中考数学全真模拟测试题(附答案)

数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
满分：130分
测试时间：120分钟
一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1．(3分)若√x 3
=2,则x 的值为( ) A ．4
B ．8
C ．﹣4
D ．﹣5
2．(3分)方程x 2+5x ＝0的解为( ) A ．x ＝5
B ．x ＝﹣5
C ．x 1＝0,x 2＝5
D ．x 1＝0,x 2＝﹣5
3．(3分)若x ﹣3y ＝0且y ≠0,则2x−5y 2x+5y
的值为( )
A ．11
B ．−
111
C ．
1
11
D ．﹣11
4．(3分)若正比例函数y ＝kx 的图象经过点(3,﹣9),则k 的值为( ) A ．﹣3
B ．3
C ．−1
3
D ．1
3
5．(3分)在新冠肺炎防控期间,要了解某学校以下情况,其中适合用普查的有( ) ①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况; ②了解全体师生在寒假期间的离校情况; ③了解全体师生入校时的体温情况;
④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4
6．(3分)下列性质中,菱形具有而平行四边形不一定具有( ) A ．对角线互相平分 B ．两组对角相等
C ．对角线互相垂直
D ．两组对边平行
7．(3分)2020年是不寻常的一年,病毒无情人有情,很多最美逆行者奔赴疫情的前线,不顾自己的安危令我们感动．宣传委员小明在一个正方体的每个面上分别写上一个汉字,组成“共同抗击疫情”．如图是该正方体的一种展开图,那么在原正方体中,与汉字“抗”相对的面上的汉字是( )
A ．共
B ．同
C ．疫
D ．情
8．(3分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,若∠BCD＝36°,则∠ABD等于()
A．54°B．56°C．64°D．66°
9．(3分)如图是一张简易活动餐桌,现测得OA＝OB＝30cm,OC＝OD＝50cm,现要求桌面离地面的高度为40cm,那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为()
A．100°B．120°C．135°D．150°
10．(3分)已知整数a1、a2、a3、a4、……满足下列条件：a1＝0,a2＝﹣|a1+1|,a3＝﹣|a2+2|,a4＝﹣|a3+3|,……,a n+1＝﹣|a n+n|(n为正整数)依此类推,则a2020值为()
A．﹣1008 B．﹣1009 C．﹣1010 D．﹣1011
二．填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)
11．(2分)−15
6的倒数是．
12．(2分)地球上七大洲的总面积约为149 480 000km2,将149 480 000km2用四舍五入法精确到10 000 000km2,并用科学记数法表示为km2．
13．(2分)因式分解：﹣3x2+27＝．
14．(2分)已知一次函数y＝kx+b,当﹣3≤x≤1时,﹣1≤y≤8,则此函数与y轴的交点坐标是．15．(2分)如图,△ABC内接于⊙O,若⊙O的半径为2,∠A＝45°,则BC的长为．
16．(2分)在线段、角、长方形、圆这四个图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是．17．(2分)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,AB＝2,则图中阴影部分的面积为
18．(2分)如图,点A 的坐标为(3,0),△ABO 是等边三角形,点B 在第一象限,若反比例函数y =k x
的图象经过点B ,则k 的值是 ．
三．解答题(共10小题,满分84分)
19．(8分)(1)计算：|√3−1|﹣(12
)﹣
2﹣2sin60°;
(2)化简：2(x +y )2﹣(x +2y )(x ﹣2y )．
20．(8分)(1)解不等式组{4x ＜2x +2
32
x −1≤5−12
x
;
(2)解分式方程：
1
x−2
=1−x 2−x
−3．
21．(6分)如图①,将两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开,拼成正方形ABCD (1)正方形ABCD 的面积为 ,边长为 ,对角线BD ＝ ; (2)求证：AB 2+AD 2＝BD 2;
(3)如图②,将正方形ABCD 放在数轴上,使点B 与原点O 重合,边AB 落在x 轴的负半轴上,则点A 所表示的数为 ,若点E 所表示的数为整数,则点E 所表示的数为
．
22．(8分)已知：如图,∠BAC 的角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点D ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ．
(1)求证：BE ＝CF ;
(2)若AF＝6,△ABC的周长为20,求BC的长．
23．(8分)某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动,随机选取了该校八年级的50名学生进行测评,统计数据如下表：
80 85 90 95 100
测评成绩
(单位：分)
人数 5 10 10 20 5
(1)这50名学生的测评成绩的众数是分,中位数是分,极差是分;
(2)求这50名学生的测评成绩的平均数;
(3)若该校八年级共有学生300名,测评成绩在90分以上(包含90分)为优秀,试估计该校八年级优秀学生共
