上海市静安区2016届高考数学一模试卷(理科) 含解析

2016年上海市静安区高考数学一模试卷(理科）
一、填空题（本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．抛物线y=ax2的准线方程为，则实数a的值为．
2．在等差数列{a n}(n∈N＊）中,已知公差d=2，a2007=2007，则a2016= ．
3．设x=cosα,且，则arcsinx的取值范围是．
4．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是cm3．
5．方程的解
为．
6．直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是．
7．已知复数z满足z+｜z｜=2+8i,其中i为虚数单位，则｜z｜= ．
8．（x+y+z)8的展开式中项x3yz4的系数等
于．（用数值作答）
9．在产品检验时,常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有
种．（用数值作答）
10．经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．
11．在平面直角坐标系xOy中，坐标原点O(0，0)、点P（1，2）,将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的横坐标是．
12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积S=a2﹣b2﹣c2+2bc，则
sinA= ．（用数值作答)
13．已知各项皆为正数的等比数列{a n｝(n∈N*），满足a 7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得，则的最小值为．
14．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线
l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2,3）对称,则直线l的方程是．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分,否则一律得零分。

15．组合数恒等于（)
A． B．
C．D．
16．函数的反函数是（)
A． B．
C．D．
17．已知数列｛a n}的通项公式为
，则=（）
A．﹣2 B．0 C．2 D．不存在
18．下列四个命题中，真命题是（）
A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线
D．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．求：
（1）异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（2）点A到平面A1EC的距离．
20．李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”．某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20％．每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营．如此每月循环继续．
(1）问到2015年年底(按照12个月计算），该创客有余款多少元?（结果保留至整数元）
（2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年（12个月)能否还清银行贷款？
21．设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O．
(1）若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证：k1k2=；
（2）若双曲线的焦点分别为、，点P1的坐标为（2，1），直线OM的斜率为,求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积．
22．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且｛x n｝是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．(1）若，求点A的坐标；
(2）若点A的坐标为(0，8），求θn的最大值及相应n 的值．
23．已知定义在实数集R上的偶函数f(x）和奇函数g （x）满足f(x）+g(x)=2x+1．
（1)求f（x)与g（x)的解析式;
（2）若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ（x），当﹣1≤x≤1时，φ(x)=f（x），试求φ（x）在闭区间［2015，2016]上的表达式,并证明φ（x）在闭区间[2015,2016］上单调递减；
（3）设h（x）=x2+2mx+m2﹣m+1（其中m为常数)，若h（g（x）)≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2］恒成立,求m 的取值范围．
2016年上海市静安区高考数学一模试卷(理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．抛物线y=ax2的准线方程为,则实数a的值为
1 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：x2=y，得到焦点坐标为F（0，),准线方程：y=﹣,再结合题意准线方程为，比较系数可得a=1．
【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y,∴2p=，可得=，焦点坐标为F(0,），准线方程：y=﹣
再根据题意,准线方程为，
∴﹣=﹣,可得a=1
故答案为：1
【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程，在已知准线的情况下求参数的值,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题．
2．在等差数列｛a n｝（n∈N＊）中，已知公差
d=2,a2007=2007，则a2016= 2025 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；等差数列与等比数列．
