决策理论

d2
d21
d22
0.25 θ1
0
0 -10000
0.02 θ2 0.73 θ3
0 -60000 -60000
0
0
0
先不考虑搬走费用及筑护堤费用，放到决策树 中。
决策树：
0
d1 -1700
1
2 -1800
d2
-1700
3
0
d21 -500
d22
-1200 θ1（0.25） 4 θ2（0.02） θ3（0.73）
2、决策（方案）：是一种行动，一种方案， 指两个或两个以上可供选择的方案。记为 dj(j=1,2,…,n)
3、状态（事件）：指决策实施以后可能遇到 的客观状态。例如服装投入市场以后的销售 量大、中、小。记为θ i(i=1,2,…,m)
4、状态概率：是各个状态可能发生的概率（可 能性大小的估计），为主观的估计，根据历史 数据、相关资料、经验得到。记为P(θ i)
在结局结点后标明损益值；
各结点的标号从左至右，从上到下依次标出；
决策树起始于决策结点，结束于结局结点。
3、决策步骤： 计算损益表；
绘制决策树；
从右至左计算各方案的期望值，将计算结果 标在决策分支右端状态结点处；
根据最大收益期望值准则对各方案期望值进 行比较，删去期望值小的方案——“剪支”， 留下来的分支即为最优方案；
1、后悔值（机会损失值，OL）：并非决策
者受到的具体损失，而是未采用最优决策以
至于能得而未得到的收益。
2、后悔值表（机会损失表）
dj θ i rij
其中， rij

max j
u
i
j
uij
即在每个状态下对各方案的收益值取最
大值，再用它减去该状态下的各收益值，从
而得到相应的后悔值。
3、原则：min-max原则（坏中取好）
1
θ3
6
0
评价值
6
40
d*=d1 f(d*)=6
思考：若已知损失表，则后悔值如何计算？
rij

u ij

min j
ui j
第三节 风险型决策
一、期望值准则
1、思想：通过损益值或机会损失值及状态 概率求出各方案相应的期望值，从而寻找最 优方案。
2、原则：最大收益期望值准则
最小机会损失期望值准则
θ1（0.25） -3700
5 θ2（0.02） θ3（0.73）
0 -60000 0 -10000 -60000 0
最优方案为不搬走施工机械并且筑护堤，花费 1700元。
三、贝叶斯决策
1、基本思想： 在风险型决策中，对自然状态发生的概率
（先验概率）估计的正确程度直接影响决策 的结果； 为了更好地进行决策，在条件许可的情况下 往往需进一步补充新信息（B），可以通过调 查、试验、咨询得到，但需支付一定费用； 根据补充信息重新计算（贝叶斯公式）概率 得到新概率（后验概率）； 利用新概率来进行决策。
第二章 决策理论
第一节 概述
决策： 起源于英语”Decision Making”，意思为 “决策制定”。中文中理解为“决定策 略”，可以指重大问题的决策，也可以指 日常工作、生活、学习中的决策。
行为的选择。
决策的制定强调的是选择最优决策方案的 过程而不是结果。
一、决策问题的组成
1、决策者：可以是某一个人，也可以是某一 个团体。例如股份制公司中的董事会；国企 中的厂长。
2、原则：折衷原则

3、公式：f (d*) 4、步骤：

max{ j
max i
u
ij

(1


)
min i
u
ij}
对每一个方案在各状态下的最大收益值×α+ 在各状态下的最小收益值×（1-α）作为该方 案的评价值；
选择各方案中评价值最大的方案为最优方案。
例：α =0.4
dj θi
200 300
x1, x 2 0
决策： X=(x1,x2)T
状态： 给定的三种资源的限制。
损益： 决策方案对应的总收入Z。
2、不确定型决策： 状态不止一个且状态已知，每个方案在不同 状态下的损益值可以计算出来的决策问题。
具体有两种类型：
完全不确定型决策：状态概率未知；
2、贝叶斯决策解决的问题：
如何根据补充信息对原有的状态概率进行修 正从而得到后验概率，并用其进行决策；
补充新信息是否值得。
3、决策步骤：
（1）先验分析：在没有进行补充信息之前， 根据先验概率进行决策（期望值准则）得到 最大收益期望值，记为EMV*（先）。
计算损益表；
m
计算各方案的收益期望值；E(d j) P(i )uij

