高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十二)简单的三角恒等变换理(重点高中)

课时跟踪检测（二十二） 简单的三角恒等变换
(二)重点高中适用作业
A 级——保分题目巧做快做
1.若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝( )
A. 3 B ．－ 3 C.33
D ．－
33
解析：选A
sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ
2cos 2
θ
＝tan θ＝ 3. 2．化简：cos 40°
cos 25°1－sin 40°＝( )
A ．1 B. 3 C. 2
D ．2
解析：选C 原式＝
cos 2
20°－sin 2
20°
cos 25°cos 20°－sin 20°＝
cos 20°＋sin 20°
cos 25°
＝
2cos 25°
cos 25°
＝ 2，故选C.
3．函数f (x )＝2sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x －3cos 2x 的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．2＋ 3
D ．2－ 3
解析：选B f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.
4．已知sin 2α＝2425，0<α<π2，则 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )
A.1
5 B ．－15
C ．±15
D.75
解析：选D 因为sin 2α＝2425，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝4925.因为0<α<π2
，所以sin α＋cos α＝75
.
所以 2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝2×22(cos α＋sin α)＝75. 5．在△ABC 中，若3(tanB ＋tan C )＝tanB·tan C －1，则sin 2A ＝( ) A ．－1
2
B.12 C ．－
32
D.32
解析：选D 由两角和的正切公式知tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C
1－tan B ·tan C
＝
tan B ＋tan C －3tan B ＋tan C
＝－
33，所以tan A ＝33，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6
，所以sin 2A ＝32
. 6．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1
3，则sin A ＝________.
解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，
∵sinB ＝13，∴sinB ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2
A ＝13
，∴sin
A ＝
3
3. 答案：
33
7.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的单调递增区间为________，最大值为________． 解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－2x ＋cos 2x
＝12cos 2x －3
2
sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
由2k π－π≤2x ＋π
6≤2k π，k ∈Z ，
得k π－7π12≤x ≤k π－π
12
，k ∈Z ，
故单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z)，最大值为 3.
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z)
3
8.定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.
解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝33
14.
又0<β<α<π2，∴0<α－β<π
2，
故cos(α－β)＝1－sin 2
α－β＝13
14
，
∵cos α＝1
7，
∴sin α＝43
7
，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
437×1314－17×33
14 ＝
32，故β＝π3
. 答案：π3
9.化简：(1)3tan 12°－3
sin 12°4cos 2
12°－2
；(2)cos 2
α1
tan
α
2
－tan
α
2
.
解：(1)原式＝
3sin 12°
cos 12°
－3
22cos 2
12°－1sin 12°
＝3sin 12°－3cos 12°
2sin 12°cos 12°cos 24°
＝
23
sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°
sin 24°cos 24°
＝
43sin 12°－60°
sin 48°
＝－4 3.
(2)法一：原式＝
cos 2
α
cos
α2
sin α2－sin α
2cos α2＝
cos 2
α
cos 2
α
2－sin 2
α
2sin α2cos
α2
＝cos 2
αsin α2cos
α
2
cos 2 α2－sin 2
α2＝cos 2
αsin α2cos
α
2
cos α
＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝1
4
sin 2α.
法二：原式＝cos 2
αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tan
α
2
1－tan 2 α2
＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝1
4
sin 2α. 10.已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，
cos α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2，0＜α＜π4，且a·b ＝73.
(1)求f (x )在区间⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2π3
，4π3上的最值；
(2)求2cos 2
α－sin [2α＋β]
cos α－sin α
的值．
解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋2，
∵x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π，
∴f (x )的最大值是4，最小值是2. (2)由题意知β＝2π，
∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝7
3，
∴sin α＝1
3
，
∴2cos 2
α－sin[2α＋β]cos α－sin α＝2cos 2
α－sin 2αcos α－sin α
＝2cos α＝21－sin 2
α＝
42
3
. B 级——拔高题目稳做准做
1.(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )＝sin 2
ωx ＋3sin ωx sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12 解析：选 A f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝sin 2
ωx ＋3sin ωx cos ωx
＝
32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12，
因为T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，2x
－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故所求值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32，故选A.
2.(2018·江西赣中南五校模拟)已知f (x )＝sin2 019x ＋
π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2 019x －π3的最大
值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )
A.π
2 019 B.2π
2 019 C.4π
2 019
D.π
4 038
解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x －π3＝sin 2 019x cos π6＋cos 2 019x sin π6＋cos 2 019x cos π3＋sin 2 019x sin π3＝32sin 2 019x ＋12cos 2 019x ＋1
2cos
2 019x ＋
32sin 2 019x ＝3sin 2 019x ＋cos 2 019x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6，∴f (x )的最大
值为A ＝2；
由题意，得|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π
2 019
，
∴A |x 1－x 2|的最小值为2π
2 019
.故选B.
3．计算 cos 10°－3cos －100°
1－sin 10°＝________(用数字作答)．
解
析
：
cos 10°－3cos －100°
1－sin 10°
＝
cos 10°＋3cos 80°
1－cos 80°
＝
cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin 10°＋30°
2sin 40°
＝ 2.
答案： 2
4．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为________．
解析：∵α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，tan β>0， ∴tan α＝tan(α＋β－β)＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋β·tan β＝8tan β
1＋9tan 2
β
＝8
1
tan β
＋9tan β≤
82×3＝43当且仅当1tan β＝9tan β时等号成立，∴tan α的最大值为43
. 答案：43
5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2－2x －2f 2
(x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－3
3.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－
32＋33＝－3
6
. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，
∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2
x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.
∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π
6
.
∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，
故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2
(x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．
6.(2018·湛江一模) 已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π
2
，且f (0)＝1.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)的值．
解：(1)∵函数f (x )＝A cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π2， ∴T 2＝πω＝π
2
，∴ω＝2， 又f (0)＝1，∴1
2A ＝1，∴A ＝2，
∴f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4， f ⎝
⎛⎭
⎪⎫α－π
3＝2cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝
⎛⎭
⎪⎫α－π
3－π
3
＝2cos(2α－π) ＝－2cos 2α＝－10
13
，
∴cos 2α＝513，sin 2α＝1－cos 2
2α＝1213，
则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝12
5
.
∵β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
β＋π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫β＋π6－π3
＝2cos 2β＝65
， ∴cos 2β＝35，sin 2β＝1－cos 2
2β＝45，
则tan 2β＝sin 2βcos 2β＝4
3
.
∴tan(2α－2β)＝tan 2α－tan 2β
1＋tan 2α·tan 2β＝
125－431＋125×
43
＝16
63.。