有多少名？
24．(8分)一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球,小球上分别标有数字﹣1,0,1小丽先从袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为x,不放回,再从袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为y,设点P的坐标为(x,y)．
(1)请用列表成画树状图的方法列出点P所有可能的坐标：
(2)求点P在一次函数y＝﹣x图象上的概率．
25．(8分)2021年寒假期间,某学校计划租用8辆客车送280名师生参加社会实践活动,现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如表,设租用甲种客车x辆,租车总费用为w元．
甲种客车乙种客车
载客量(人/辆) 30 40
租金(元/辆) 270 320
(1)求出w(元)与x(辆)之间函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？
26．(10分)如图,AB是⊙O的直径,且AB＝4,点C,D,E均在⊙O上(不与A,B重合),EA的延长线交DC的延长线于点F,过点A作⊙O的切线AG交DF于点G,连接AC,AD,DE,DB．
(1)求证：∠DAG＝∠FCA．
(2)填空：
①当DB＝,△ACG是等腰直角三角形;
②当DB＝,四边形ODCA是平行四边形．
27．(10分)根据下列条件,分别求抛物线对应的函数表达式．
(1)抛物线的顶点坐标为(1,4),且过点(0,3)．
(2)抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(﹣1,0)．
(3)当x ＞1时,y 随x 的增大而增大;当x ＜1时,y 随x 的增大而减小．函数的最小值为4,且抛物线经过点(3,6)． (4)如图,抛物线y ＝ax 2+bx (a ≠0)交x 轴正半轴于点A ,直线y ＝2x 经过抛物线的顶点M ,已知该抛物线的对称轴为直线x ＝2,交x 轴于点B ．
28．(10分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,D 是AB 的中点,过点C 作射线CM 交AB 于点P (点P 不与点D 重合),过点B 作BE ⊥CM 于点E ,连接DE ,过点D 作DF ⊥DE 交CM 于点F ． (1)求证：DE ＝DF ;
(2)如图2,若AE ＝AC ,连接AF 并延长到点G ,使FG ＝AF ,连接CG ,EG ,求证：四边形ACGE 为菱形; (3)在(2)的条件下,求
AP BP
的值．
参考答案
一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1．(3分)若√x 3
=2,则x 的值为( ) A ．4
B ．8
C ．﹣4
D ．﹣5
【分析】根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：∵√x 3
=2, ∴x ＝23＝8． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了立方根的定义,熟记定义是解答本题的关键．注意：任何实数都有且只有一个立方根．
2．(3分)方程x 2+5x ＝0的解为( ) A ．x ＝5
B ．x ＝﹣5
C ．x 1＝0,x 2＝5
D ．x 1＝0,x 2＝﹣5
【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【解答】解：∵x 2+5x ＝0, ∴x (x +5)＝0, ∴x ＝0或x ＝﹣5, 故选：D ．
【点评】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型． 3．(3分)若x ﹣3y ＝0且y ≠0,则2x−5y 2x+5y 的值为( )
A ．11
B ．−1
11
C ．
1
11
D ．﹣11
【分析】直接把已知代入进而化简得出答案． 【解答】解：∵x ﹣3y ＝0且y ≠0, ∴x ＝3y , ∴
2x−5y 2x+5y
=
6y−5y 6y+5y
=
1
11
．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了比例的性质,正确得出x ＝3y 是解题关键． 4．(3分)若正比例函数y ＝kx 的图象经过点(3,﹣9),则k 的值为( ) A ．﹣3
B ．3
C ．−13
D ．1
3
【分析】由正比例函数图象上一点的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,﹣9),
∴﹣9＝3k,
∴k＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
5．(3分)在新冠肺炎防控期间,要了解某学校以下情况,其中适合用普查的有()
①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况;
②了解全体师生在寒假期间的离校情况;
③了解全体师生入校时的体温情况;
④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况．
A．1个B．2个C．3个D．4
【分析】在要求精确、难度相对不大,实验无破坏性的情况下应选择普查方式,当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏,以及考查经费和时间都非常有限时,普查就受到限制,这时就应选择抽样调查．【解答】解：①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况适合普查;
