高中物理万有引力定律的应用的基本方法技巧及练习题及练习题(含答案)

高中物理万有引力定律的应用的基本方法技巧及练习题及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s 绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M 、N 的连线垂直，M 、N 间的距离L =20m ，地磁场的磁感应强度垂直于v ，MN 所在平面的分量B =1.0×10﹣5 T ，将太阳帆板视为导体．
（1）求M 、N 间感应电动势的大小E ；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V 、0.3W”的小灯泡与M 、N 相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R =6.4×103 km ，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s 2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h （计算结果保留一位有效数字）． 【答案】（1）1.54V （2）不能（3）5410m ⨯ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）法拉第电磁感应定律
E=BLv
代入数据得
E =1.54V
（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流． （3）在地球表面有
2Mm
G
mg R
= 匀速圆周运动
2
2
()Mm v G m R h R h
=++ 解得
2
2gR h R v
=-
代入数据得
h ≈4×105m
【方法技巧】
本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不
大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面．
2．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的
Q 点．到达远地点Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为G ，地球质量为
M ，地球半径为R ，飞船质量为m ，同步轨道距地面高度为h ．当卫星距离地心的距离
为r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为p GMm
E r
=-（取无穷远处的引力势能为
零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：
（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？
（2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过P 点时的速率为1v ，则经过Q 点时的速率2v 多大？ （3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度
3v （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引
力势能） 【答案】（1）2GMm R （22122GM GM v R h R +-+32GM
R
【解析】 【分析】
（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解； （2）根据能量守恒进行求解即可；
（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能； 【详解】
（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动
即：2
2mM v G m R R
=
则飞船的动能为2122k GMm E mv R
=
=； （2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：
221211()22GMm GMm
mv mv R h R
-=--+ 若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为1v ，则经过Q 点时速率为：
22122GM GM
v v R h R
=+
-
+； （3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能 即：2312
Mm G
mv R = 则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：32GM
v R
=． 【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解．
3．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换．
（1）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转的角速度为ω，地球半径为R ． （2）当电梯仓停在距地面高度h 2=4R 的站点时，求仓内质量m 2=50kg 的人对水平地板的压力大小．取地面附近的重力加速度g=10m/s 2，地球自转的角速度ω=7.3×10-5rad/s ，地球半径R=6.4×103km ．
【答案】（1）22111
()2
m R h ω+；（2）11.5N 【解析】
试题分析：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，根据轨道半径求出轨道站的线速度，从而得出轨道站内货物相对地心运动的动能．（2）根据向心加速度的大小，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出人对水平地板的压力大小． 解：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等， 则轨道站的线速度v=（R+h 1）ω， 货物相对地心的动能．
（2）根据
，
因为a=，，
联立解得N=
=
≈11．5N ．
根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为11．5N ．
4．已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ．卫星B 沿半径为r （r <h ）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
（1）卫星B 做圆周运动的周期；
（2）卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．
【答案】（1）3/2()r T h （2）3/23/23/2
π()r h r -(arcsin R h
+arcsin R
r )T 【解析】
试题分析：（1）设卫星B 绕地心转动的周期为T′，地球质量为M ，卫星A 、B 的质量分别为m 、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：
2Mm G h ＝mh 2
24T π① 2Mm G r '＝m′r 2
24T π'
② 联立①②两式解得：T′＝3/2
()
r
T h
③
（2）设卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t ，在时间间隔t 内，卫星A 和B 绕地心转过的角度分别为α和β，则：α＝
t T ×2π，β＝t
T '
×2π ④
若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．
由图中几何关系得：∠BOB′＝2（arcsin
R h
＋arcsin R
r ） ⑤
由③式知，当r ＜h 时，卫星B 比卫星A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有：β－α＝∠BOB′ ⑥
由③④⑤⑥式联立解得：t ＝3/23/23/2
()r h r π-（arcsin R h
＋arcsin R r ）T 考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题．
5．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若A 星体的质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：
（1）A 星体所受合力的大小F A ； （2）B 星体所受合力的大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ； （4）三星体做圆周运动的周期T ．
【答案】（1）2223Gm a （227Gm （37 （4）3
πa T Gm
= 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为
2
4222A B R CA m m m F G G F r a
===,
则合力大小为
2
2
A
m
F
a
=
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
2
22
2
22
2
A B
AB
C B
CB
m m m
F G G
r a
m m m
F G G
r a
==
==
则合力大小为
2
2
cos602
Bx AB CB
m
F F F G
a
=︒+=
2
2
sin60
By AB
m
F F
a
=︒=．
可得
2
2
B
m
F
a
==
（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，
4
C
R a
==
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
2
2
2
2
C B C
m
F F m R
a T
π
⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
可得
T=
6．对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r的圆周，周期为T，已知万有引力常量为G．求：
（1）该行星的质量．
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？【答案】（1）
23
2
4r
M
GT
π
=（2）
2
2
400r
g
T
π
=
【解析】
（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．则有：
2
22
4
Mm
G m r
r T
π
=，可得
23
2
4r
M
GT
π
=
（2）由
21()
10
Mm
G
mg r =，则得：222400100GM r g r T π==
7．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：
（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v ；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T ． 【答案】(1)02tan v t α；(2)03tan 2v GRt απ；02tana
v R t ；(4)0
2tan Rt v α【解析】 【分析】 【详解】
(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：
2
00
12tan α2gt y gt x v t v ===
解得该星球表面的重力加速度：
02tan α
v g t
=
(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：
2
GMm
mg R = 则该星球的质量：
G
gR M 2
= 该星球的密度：
33tan α34423
v M g
GR GRt R ρπππ=
=
=
(3)根据万有引力提供向心力得：
22Mm v G m R R
=
该星球的第一宙速度为：
02tana v R GM
v gR R t
=
==
(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:
2R
T v
π=
所以：
0022tan αtan t Rt
T R
v R v ππα
==
点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．
8．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。

已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G ．将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F 0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F 1；
（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F 2；
（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。

如果把小物体放在北纬40°的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。

【答案】（1）02Mm F G R = ()120.1GMm F R R =+ （2）222
24Mm R
F G m R T
π=- （3）
【解析】 【详解】
（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：
02
GmM
F R =
在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：12
(0.1)GmM
F R R =
+；
（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：
2222
4GmM Rm
F R T
π=- （3）如图所示
9．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，求： （1）地球的第一宇宙速度v ； （2）飞船离地面的高度h ． 【答案】（1）v gR =（2）22
3
2
4gR T h R π
= 【解析】 【详解】
（1）根据2
v mg m R
=得地球的第一宇宙速度为：
v gR =
（2）根据万有引力提供向心力有：
()2
224()Mm G m R h R h T
π=++， 又2
GM gR =，
解得：22
3
2
4gR T h R π
=
．
10．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r ，运行周期为 T ，引力常量为 G ，求两颗星的质量之和．
【答案】23
2
4r GT
π
【解析】 【详解】
对双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r =r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT
π+=。