【分析】直接利用等差数列的性质写出结果即可．【解答】解：在等差数列{a n}（n∈N*)中,已知公差d=2，a2007=2007，
则a2016=a2007+(2016﹣2007)d=2007+9×2=2025．
故答案为:2025．
【点评】本题考查等差数列的简单性质的应用，是基础题．
3．设x=cosα，且，则arcsinx的取值范围是．
【考点】反三角函数的运用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由x=cosα，，可得﹣≤cosα≤1,即﹣≤x≤1．利用反正弦函数的定义可得﹣
≤arcsinx≤，即可得出结论．
【解答】解：∵x=cosα,，
∴﹣≤cosα≤1，即﹣≤x≤1．
由反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤,即arcsinx的取值范围为［﹣，]．
故答案为：［﹣，］．
【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域,反正弦函数的定义，属于基础题．
4．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是12288πcm3．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r,结合已知可得圆锥的表面积S=πr（r+）=4π×242，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】解:∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径，
∴圆锥的高h=48cm，
设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为：cm,故圆锥的表面积S=πr(r+）=4π×242cm2,
解得:r=16cm，
故圆锥的体积V==12288πcm3，
故答案为:12288π
【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．
5．方程的解为
x=3 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题;函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用换底公式变形,转化为一元二次方程，求解后验根得答案．
【解答】解：由方程，得=3,
即，
∴，
∴2lg(x﹣1）=lg（x2+x﹣8)．
∴(x﹣1）2=x2+x﹣8
解得：x=3．
验证当x=3时，原方程有意义，
∴原方程的解为x=3．
故答案为：x=3．
【点评】本题考查对数的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是注意验根,是基础题．
6．直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是x﹣7y+22=0 ．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】方程思想;转化思想；直线与圆．
【分析】联立，可得交点M(6,4）．取直线x﹣y﹣2=0上的一点P（2，0),设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′（a，b）,利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解:联立,解得x=6,y=4．可得交点
M(6,4）．
取直线x﹣y﹣2=0上的一点P（2，0)，设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′（a，b），
则，解得P′，
经过点M，P′的直线方程为：y﹣4=（x﹣6)，化
为：x﹣7y+22=0．
则经过点M，P′的直线即为所求．
故答案为:x﹣7y+21=0．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．已知复数z满足z+｜z|=2+8i，其中i为虚数单位，则|z|= 17 ．
【考点】复数求模．
【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】设出z=a+bi（a，b∈R)，代入z+｜z|,然后列出方程组，求解即可得a,b的值，再由复数求模公式即可得答案．
【解答】解：设z=a+bi(a，b∈R），
则z+｜z|=a+bi+=2+8i，
∴,
解得:．
则｜z｜=．
故答案为：17．
【点评】本题考查了复数求模，考查了复数相等的基本条件，是基础题．
8．（x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于280 ．（用数值作答）
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识，求得展开式中x3yz4的系数．
【解答】解：(x+y+z）8的展开式表示8个因式（x+y+z）的积，
故展开式中项x3yz4，即这8个因式中任意选出3个取x，从剩下的5个中任意选4个取z，最后的一个取y，即可得到含项x3yz4的项，
故x3yz4的系数为等于••=280，
故答案为:280．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式，二项式系数的性质,属于基础题
9．在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检
查，恰好有2件是不合格品的抽法有13968 种．(用数值作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题；整体思想；定义法；排列组合．【分析】由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有两件次品，则包括两件次品和两件正品．【解答】解：从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有，则包括两件次品和两件正品，
共有C32C972=13968种结果．
