人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (86)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等
的判定考试复习题九（含答案)
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学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．
∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
(1)当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，
则Rt△ABC≌Rt△DEF（依据：________）
(2)当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是________；
A．全等B．不全等C．不一定全等
(3)第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，
BC=EF，∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】（1）HL；（2）C；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)通过HL即可证明.
(2)以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；所以不一定全等.
(3)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△CBG≌△FEH，得出CG=FH，再证明
Rt△ACG≌Rt△DFH，得出∠A=∠D，再由AAS即可证出△ABC≌△DEF．【详解】
解：（1）△ABC≌△DEF（依据：HL）
（2）选择C
理由：以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则
DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；所以不一定全等.
（3）证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，
过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ，
∵∠CBA=∠FED ，
∴180°﹣∠CBA=180°﹣∠FED ，
即∠CBG=∠FEH ，
在△CBG 和△FEH 中，
90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），
∴CG=FH ，
在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DF CG FH =⎧⎨=⎩
， Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），
∴∠A=∠D ，
在△ABC 和△DEF 中，A D CBA FED AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
52．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB//DE，AB=DE，BC=EF．求证：AC=DF．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
利用三角形全等即可证明.
【详解】
证明：∵AB DE
∴B E
∠=∠
∵AB DE
=,
=
BC EF
∴△ABC≌△DEF
=
∴AC DF
【点睛】
掌握证明三角形全等的条件是解答本题的关键.
53．如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.求证：DE=EC．（用三种方法证明）
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
本题是一道较为基础的题型，考查的是学生对于三角形全等证明的熟练程度，对于本题而言，根据题意给出证明即可解答.
【详解】
解：方法一：连接BE
∵在三角形ABC中，∠C=90°, ∠A=30°，
∴∠ABC=60°,
∵DE垂直平分AB,
∴BE=AE,
∴∠DBE=∠A=30°,
∴∠DBE=∠CBE,
∴BE平分∠DBC,
又∵ED⊥AB,CE⊥BC
∴DE=EC
方法二：连接CD,
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,
∵△ABC是直角三角形，∠B=60°
∴△BCD是等边三角形
∴∠BDC=∠BCD=60°
∵∠CDE=90°-60°
∠ECD=90°-60°
∴∠CDE=∠ECD
∴DE=CE
方法三：构造等边三角形ABM
如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D,E
延长BC、DE相交于点M，连接AM.
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠B=60°
又∵DE 垂直平分AB,
∴AM=BM ，△ABM 是等边三角形，
∴AD=CM
在△ADE 和△MCE 中
AED MEC ADE MCE AD MC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ADE ≌△MCE （AAS ）
∴DE=CE.
【点睛】
由本题题干及题意可知,这是一道考查三角形全等的题,对于初中数学来说，牢牢掌握基础定义是解题的关键手段.
54．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，8)，B (4，8)，C 是x 轴正半
轴上一点，点P 满足下面两个条件：
①P 到①AOC 两边的距离相等；①PA ＝ PB ． (1)利用尺规，作出点P 的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)点P 的坐标为 ．
【答案】(1)见解析；(2)P (2，2)．
【分析】
（1）根据尺规作图法进行画图；（2）由角平分线和垂直平分线的定义作答.
【详解】
（1）
(2)由题可知，C 的坐标为（4，0），由角平分线与垂直平分线定义知，∠POC=450，所以P 的坐标为（2，2）.，
【点睛】
本题考查了尺规作图的步骤、角平分线与垂直平分线的定义，熟练掌握尺规作图、角平分线与垂直平分线的定义是本题解题关键.
55．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB DC =，E F ∠=∠，EC ①FB ．求证：EA FD =．
【答案】证明见解析.
【分析】
根据平行线的性质可得到∠1=∠2，根据等式的性由已知AB=CD 可得AC=BD ，从而可利用AAS 来判定△AEC ≌△DFB ，再根据全等三角形的对应边相等即可得到EA=FD ．
【详解】
∵AB DC =(已知)，
∵AC DB =(等量加等量，和相等)．
∵EC ∵FB (已知)，
∵12∠=∠(两直线平行，内错角相等)．
在AEC 和DFB 中，
,12,,E F AC DB （已知）（已证）
（已证）∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∵AEC ∵DFB (AAS )．
∵EA FD =( 全等三角形的对应边相等)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
56．如图，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，AE ∥DC ，AE 与BC 的延长
线相交于点E，∠ACE=80°，求∠CAE的度数．
【答案】50°
【解析】
【分析】
根据邻补角的定义求得∠ACB=100°；然后利用角平分线的定义求得∠DCA=50°；最后由平行线的性质和等量代换求得∠CAE的度数．【详解】
∵∠ACE=80°（已知），
∴∠ACB=100°（邻补角的定义），
又∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA=100°×1
2
=50°，
∵AE∥DC（已知），
∴∠CAE=∠DCA=50°（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用邻补角的定义求得∠ACB=100°是解题的关键．
57．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
(1)如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1；
②求证：∠EAC=①EDC；
(2)如图2，点C在直线AB的上方，0°＜①CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，CA＝CB，根据等边三角形的性质可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可证得∠EDC ＝∠B；（2）如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得
∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，进而可推出△CEF是等边三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.
