计数原理、概率、随机变量及其分布课时提升练63精选配套练习

课时提高练 (六十三 )
失散型随机变量
的均值与方差、正态散布
一、选择题
1．(2013 ·广东高考 )已知失散型随机变量 X 的散布列为
X 1 2
3
P
3
3 1
5
10 10
则 X 的数学希望 E(X)＝(
)
3
5
A. 2
B ．2
C.2
D ．3
【分析】 E(X)＝1×3
＋2× 3 ＋3× 1 ＝3
，选 A.
5 10 10 2 【答案】 A
2．正态整体 N(1,9)在区间 (2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为
m ，
n ，则 (
)
A ．m ＞n
＜ n
C ．m ＝n
D.不确立
整体
【分析】 ∵区间 (2,3)和(－1,0)恰巧对于 μ＝1 N(1,9)在两区间上取值的概率相等，即 m ＝n.
对称，进而正态
【答案】
C
3．(2014 ·海淀模拟 )若 X ～B(n ，p)，且 E(X)＝6，D(X)＝3，则 P(X
＝1)的值为 (
)
A ．3·2
－
2
－
4
C ．3·2－
10
－
8
1
【分析】
∵E(X)＝np ＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p ＝2，n ＝12，
1 1 1 11
－ 10 则 P(X ＝1)＝C 12·· ＝3·2 .
【答案】
C
4．某各种子每粒抽芽的概率都为，现播种了 1 000 粒，对于没有抽芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X ，则 X 的
数学希望为 (
)
A ．100
C ．300
【分析】
记不抽芽的种子数为 ξ，则 ξ～B(1 000,0.1)
∴ E(ξ)＝1 000×＝100.
又 X ＝2ξ，∴ E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.
【答案】
B
5．(2013 ·湖北高考 )如图 10-9-7，将一个各面
图 10-9-7
都涂了油漆的正方体， 切割为 125 个相同大小的小正方体， 经过
搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为
X ，则 X 的均
值 E(X)＝()
126
6 168
7 A.
125
B.5
C.
125
D.5
【分析】 依题意得 X 的取值可能为 0,1,2,3，且 P(X ＝ 0)＝ 33
＝
125
27
9×6
54 3×12 36
8
125，P(X ＝1) ＝ 125 ＝ 125， P(X ＝ 2)＝ 125 ＝125，P(X ＝3)＝ 125.
27 54 36 8 6
故 E(X)＝0×125＋1×125＋2×125＋ 3×125＝5.
【答案】 B
6．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球
3 次，一旦发球成功，则停止发球．不然向来发到 3 次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为 X，若 X 的数学希望 E(X) ＞，则 p 的取值范围是 ( )
，7 7
，1
C. 0
，
1 1
，1
A. 0 12
B. 12 2 D. 2
【分析】由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X ＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则 E(X)＝P(X＝1)＋ 2P(X＝2)＋ 3P(X＝3)＝p＋ 2(1－p)p＋ 3(1－
p)2＝p2－3p＋3＞，解得 p＞5
2或 p＜
1
2，又由 p∈(0,1)，可得 p∈
1
0，2 .
【答案】 C
二、填空题
7．在篮球竞赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分．假如某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是
________．
【分析】E(X)＝1×＋0×＝0.7.
【答案】
8．有一批产品，此中有 12 件正品和 4 件次品，有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的件数，则 D(X)＝________.
1
【分析】由题意知取到次品的概率为4，
1
∴X～B 3，4，
1 1 9
∴ D(X)＝ 3×4× 1－4 ＝16.
【答案】
9
9．(2014 ·东北三校联考 )育才学校要从 5 名男生和 2 名女生中选
出 2 人作为残疾人志愿者，若用随机变量 X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学希望 E(X)＝________(结果用最简分数表示 )．
【分析】
X 的可能取值为 0,1,2.
2
1 1
∴ P(X ＝0)＝
C
2
5
＝
10
， P(X ＝1)＝
C 2C
2
5
＝
10
，
C 7
21 C 7 21
C 22 1
10
10
1
12 4
P(X ＝2)＝C 27＝21，∴ E(X)＝0×21＋1×21＋2×21＝21＝7.
4
【答案】
7
三、解答题
10．(2014 ·四川高考 )一款敲鼓小游戏的规则以下： 每盘游戏都需
敲鼓三次，每次敲鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏
敲鼓三次后，出现一次音乐获取
10 分，出现两次音乐获取 20 分，出
现三次音乐获取 100 分，没有出现音乐则扣除
200 分(即获取－ 200
1
分)．设每次敲鼓出现音乐的概率为 2，且各次敲鼓出现音乐互相独立．
(1)设每盘游戏获取的分数为 X ，求 X 的散布列．
(2)玩三盘游戏，起码有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的很多人都发现，若干盘游戏后，与最先的分数对比．分数没有增添反而减少了． 请运用概率统计的有关知识剖析分数减少的原由．
【解】
(1)X 可能的取值为 10,20,100，－ 200.