故答案为：13968．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是看清题目抽取的产品与顺序无关，是一个组合问题,教材中出现过类似的问题．
10．经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是5x2+5y2+6x﹣18y ﹣1=0 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想;直线与圆．
【分析】题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径,求解即可．
【解答】解:∵圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的方程可化为（x+1）2+（y﹣2）2=4．
∴圆心坐标为(﹣1，2）,半径为r=2；
∴圆心到直线2x﹣y+3=0的距离为d=．
设直线2x﹣y+3=0和圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的交点为A,B．则｜AB｜=2=2=．
∴过点A，B的最小圆半径为．
联立得5x2+6x﹣2=0，
故,则圆心的横坐标为:,纵坐标为
2×(﹣)+3=，
∴最小圆的圆心为（,），
∴最小圆的方程为(x+）2+（y﹣)2=．
即5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0．
故答案为：5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的面积最小就是圆的半径最小，求出圆心坐标，求出半径即可求出圆的方程，是这一类问题的基本方法．
11．在平面直角坐标系xOy中，坐标原点O（0，0）、点P（1，2）,将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的横坐标是﹣﹣．
【考点】向量的几何表示．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】由P（1，2）可求，结合∠POQ=,OP=OQ=,可知Q在第三象限，设出OQ=（x，y），则
cos=，结合x2+y2=5，可求x的值．
【解答】解：∵P(1，2）
∴OP=，=（1，2)
∵OP绕原点按逆时针方向旋转得OQ，
∴∠POQ=，OP=OQ=，且Q在第三象限，
设=（x，y），则cos===﹣①，
结合x2+y2=5②，
由①②得：x=﹣﹣2，
故答案为:﹣﹣2．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是向量的数量积的坐标表示的简单应用．
12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积S=a2﹣b2﹣c2+2bc,则sinA=
．（用数值作答）
【考点】余弦定理．
【专题】计算题;转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由已知利用余弦定理，三角形面积公式可解得cosA=1﹣sinA，两边平方结合sinA≠0,即可解得sinA 的值．
【解答】解：∵由余弦定理可得：b2+c2﹣a2=2bccosA，S=a2﹣b2﹣c2+2bc，
∴bcsinA=2bc﹣2bccosA，
∴cosA=1﹣sinA,两边平方，整理可得：=sinA,∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴解得：sinA=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式,同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13．已知各项皆为正数的等比数列｛a n}(n∈N*），满足a 7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得，则的最小值为．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;等比数列的通项公式．
【专题】方程思想;转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式可得m+n=6,再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n｝的公比为q＞0（n∈N＊)，∵a 7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，
化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．
∵存在两项a m、a n使得，
∴=4a 1，
∴2m+n﹣2=24，
∴m+n=6．
则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴的最小值为．
故答案为:．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称,则直线l的方程是6x﹣8y+1=0 ．【考点】直线的一般式方程．
【专题】数形结合;方程思想；转化思想;直线与圆．【分析】利用直线的平移变换、直线的对称性即可得出．
【解答】解:设直线l的方程为：y=kx+b，将直线l沿x 轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1：y=k（x﹣3）+5+b，化为y=kx+b+5﹣3k，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y=k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2,化为y=kx+3﹣4k+b．
又与直线l重合．
∴b=3﹣4k+b,解得k=．
∴直线l的方程为：y=x+b，直线l1为：y=x++b，设直线l上的一点P（m,b+），则点P关于点（2，3)的对称点P′（4﹣m，6﹣b﹣m)，
∴6﹣b﹣m=（4﹣m）+b+，解得b=．
∴直线l的方程是y=x+,化为：6x﹣8y+1=0．
故答案为:6x﹣8y+1=0．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的平移变换、直线的对称性，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分。

15．组合数恒等于（）