【详解】
(1)①补全图形如图所示．
②∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAC=∠B．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠B．
∴∠EAC=∠EDC．
(2)BE=CE+DE．
如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．
∴∠EAC=∠EBC．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=60°．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠EBC．
∴∠EDC=∠EAC．
∵∠1=∠2，
∴∠DEA=∠ACD=60°．
∴∠AEB=120°．
∵EA=EB，m⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=60°．
∴△CEF是等边三角形．
∴∠CEF=∠CFE=60°．
∴△CDF≌△CBE．
∴DF=BE．
∴BE=CE+DE．
【点睛】
本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.
58．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，①BDC=90°，①DBC=45°．
(1)求证：∠BAD=①CAD；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)∵ADB =135°．
【解析】
【分析】
（1）根据∠BDC=90°，∠DBC=45°可推出DBDC ，进而可证
△ABD ≌△ACD ，即可证得∠BAD ＝∠CAD ；（2）根据△ABD ≌△ACD ，可得∠ADB ＝∠ADC ，又根据∠BDC ＝90°，∠ADB ＋∠ADC ＋∠BDC ＝360°，即可求出∠ADB 的大小.
【详解】
(1)∵∠BDC =90°，∠DBC =45°，
∴∠DCB=∠DBC =45°．
∴DB =DC ．
在△ABD 和△ACD 中
AB AC AD AD BD CD ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝ ，, ∴△ABD ≌△ACD ．
∴∠BAD =∠CAD ．
(2)∵△ABD ≌△ACD ，
∴∠ADB =∠ADC ．
∵∠BDC =90°，
∴∠ADB =135°．
【点睛】
本题主要考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关键是要证出△ADB ≌△ACD.
59．已知：如图，D 是BC 上的一点，AB=BD ， DE ①AB ，①A=①DBE ．求证： AC=BE ．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可.
【详解】
∵DE ∵AB ，
∵∵ABC=∵EDB ．
在△ABC 和△BDE 中
A=DBE AB=BD
ABC=EDB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
∵∵ABC ∵∵BDE ．
∵AC=BE ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键
.
60．（发现）(1)如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，对于以下结论：
①AD是△ABC的中线；①S△ABD：S△ACD＝AB：AC；①AB：AC＝BD：DC,
其中正确的是(只填序号)
（探究）(2)请你选择(1)中正确的一个选项，简述理由
（应用）(3)如图2，①ABC的三个内角的角平分线相交于点O，且AB＝40，BC＝48，AC＝32，则S ABO：S△BCO：S△ACO＝：：（拓展）(4)在(1)中的条件下，过点D作DE①AB于点E，DF①AB于点F，连接EF，求证：AD垂直平分EF．
【答案】(1)②∵；(2)见解析；(3)5，6，4；(4)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质和三角形面积公式逐一判断可得；
（2）②由AD平分∠BAC知点D到AB、AC的距离相等，设为h，由S△ABD=
1 2AB•h，S△ACD=1
2
AC•h可判断结论②；③作AP⊥BC，由S△ABD=1
2
BD•AP，
S△ACD=1
2
CD•AP知S△ABD：S△ACD=BD：CD，结合S△ABD：S△ACD=AB：AC可得答案；
（3）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，根据角平分线的性
质知OE=OF=OG，根据S△ABO=1
2AB•OE，S△BCO=1
2
BC•OF，S△ACO=1
2
AC•OG
可得答案；
（4）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明△ADE和△ADF全等，根据全等三角形的可得AE=AF，再利用等腰三角形的证明即可．
【详解】
(1)正确的是∵∵，
故答案为：∵∵．
(2)∵∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC的距离相等，设为h，
则S△ABD＝1
2AB•h，S△ACD＝1
2
AC•h，
∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC；∵如图1，作AP∵BC于点P，
则S△ABD＝1
2BD•AP，S△ACD＝1
2
CD•AP，
∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，
又∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
∵AB：AC＝BD：CD．
(3)如图2，过点O作OE∵AB于E，OF∵BC于F，OG∵AC于G，
∵AO，BO，CO分别平分∠BAC，∵ABC，∵ACB，∵OE＝OF＝OG，
∵S△ABO＝1
2AB•OE，S△BCO＝1
2
BC•OF，S△ACO＝1
2
AC•OG，
∵S ABO：S△BCO：S△ACO＝AB：BC：AC＝40：48：32＝5：6：4，故答案为：5：6：4；
(4)如图3，
∵AD平分∠BAC，DE∵AB，DF∵AC，
∵DE＝DF，
在△ADE和△ADF中，
∵
AD AD DE DF
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∵∵ADE∵∵ADF(HL)，∵AE＝AF，
又∵AD平分∠BAC，∵AD垂直平分EF．【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质等知识点．。