依据题意，有
1
1 3
P(X ＝10)＝C 31
× 2 1
× 1－2 2
＝8， 2
1 2 1 1 3 P(X ＝20)＝C 3×
2 × 1－ 2 ＝ ，
8
P(X ＝100)＝C 33× 1 3× 1－1 0＝1
，
2 2
8 1 1 1
P(X ＝－ 200)＝C 30
× 2
× 1－2 3
＝8. 所以 X 的散布列为
X 10 20 100 －200 P
3 3 1
1
8
8 8
8
(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐 ”为事件 A i (i ＝1,2,3)，则
1
P(A 1)＝P(A 2)＝P(A 3)＝P(X ＝－ 200)＝8.
所以 “三盘游戏中起码有一次出现音乐 ”的概率为
1 －
P(A 1A 2A 3) ＝ － 1 3 ＝1－ 1 ＝ 511
1 8
512 512
.
511
所以，玩三盘游戏起码有一盘出现音乐的概率是
512.
(3)X 的数学希望为
3
3
1 1 5
E(X)＝10×8＋20×8＋100×8－200×8＝－ 4.
这表示，获取分数 X 的均值为负，
所以，多次游戏以后分数减少的可能性更大．
11．(2014 ·汕头模拟 )袋中有 20 个大小相同的球，此中记上 0 号
的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球， X 表示所取球的标号．
(1)求 X 的散布列、数学希望和方差；
(2)若 Y ＝aX ＋b ，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求 a ，b 的值．
【解】
(1)X 的散布列为
X
1
2
3
4
P 1 1 1 3 1
2 20 10 20 5
1 1 1 3 1
∴ E(X)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.
D(X) ＝ (0 － 1.5)2×1 ＋ (1 － 1.5)2× 1 ＋ (2 － 1.5)2×1 ＋ (3－
2 20 10
1.5)2×203
＋(4－1.5)2×
1
5＝2.75.
(2)由 D(Y)＝a2D(X)，得 a2×＝11，即 a＝±2.
又 E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当 a＝2 时，由 1＝2×＋b，得 b＝－ 2；
当 a＝－ 2 时，由 1＝－ 2×＋b，得 b＝4.
a＝2，a＝－ 2，
∴或即为所求．
b＝－ 2b＝4，
12．(2014 ·北高考湖 )计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站．过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一
．．．．
年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米 )都在 40 以上．此中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超出 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年．将年入流量在以上三段的频次作为相应段的概率，并假定各年的年入流量互相独立．
(1)求将来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超出120 的概率；
．．
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运转，但每年发电机最多可
运转台数受年入流量X 限制，并有以下关系：
年入流量 X40＜X＜8080≤X≤120X＞120
发电机最多可
12 3
运转台数
若某台发电机运转，则该台年收益为 5 000 万元；若某台发电机
未运转，则该台年损失 800 万元．欲使水电站年总收益的均值达到最大，应安装发电机多少台？
10
【解】(1) 依题意， p1＝ P(40 ＜ X ＜ 80) ＝50＝， p2＝
35
P(80≤X≤120)＝50＝，
5
p3＝P(X＞120)＝50＝0.1.
由二项散布，在将来 4 年中至多有 1 年的年入流量超出120 的概率为
p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝1094
＋4×10
93
×10
1
＝0.947 7.
(2)记水电站年总收益为Y(单位：万元 )．
①安装 1 台发电机的情况．
因为水库年入流量总大于 40，故一台发电机运转的概率为 1，对应的年收益 Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装 2 台发电机的情况．
依题意，当40＜X＜80 时，一台发电机运转，此时Y＝5 000－800＝4 200，所以 P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝；当 X≥80 时，两台发电机运转，此时 Y＝5 000×2＝10 000，所以 P(Y＝10 000) ＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得 Y 的散布列以下：
Y 4 20010 000
P
所以， E(Y)＝4 200×＋10 000×＝8 840.
③安装 3 台发电机的情况．
依题意，当 40＜X＜80 时，一台发电机运转，此时 Y＝5 000－1 600＝ 3 400，所以 P(Y＝ 3 400)＝ P(40 ＜ X ＜ 80)＝ p1＝；当
80≤X≤120 时，两台发电机运转，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，所以 P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝；当 X＞120 时，三台发电机运转，此时 Y＝5 000×3＝15 000，所以 P(Y＝15 000)＝ P(X＞120)＝p3＝，由此得 Y 的散布列以下：
Y 3 400 9 200 15 000
P
所以， E(Y)＝3 400×＋9 200×＋15 000×＝8 620.
综上，欲使水电站年总收益的均值达到最大，应安装发电机2台．。