A． B．
C．D．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题；方程思想；排列组合．
【分析】直接利用组合数化简求解即可．
【解答】解：==．
故选:D．
【点评】本题考查组合数公式的应用，基本知识的考查．
16．函数的反函数是（)
A． B．
C．D．
【考点】反函数．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】化简可得x2=log 3y+1，从而可得x=﹣，（＜y≤1)；从而得到反函数．
【解答】解：∵,
∴x2﹣1=log3y，
∴x2=log3y+1，
∴x=﹣，（＜y≤1）；
故函数的反函数是
,
故选B．
【点评】本题考查了反函数的应用，注意由
的值域确定反函数的定义域．17．已知数列｛a n｝的通项公式为
，则=（）
A．﹣2 B．0 C．2 D．不存在
【考点】数列的极限．
【专题】计算题;规律型；函数思想；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．
【解答】解：数列｛a n｝的通项公式为
，
则
===
===﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用,考查计算能力．
18．下列四个命题中，真命题是（）
A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线
D．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；规律型；数形结合；简易逻辑．【分析】利用异面直线的定义与性质判断选项即可．【解答】解:和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线，显然不正确，可能两条直线相交于异面直线时的一点．
和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线，不满足公垂线的定义,不正确;
和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线，正确．
若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线也可能是平行线，所以D不正确．
故选:C．
【点评】本题考查异面直线的定义与性质的应用,是基础题．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．求:
(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（2)点A到平面A1EC的距离．
【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．
【专题】数形结合；转化思想;等体积法;定义法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）延长DC至G,使CG=DC，连结BG、D1G，得出四边形EBGC是平行四边形,找出∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角，求出它的余弦值；
(2）过A1作A1H⊥CE，交CE的延长线于H．连结AH,求出AH的值，再利用等积法求出点A到平面A1EC的距离．
【解答】解：（1）如图①所示；
延长DC至G，使CG=DC，连结BG、D1G，
CG∥EB，且CG=EB,∴四边形EBGC是平行四边形；∴BG∥EC，
∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角;
又△D 1BG中，D1B=,
；
即异面直线BD1与CE所成角的余弦值是；
（2）如图②所示；
过A1作A1H⊥CE，交CE的延长线于H．连结AH，在底面ABCD中，∵∠AHE=∠CBE=90°，
∠AEH=∠CEB，
则△AHE∽△CBE，
∴=，且CE=,AE=，
∴AH===;
在直角△A1AH中，A1A=1，AH=,∴A1H=；
设点A到平面A1EC的距离为d，由三棱锥体积公式可得:
，
即；
解得，
即点A到平面A1EC的距离为．
【点评】本题考查了空间中的点、线、面的位置关系以及空间想象能力与计算能力，解题时找角是关键，是综合性题目．
20．李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”．某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入
资金的20％．每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营．如此每月循环继续．
(1）问到2015年年底(按照12个月计算）,该创客有余款多少元？（结果保留至整数元）
（2）如果银行贷款的年利率为5％,问该创客一年（12个月）能否还清银行贷款？
【考点】数列与函数的综合．
【专题】计算题；函数思想;方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）法1:设n个月的余款为a n，求出a1，a2，两边求出a12．
法2：通过a1，得到a n与a n﹣1的关系式，构造{a n+c}是等比数列，然后求解a12≈．
（2）利用数值比较大小，判断能还清银行贷款．
【解答】解：法1:(1）设n个月的余款为a n，则
a1=100000×1。

2×0.9﹣3000=105000，
，
…
，
=（元），
法2：a1=100000×1.2×0.9﹣3000=105000，
一般的,a n=a n﹣1•1。

2•0。

9﹣3000，
构造a n+c=1.2×0.9（a n﹣1+c），c=﹣
37500
，a 12≈194890．
（2)194890﹣100000×1.05=89890（元），
能还清银行贷款．
【点评】本题考查函数的综合应用，数列以及等比数列类比推理的应用，也可以用a k+1﹣a k=1.2×0。

9（a k﹣a k ）通过等比数列求和解决．考查分析问题解决问题的﹣1
能力．
21．设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O．
（1）若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证：k1k2=；