②了解全体师生在寒假期间的离锡情况适合普查;
③了解全体师生入校时的体温情况适合普查;
④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况适合抽样调查．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查．
6．(3分)下列性质中,菱形具有而平行四边形不一定具有()
A．对角线互相平分B．两组对角相等
C．对角线互相垂直D．两组对边平行
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、菱形、平行四边形的对角线互相平分,故A选项不符合题意;
B、菱形、平行四边形的两组对角分别相等,故B选项不符合题意;
C、菱形的对角线互相垂直平分,平行四边形的对角线互相平分,故C选项符合题意;
D、菱形、平行四边形的两组对边分别平行,故D选项不符合题意;
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等; 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．
7．(3分)2020年是不寻常的一年,病毒无情人有情,很多最美逆行者奔赴疫情的前线,不顾自己的安危令我们感动．宣传委员小明在一个正方体的每个面上分别写上一个汉字,组成“共同抗击疫情”．如图是该正方体的一种展开图,那么在原正方体中,与汉字“抗”相对的面上的汉字是()
A．共B．同C．疫D．情
【分析】根据“相间、Z端是对面”可得到“抗”的对面为“情”．
【解答】解：根据正方体展开图的特征,“相间、Z端是对面”可得,
“抗”的对面是“情”,
故选：D．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠,掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
8．(3分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,若∠BCD＝36°,则∠ABD等于()
A．54°B．56°C．64°D．66°
【分析】根据AB是⊙O的直径,可得∠ADB＝90°,根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB＝∠BCD＝36°,进而可得∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB＝90°,
∵∠DAB＝∠BCD＝36°,
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB,
即∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣36°＝54°． 故选：A ．
【点评】本题考查了圆周角定理,解决本题的关键是掌握圆周角定理．在同圆或等圆中,圆周角是所对圆心角的一半．
9．(3分)如图是一张简易活动餐桌,现测得OA ＝OB ＝30cm ,OC ＝OD ＝50cm ,现要求桌面离地面的高度为40cm ,那么两条桌腿的张角∠COD 的大小应为( )
A ．100°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
【分析】连接CD ,过O 作NM ⊥CD ,交AB 于N ,交CD 于M ,推出MN ⊥AB ,推出△ABO ∽△DCO ,得出比例式,求出OM ,根据含30度角的直角三角形性质求出∠C ＝∠D ＝30°,求出∠COM 和∠DOM 即可．
【解答】解：
连接CD ,过O 作NM ⊥CD ,交AB 于N ,交CD 于M , ∵AB ∥CD , ∴MN ⊥AB , ∵AB ∥CD , ∴△ABO ∽△DCO , ∴AB CD =NO MO
,
即
3050
=
40−OM OM
,
解得：OM ＝25, ∵CO ＝50, ∴MO =1
2CO , ∴∠C ＝30°,
∴∠COM ＝90°﹣30°＝60°, 同理∠DOM ＝60°,
∴∠COD＝60°+60°＝120°,
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出OC＝2OM,OD＝2OM,主要考查学生运用定理进行推理的能力,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目,用的数学思想是转化思想．
10．(3分)已知整数a1、a2、a3、a4、……满足下列条件：a1＝0,a2＝﹣|a1+1|,a3＝﹣|a2+2|,a4＝﹣|a3+3|,……,a n+1＝﹣|a n+n|(n为正整数)依此类推,则a2020值为()
A．﹣1008 B．﹣1009 C．﹣1010 D．﹣1011
【分析】根据条件求出前几个数的值,再分n是奇数时,结果等于−n−1
2;n是偶数时,结果等于−
n
2;然后把n
的值代入进行计算即可得解．【解答】解：a1＝0,
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1, a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1, a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2, a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2, …,