选择最大收益期望值。
max j
E(d
j
)
i1
EMV
*
(先)
例：
dj P (θi) θi
d1
d2
0.2
θ1
80
40
0.5
θ2
20
7
0.3
θ3
-5
1
E(dj)
24.5
11.8
EMV *(先) 24.5
（2）预验分析：对补充信息是否值得作出 分析，从而决定是否补充新信息。
完全信息：能够准确无误地预报将发生某种 状态的信息。即这种信息预报某种状态发生， 则在实际中必定出现这种状态。
max j
min i
u
i
j
4、步骤：
对每一个决策方案在各个状态下的收益值取 最小值作为该方案的评价值；
选择各方案中评价值最大的方案作为最优方
案。 例：
dj θi
d1
d2
θ1
80
40
θ2
20
7
θ3
-5
1
评价值
-5
1
d*=d2 f(d*)=1
二、乐观法
1、思想：决策者对事物抱有乐观和冒险的 态度，决策是在各种最好的可能结果中选 择最好的方案为最优决策方案。
f
(d*
)

max j
E(d
j
)
4、步骤：
求出各状态发生的概率；
计算各方案的收益期望值；
选择收益期望值最大的方案为最优方案。
例：
dj
P (θi) θi
d1
d2
1/3
θ1
80
40
1/3
θ2
20
7
1/3
θ3
-5
1
E(dj)
95/3
16
d*=d1 f(d*)=95/3
五、最小后悔值法
用决策分析的术语描述该问题。
解：
决策：
d1：增加设备投资, d2：维持现状; 状态：
θ1：销售量大，θ2：销售量中，θ3：销售量小
损益表：
dj θi
d1
d2
θ1
80
40
θ2
20
7
θ3
-5
1
二、决策问题的分类
1、确定型决策： 只可能有一种确定的状态，每个方案在这个 状态下的损益值可以计算出来。 例如线性规划问题就是一个确定型的决策问 题。
例：
dj P (θi) θi
d1
d2
0.2
θ1
80
40
0.5
θ2
0.3
θ3
E(dj)
20
7
-5
1
24.5
11.8
d*=d1 f(d*)=24.5
机会损失表：
P(θi) θi
dj
d1
0.2 θ1
0
0.5 θ2
0
0.3 θ3
6
EOL(dj)
1.8
d2
40 13 0 14.5
d*=d1 f(d*)=1.8
风险型决策：状态概率已知（可以事先计算 或估计出来）
第二节 完全不确定型决策
决策的前提已知收益表（损失表）
一、悲观法
1、思想：决策者对事物抱有悲观和保守的 态度，决策是在各种最坏的可能结果中选择 最好的方案为最优决策方案。
2、原则：max-min原则（坏中取好）

3、公式：
f
(d*
)

d2 40 7 1
E(d1)=24.5 E(d2)=11.8 d*=d1,f(d*)=24.5
某工程队承担一座桥梁施工任务，由于施工 地区夏季多雨需停工3个月，在停工期间施工 队可将施工机械搬走或留在原处。若搬走需 搬运费1800元，若留在原处则有两种方案， 一种为花500元筑护堤防止河水上涨发生高水 位侵袭，另一种不筑护堤。若不筑护堤发生 高水位侵袭时损失1万元；若下暴雨发生洪水 时则无论是否筑护堤施工机械留在原处都将 受到6万元损失。据历史资料，该地区夏季高 水位发生概率25%，洪水发生概率2%。试用 决策树法进行决策。
2、原则：max-max原则（好中取好）

3、公式：
f
(d*
)

