则cos m ,n =m n |m |⋅|n |=5 22× 2=5 11
22
，
由图可知二面角B−PA−C 为锐二面角，所以二面角B−PA−C 的余弦值为5
1122
．
18.解：(1)因为g (1)=g (4)=1，且g (x )在[1,4]上连续，在(1,4)内可导，
所以，由罗尔中值定理得∃x 0∈(1,4)，g′(x 0)=0．
(2)设ℎ(x )=f′(x )=(x−1)e x +3ax 2，则ℎ′(x )=x (e x +6a )．当6a ≥0，即a ≥0时，e x +6a >0，
当x <0，得ℎ’(x)<0，则ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，当x >0，得ℎ’(x)>0，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，从而ℎ(x )min =ℎ(0)=−1，故a ≥0符合题意．
当6a <0时，即a <0时，令ℎ′(x )=0，得x =0或x =ln(−6a )．当ln(−6a )<0，即−1
6<a <0时，
当x >0或x <ln(−6a )，得ℎ’(x)>0，则ℎ(x)在(−∞,ln(−6a ))和(0,+∞)上单调递增，当ln(−6a )<x <0，得ℎ’(x)<0，则ℎ(x)在(ln(−6a ),0)上单调递减．
因为ℎ(x)在(−1,1)上的最小值为−1，且ℎ(0)=−1，则ℎ(−1)≥−1，得2
3e −1
3≤a <0；
当ln(−6a )=0，即a =−1
6时，ℎ′(x )≥0恒成立，则ℎ(x)在R 上单调递增，故a =−1
6，不合题意；当ln(−6a )>0，即a <−16时，
当x >ln(−6a )或x <0，得ℎ’(x)>0，则ℎ(x)在(−∞,0)和(ln(−6a ),+∞)上单调递增，
当ln(−6a)<x<0，得ℎ’(x)<0，则ℎ(x)在(0,ln(−6a))上单调递减，
从而ℎ(−12)<ℎ(0)=−1，故a<−16，不合题意；
综上，a的取值范围为[23e−13,+∞)．
19.解：(1)当n=1时，总得分的取值为5,2,0，a1=3，
当n=2时，情况如下：
①两题都得5分；两题都得2分；两题都得0分；②一题得5分，一题得2分；
③一题得5分，一题得0分；④一题得2分，一题得0分．
a2=3+3×(2−1)=6．
当n=3时，情况如下：
①三题都得5分；三题都得2分；三题都得0分；
②一题得5分，两题得2分；两题得5分，一题得2分；
③一题得5分，两题得0分；两题得5分，一题得0分；．
④一题得2分，两题得0分；两题得5分，一题得0分；
⑤一题得5分，一题得2分，一题得0分，总得分与②重复，
a3=3+3×(3−1)=9．
综上得，a1=3,a2=6,a3=9．
(2)由题意得，每道题得5分、2分、0分的概率均为1
3
．
当两题得5分，三题得0分时，X=10，概率为C25×(13)2×(13)3=10243，
当5个题得分均为2分时，X=10，概率为(13)5=1243，
∴X=10的概率为10
243+1
243
=11
243
．
(3)当题目个数为n(n≥3)时，
①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分的取值个数为3，
②当每个题目得分为5分和2分的一种时，总得分的取值个数为C1n−1=n−1，
③当每个题目得分为5分和0分的一种时，总得分的取值个数为C1n−1=n−1，
④当每个题目得分为2分和0分的一种时，总得分的取值个数为C1n−1=n−1，
⑤当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，总得分情况与②重复，
∴a n=3+3(n−1)=3n(n≥3)，经检验得a1,a2,a3均满足上式，
∴a n =3n ，∴a n +1=3(n +1)，
∴1
a n a n +1
=1
9n(n +1)=19(1
n −1
n +1)，∴S n =19[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1
)]
=1
9(1−1n +1)=n 9(n +1)．。