所以n是奇数时,结果等于−n−1
2;n是偶数时,结果等于−
n
2;
a2020=−2020
2
=−1010．
故选：C．
【点评】此题考查数字的变化规律,根据所求出的数,观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
二．填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)
11．(2分)−15
6的倒数是−
6
11．
【分析】根据倒数的定义即可得到结论．
【解答】解：−15
6的倒数是−
6
11,
故答案为：−6 11,
【点评】本题考查了倒数,熟记倒数的定义是解题的关键．
12．(2分)地球上七大洲的总面积约为149 480 000km2,将149 480 000km2用四舍五入法精确到10 000 000km2,
并用科学记数法表示为 1.5×108 km 2．
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式,其中1≤|a |＜10,n 为整数．确定n 的值是易错点,由于149 480 000有9位,所以可以确定n ＝9﹣1＝8．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起,后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关,与10的多少次方无关． 【解答】解：149 480 000＝1.4948×108≈1.5×108． 故答案为：1.5×108
【点评】此题考查科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 13．(2分)因式分解：﹣3x 2+27＝ ﹣3(x +3)(x ﹣3) ． 【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝﹣3(x 2﹣9)＝﹣3(x +3)(x ﹣3), 故答案为：﹣3(x +3)(x ﹣3)
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14．(2分)已知一次函数y ＝kx +b ,当﹣3≤x ≤1时,﹣1≤y ≤8,则此函数与y 轴的交点坐标是 (0,
234
)或(0,5
4
) ．
【分析】本题分情况讨论①x ＝1时对应y ＝8,x ＝﹣3时对应y ＝﹣1;②x ＝1时对应y ＝﹣1,x ＝﹣3时对应y ＝8;将每种情况的两组数代入即可得出答案．
【解答】解：①将x ＝1,y ＝8代入得：8＝k +b ,将x ＝﹣3,y ＝﹣1代入得：﹣1＝﹣3k +b , 解得：k =9
4,b =23
4; ∴函数解析式为y =9
4x +23
4, ∴当x ＝0时,y =
23
4
, ∴函数与y 轴的交点坐标(0,234
);
②将x ＝1,y ＝﹣1,代入得：﹣1＝k +b ,将x ＝﹣3,y ＝8代入得：8＝﹣3k +b , 解得：k =−94
,b =54
, ∴函数解析式为y =−94
x +54
, ∴当x ＝0时,y =5
4,
∴函数与y 轴的交点坐标(0,5
4);
故答案为：(0,
234
)或(0,5
4
)．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式,注意本题需分两种情况,不要漏解． 15．(2分)如图,△ABC 内接于⊙O ,若⊙O 的半径为2,∠A ＝45°,则BC 的长为 2√2 ．
【分析】连接OB 、OC ,根据圆周角定理得到∠BOC ＝2∠A ＝90°,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OB 、OC ,
由圆周角定理得,∠BOC ＝2∠A ＝90°, ∴BC =√2OB ＝2√2, 故答案为：2√2．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握圆周角定理是解题的关键．
16．(2分)在线段、角、长方形、圆这四个图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 角 ． 【分析】结合线段、角、长方形、圆的性质并根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答． 【解答】解：在线段、角、长方形、圆中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是角． 故答案为：角．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合． 17．(2分)如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,AB ＝2,则图中阴影部分的面积为 2π
【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积,将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【解答】解：如图,连接BO,FO,OA．
由题意得,△OAF,△AOB都是等边三角形,
∴∠AOF＝∠OAB＝60°,
∴AB∥OF,
∴△OAB的面积＝△ABF的面积,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AF＝AB,
∴图中阴影部分的面积等于扇形OAB的面积×3=60⋅π×22
360
×3＝2π,
故答案为：2π．
【点评】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