（2）若双曲线的焦点分别为、,点P1的坐标为（2，1），直线OM的斜率为，求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想;综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1)法1：设不经过点O的直线P1P2方程为
y=k1x+l，代入双曲线，消去y，设P1坐标为(x1，y1），P2坐标为（x2，y2)，中点坐标为M （x，y),通过韦达定理，推出，即可证明k 1k2=．法2：设P1（x1，y1）、P2（x2，y2)，中点M （x，y），
利用且
利用平方差法通过直线P1P2和直线OM的斜率都存在，化简求解即可证明k1k2=．
(2）通过，求得双曲线方程，求出直线P1 P2方
程为，然后求解面积．
另解：线段P1 P2中点M在直线上．所以由中点M （（x，y），可得点P2的坐标为P2(2x﹣2，3x﹣1)，代入双曲线方程可求出以．然后求解面积．
【解答】解：(1）证明：法1:设不经过点O的直线P1P2方程为y=k1x+l，代入双曲线方程得：
．
设P1坐标为（x1，y1）,P2坐标为（x2，y2），中点坐标为M (x，y）,则，，
，所以,，k 1k2=．法2：设P1（x1，y1）、P2（x2，y2),中点M （x,y)，则
且
（1）﹣（2)得:．因为，直线P1P2和直线OM的斜率都存在，所以（x1+x2）（x1﹣x2）≠0，
等式两边同除以（x1+x2）（x1﹣x2），得：
即k1k2=．
(2）由已知得,求得双曲线方程为,
直线P1 P2斜率为，
直线P1 P2方程为，
代入双曲线方程可解得(中点M坐标为．
面积．
另解:线段P1 P2中点M在直线上．所以由中点M（(x，y),可得点P2的坐标为P2（2x﹣2,3x﹣1），代入双曲线方程可得,即7x2﹣2x=0，解得（），所以．面积．【点评】本题考查直线与双曲线方程的综合应用，直线的斜率的求法，设而不求方法的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．
22．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且｛x n｝是首项为1、公比为2的等比数列,记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．
（1)若，求点A的坐标;
（2)若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．
【考点】数列与函数的综合;基本不等式；两角和与差的正切函数．
【专题】压轴题；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用｛x n｝是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标;
（2）表示出tanθn=tan(∠OAP n+1﹣∠OAP n）,利用基本不等式，结合正切函数的单调性,即可求得结论．
【解答】解：（1)设A（0，t）（t＞0），根据题意，x n=2n﹣1．
由,知,
而tanθ3=tan(∠OAP4﹣∠OAP3）==，
所以，解得t=4或t=8．
故点A的坐标为(0,4）或（0，8）．
(2)由题意，点P n的坐标为（2n﹣1，0)，tan∠OAP n=．∴tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n)==．因为≥，所以tanθn≤=,
当且仅当，即n=4时等号成立．
∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，
∴当n=4时，θn最大，其最大值为．
【点评】本题考查等比数列,考查差角的正切函数,考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．
23．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）和奇函数g(x）满足f(x）+g(x）=2x+1．
(1）求f(x）与g（x）的解析式;
（2）若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ（x)，当﹣1≤x≤1时，φ(x）=f（x），试求φ（x）在闭区间［2015，2016]上的表达式，并证明φ（x）在闭区间［2015，2016]上单调递减；
(3）设h（x)=x2+2mx+m2﹣m+1（其中m为常数)，若h （g(x））≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2］恒成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的奇偶性可得f(﹣x)+g（﹣x)=2﹣x+1，通过联立求解可得出函数的解析式；
（2）φ(x)是R上以2为正周期的周期函数，可得2016也为函数的周期,x﹣2016∈[﹣1，0]，可得
，利用定义法判断函数的单调性即可;
（3)利用换元法t=g（x）在x∈[1，2]单调递增，得出t 的范围，不等式可整理为对于恒成立，只需求出右式的最大值即可．
【解答】解：(1）f（x）+g(x）=2x+1①，
因为f（x)是偶函数，g（x）是奇函数
所以有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，即f（x）﹣g（x）=2﹣x+1②
∵f（x），g（x）定义在实数集R上，
由①和②解得，，
．
(2）φ（x）是R上以2为正周期的周期函数，所以当x∈［2015，2016］时，x﹣2016∈［﹣1，0］，
，即φ（x）在闭区间[2015,2016］上的表达式为．
下面证明φ（x）在闭区间［2015，2016］上递减:,当且仅当2x﹣2016=1，即x=2016时等号成立．
对于任意2015≤x1＜x2≤2016，
，
因为2015≤x 1＜x2≤2016，所以，
，，，，从而φ（x1）﹣φ（x2)＞0，
所以当2015≤x1＜x2≤2016时，φ（x)递减．
（3)∵t=g（x）在x∈[1，2]单调递增，∴．
∴h（t）=t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1对于恒成立，
∴对于恒成立，
令，则，当且仅当时，等号成立,且所以在区间上单调递减，∴，
∴为m的取值范围．
【点评】本题综合性强,考查了函数的奇偶性,周期性,单调性和恒成立问题的转化，换元法的应用．属于难度较大的题型．。