max j
max i
u
i
j
4、步骤：
对每一个决策方案在各个状态下的收益值取 最大值作为该方案的评价值；
选择各方案中评价值最大的方案为最优方案。
例：
dj θi
d1
d2
θ1
80
40
θ2
20
7
θ3
-5
1
评价值
80
40
d*=d1 f(d*)=80
与悲观法的结果完全相反
三、乐观系数法
1、思想：决策者对事物既不悲观也不乐观， 而是用一个乐观系数（折衷系数）α来从中平 衡，进行决策。（ 0≤ α ≤1） α是根据历史数据或经验估计而得。 当情况比较乐观时α应取的大一些； 当情况比较悲观时α应取的小一些。 α=1时即为乐观法； α=0时即为悲观法。
每个状态应有对应的一个状态概率，且P(θ 1)+ P(θ 2) +…+ P(θ m) =1
5、结局（损益、后果）：指某个决策方案dj实 施以后遇到某个状态θ i时可能会带来的损益值。 记为Uij 损益包括收益（利润）和损失（成本）。
通常用二维表（矩阵）的形式表示——损益表 （损益矩阵）
P(θi) θi dj
d1
d2
…
P(θ1) θ1
u11
u12
…
P(θ2) θ2
u21
u22
…
… ……
…
P(θm) θm
um1 um2
…
dn u1n u2n …
umn
表中损益值的个数为m×n 注意：行、列所表示的含义。
例：某厂需要对明年的生产投资做出决策： 是增加设备投资还是维持现状。该厂产品明 年在市场上的销售情况可能有三种：销售量 大、中、小。若增加设备投资遇到各种情况 后的收益（万元）分别为80、20、-5；若维 持现状遇到各种情况后的收益（万元）分别 为40、7、1。
解：为两个阶段的决策问题
方案：第一阶段：d1施工机械搬走；d2不搬走
第二阶段：不搬走时d21筑护堤；d22不筑护堤
状态：θ 1高水位； θ 2洪水； θ 3其它水位
状态概率：P(θ 1)=0.25； P(θ 2)=0.02；
P(θ 3)=0.73
损益表：
P(θi)
dj θi
d1
结局结点：用 表示，表示某个方案在某个 状态下的结局（损益值），无分支，位于树的 末梢处。
例：
d1
2
1
d2
3
注意问题：
θ 1 P(θ 1)
u11
θ 2 P(θ 2)
u21
θ 1 P(θ 1) u12
θ 2 P(θ 2)
u22
在决策分支上标明决策方案；
在状态分支上标明状态及状态概率；
两种准则所得的结果完全一致，符合客观规律。 Nhomakorabea 二、决策树
1、思想：用树形结构的形式来描述决策问题 的决策过程及结果。
2、结构：决策树由结点和分支组成 决策结点：用 表示，引出的分支称为决策 分支，每个分支表示一个决策方案；
状态结点：用 表示，引出的分支称为状态 分支，每个分支表示一种自然状态；

4、公式：f (d*)
5、步骤：

min j
max i
rij
计算后悔值表；
对每一个方案在各状态下的后悔值取最大 值作为该方案的评价值；
选择各方案评价值最小的方案为最优方案。
例：收益表
后悔值表
dj θi
d1
d2
dj θi
d1
d2
θ1
80
40
θ1
0
40
θ2
20
7
θ2
0
13
θ3
-5
例：某厂计划生产甲、乙两种产品，决定生 产方案，使总收入最大。
甲
煤（t） 9
电（kw.h） 4
油（t） 3
单位价格 （万元）
7
乙 资源限量 4 360 5 200 10 300
12
maxZ 7x1 12x2
9x1 4x2 360
34xx11
5x2 10x2
m

3、公式：f
(d*
)

max j
[E(d
j
)]其中E(d
j
)

P(i )uij
i1
m
f (d*)

min j
[EOL
(d
j
)]其中
EOL
(d
j
)

i1
P(i )rij
4、步骤：
计算损益表或机会损失表；
计算各方案的收益期望值或机会损失期望值；
选择收益期望值最大或机会损失期望值最小 的方案为最优方案。
将最大的期望值标在决策结点处。
例：收益表：
dj
P (θi) θi
d1
0.2
θ1
80
0.5
θ2
20
0.3
θ3
-5
决策树：
24.5
θ 1 (0.2)
80
24.5 d1
2
θ 2 (0.5)
20
θ 3 (0.3)
-5
1
11.8
d2
3
θ 1 (0.2) θ 2 (0.5)
40 7
θ 3 (0.3)
1
d1
d2
θ1
80
40
θ2
20
7
θ3
-5
1
评价值
29
16.6
d*=d1 f(d*)=29
四、等可能法
1、思想：决策者认为各状态发生的概率均 相同，并按照最大期望值准则进行决策。
2、原则：平均原则

3、公式：
P(i )
1 (i 1,2,...,m) m
m
E(d j) P(i )uij ( j 1,2,..., n) i1