18．(2分)如图,点A的坐标为(3,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限,若反比例函数y=k
x的图象经过点
B,则k的值是9√3
4
．
【分析】首先过点B作BC垂直OA于C,根据AO＝3,△ABO是等边三角形,得出B点坐标,进而求出反比
例函数解析式．
【解答】解：过点B 作BC 垂直OA 于C ,如图： ∵点A 的坐标是(3,0), ∴AO ＝3,
∵△ABO 是等边三角形, ∴OC =32
,BC =
3√3
2, ∴点B 的坐标是(32,
3√3
2
), 把(32,3√32
)代入反比例函数y =k x ,得k =9√34．
故答案为
9√34
．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识,根据已知表示出B 点坐标是解题关键． 三．解答题(共10小题,满分84分)
19．(8分)(1)计算：|√3−1|﹣(12
)﹣
2﹣2sin60°;
(2)化简：2(x +y )2﹣(x +2y )(x ﹣2y )．
【分析】(1)利用绝对值、有理数的乘方的意义,特殊角三角函数值计算即可得到结果; (2)利用完全平方公式、平方差公式去括号、合并同类项即可得到结果． 【解答】解：(1)原式=√3−1﹣4﹣2×√3
2 =√3−5−√
3 ＝﹣5;
(2)原式＝2x 2+4xy +2y 2﹣x 2+4y 2 ＝x 2+4xy +6y 2．
【点评】此题考查了实数的运算,以及整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．(8分)(1)解不等式组{4x ＜2x +2
32
x −1≤5−12
x
．
(2)解分式方程：
1
x−2
=
1−x 2−x
−3．
【分析】(1)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可;
(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：(1){4x ＜2x +2①
32
x −1≤5−1
2
x②
, 解不等式①得：x ＜1, 解不等式②得：x ≤3, ∴不等式组的解集为x ＜1; (2)方程整理得：
1x−2
=
x−1x−2
−3,
方程两边都乘以x ﹣2得：1＝x ﹣1﹣3(x ﹣2), 解得：x ＝2,
检验：当x ＝2时,x ﹣2＝0,
所以x ＝2不是原方程的解,即原方程无解．
【点评】出此题考查了解分式方程,以及一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．(6分)如图①,将两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开,拼成正方形ABCD (1)正方形ABCD 的面积为 2 ,边长为 √2 ,对角线BD ＝ 2 ; (2)求证：AB 2+AD 2＝BD 2;
(3)如图②,将正方形ABCD 放在数轴上,使点B 与原点O 重合,边AB 落在x 轴的负半轴上,则点A 所表示的数为 −√2 ,若点E 所表示的数为整数,则点E 所表示的数为 ﹣1 ．
【分析】(1)根据大正方形的面积等于小正方形的面积和求解即可．
(2)通过计算证明即可．
(3)根据AB=√2,解决问题即可．
【解答】(1)解：∵小正方形的边长为1,
∴小正方形的面积为1,
∴正方形ABCD的面积为2,边长为√2,对角线＝1+1＝2,
故答案为：2,√2,2．
(2)证明：由(1)可知AB＝BD=√2,BD＝2,
∴AB2+BD2＝(√2)2+(√2)2＝4,BD2＝4,
∴AB2+AD2＝BD2．
(3)由题意A点表示的数为−√2,点E表示的数为﹣1,
故答案为：−√2,﹣1．
【点评】本题考查图形的拼剪,实数与数轴,正方形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．
22．(8分)已知：如图,∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F．
(1)求证：BE＝CF;
(2)若AF＝6,△ABC的周长为20,求BC的长．
【分析】(1)连接DB、DC．欲证明BE＝CF,只要证明Rt△BED≌Rt△CFD(HL)即可;
(2)利用全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】(1)证明：连接DB、DC．
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE＝DF,
∵DG垂直平分BC,
∴DB＝DC,
在Rt△BED和Rt△CFD中,
{DE=DF
BD=CD,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE＝CF;
(2)解：∵∠DAE＝∠DAF,∠AED＝∠AFD＝90°,AD＝AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AF＝AE＝6,
由(1)得：BE＝CF,
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC,
＝AE+EB+AF﹣CF+BC,
＝AE+AF+BC＝20,
∴BC＝20﹣12＝8．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题．
23．(8分)某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动,随机选取了该校八年级的50名学生进行测评,统计数据如下表：
80 85 90 95 100
测评成绩
(单位：分)
人数 5 10 10 20 5
(1)这50名学生的测评成绩的众数是95分,中位数是92.5分,极差是20分;
(2)求这50名学生的测评成绩的平均数;
(3)若该校八年级共有学生300名,测评成绩在90分以上(包含90分)为优秀,试估计该校八年级优秀学生共
有多少名？
【分析】(1)将50名学生数学成绩按照从小到大顺序排列,找出中位数与众数,求出极差即可;
(2)先根据表格提示的数据得出50名学生总分,然后除以50即可求出平均数;
(3)由优秀的百分比乘以300即可得到结果;
【解答】解：(1)这50名学生的测评成绩的众数是95分,中位数是90+952
=92.5分,极差是100﹣80＝20
分;
(2)这50名学生的测评成绩的平均数是80×5+85×10+90×10+95×20+100×5
50
=91分;
(3)该校八年级优秀学生共有300×10+20+5
50
×100%=210人, 故答案为：(1)95;92.5;20
【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数,用样本估计总体的知识,解题的关键是牢记概念及公式． 24．(8分)一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球,小球上分别标有数字﹣1,0,1小丽先从袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为x ,不放回,再从袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为y ,设点P 的坐标为(x ,y )．
(1)请用列表成画树状图的方法列出点P 所有可能的坐标： (2)求点P 在一次函数y ＝﹣x 图象上的概率． 【分析】(1)利用树状图展示所有6种等可能的结果数;
(2)找出点P (x ,y )在函数y ＝﹣x 图象上的结果数,然后根据概率公式求解． 【解答】解：(1)画树状图为：
共有6种等可能的结果数,它们为(﹣1,0),(﹣1,1),(0,﹣1),(0,1),(1,﹣1),(1,0; 则点P 所有可能的坐标为(﹣1,0),(﹣1,1),(0,﹣1),(0,1),(1,﹣1),(1,0); (2)点P (x ,y )在函数y ＝﹣x 图象上的结果数为2, ∴点P (x ,y )在函数y ＝﹣x 图象上的概率=2
6=1
3．
【点评】本题考查了列表法和树状图法求概率,一次函数图象上点的坐标特征,正确的画出树状图是解题的关键．
25．(8分)2021年寒假期间,某学校计划租用8辆客车送280名师生参加社会实践活动,现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如表,设租用甲种客车x 辆,租车总费用为w 元．
甲种客车 乙种客车 载客量(人/辆)
30
40
租金(元/辆) 270 320
(1)求出w(元)与x(辆)之间函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？
【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到w与x的函数关系式,再根据某学校计划租用8辆客车送280名师生参加社会实践活动,可以得到x的取值范围;
(2)根据(1)中函数关系式和一次函数的性质,即可解答本题．
【解答】解：(1)由题意可得,
w＝270x+320(8﹣x)＝﹣50x+2560,
∵30x+40(8﹣x)≥280,
∴x≤4,
即w(元)与x(辆)之间函数关系式是w＝﹣50x+2560(0≤x≤4且x为整数);
(2)∵w＝﹣50x+2560,0≤x≤4且x为整数,
∴当x＝4时,w取得最小值,此时w＝﹣50×4+2560＝2360,此时8﹣x＝4,
答：当租用甲种客车4辆、乙种客车4辆时,总费用最低,最低费用是2360元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
26．(10分)如图,AB是⊙O的直径,且AB＝4,点C,D,E均在⊙O上(不与A,B重合),EA的延长线交DC的延长线于点F,过点A作⊙O的切线AG交DF于点G,连接AC,AD,DE,DB．
(1)求证：∠DAG＝∠FCA．
(2)填空：
①当DB＝2√2,△ACG是等腰直角三角形;
②当DB＝2,四边形ODCA是平行四边形．
【分析】(1)由切线的性质证得∠DBA＝∠DAG,由内接四边形的性质得出∠DCA+∠DBA＝180°,推出∠FCA＝∠DBA,即可得出结论;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出CG＝AG,AG⊥CG,得出∠CAG＝∠GCA＝45°,由切线的性质得出∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°,得出点D与点C重合,△ABD是等腰直角三角形,即可得出答案;
②证出平行四边形ODCA是菱形,得出OC＝OA＝AC,证出△OAC是等边三角形,得出∠BAD=12∠OAC＝
30°,由圆周角定理得出∠ADB＝90°,由直角三角形的性质得出DB=1
2AB＝2即可．
【解答】(1)证明：∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB＝90°,
∴∠DBA+∠DAB＝90°,
∵AG是⊙O的切线,
∴∠OAG＝90°,即∠DAG+∠DAB＝90°, ∴∠DBA＝∠DAG,
∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形,
∴∠DCA+∠DBA＝180°,
又∵∠DCA+∠FCA＝180°,
∴∠FCA＝∠DBA,
∴∠DAG＝∠FCA;
(2)解：①如图1所示：
∵△ACG是等腰直角三角形,
∴CG＝AG,AG⊥CG,
∴∠CAG＝∠GCA＝45°,
∵AG是⊙O的切线,
∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°, ∴点D与点C重合,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB＝90°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴BD=√2
2AB=
√2
2
×4＝2√2,
故答案为：2√2;
②如图2所示：连接OC,
∵四边形ODCA是平行四边形, ∵OA＝OD,
∴平行四边形ODCA是菱形, ∴OC＝OA＝AC,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠BAD=1
2∠OAC=
1
2
×60°＝30°,
∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB＝90°,
∴DB=1
2AB=
1
2
×4＝2,
故答案为：2．
【点评】本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、切线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质、
等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;本题综合性强,熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
27．(10分)根据下列条件,分别求抛物线对应的函数表达式．
(1)抛物线的顶点坐标为(1,4),且过点(0,3)．
(2)抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(﹣1,0)．
(3)当x＞1时,y随x的增大而增大;当x＜1时,y随x的增大而减小．函数的最小值为4,且抛物线经过点(3,6)．
(4)如图,抛物线y＝ax2+bx(a≠0)交x轴正半轴于点A,直线y＝2x经过抛物线的顶点M,已知该抛物线的对
称轴为直线x＝2,交x轴于点B．
【分析】(1)设抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2+4,将点(0,3)代入上式,即可求解;
(2)设抛物线的表达式为y＝(x﹣3)(x+1)＝x2﹣2x﹣3;
(3)由题意得：抛物线的对称轴为x＝1,顶点坐标为(1,4),设抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2+4,将点(3,6)代入
上式,即可求解;
(4)当x＝2时,y＝2x＝4,故点M(2,4),设抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2+4,将点(0,0)代入上式,即可求解．
【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2+4,
将点(0,3)代入上式得：3＝a(0﹣1)2+4,解得a＝﹣1,
故抛物线的表达式为y＝﹣(x﹣1)2+4;
(2)设抛物线的表达式为y＝(x﹣3)(x+1)＝x2﹣2x﹣3;
(3)由题意得：抛物线的对称轴为x＝1,顶点坐标为(1,4),
设抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2+4,将点(3,6)代入上式得：6＝a(3﹣1)2+4,解得a=1 2,
故抛物线的表达式为y=1
2(x﹣1)
2+4;
(4)当x＝2时,y＝2x＝4,故点M(2,4),
设抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2+4,将点(0,0)代入上式得：0＝a(0﹣2)2+4,解得a＝﹣1, 故抛物线的表达式为y＝﹣(x﹣2)2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．
28．(10分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,D 是AB 的中点,过点C 作射线CM 交AB 于点P (点P 不与点D 重合),过点B 作BE ⊥CM 于点E ,连接DE ,过点D 作DF ⊥DE 交CM 于点F ．
(1)求证：DE ＝DF ;
(2)如图2,若AE ＝AC ,连接AF 并延长到点G ,使FG ＝AF ,连接CG ,EG ,求证：四边形ACGE 为菱形;
(3)在(2)的条件下,求AP BP 的值．
【分析】(1)连接CD ,先由等腰直角三角形的性质得CD ⊥AB ,CD =12AB ＝BD ,再证∠CDF ＝∠BDE ,∠EBD ＝∠FCD ,则△BDE ≌△CDF (ASA ),即可得出结论;
(2)由(1)得△BDE ≌△CDF ,得BE ＝CF ,再证△ACF ≌△CBE (SAS ),得∠AFC ＝∠CEB ＝90°,然后证四边形ACGE 是平行四边形,即可得出结论;
(3)先由(2)得：△ACF ≌△CBE ,CE ＝2EF ＝2CF ,则AF ＝CE ,再由(1)得：BE ＝CF ,则AF ＝2BE ,然后证△AFP ∽△BEP ,即可得出答案．
【解答】(1)证明：连接CD ,如图1所示：
∵∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,D 是AB 的中点,
∴CD ⊥AB ,CD =12AB ＝BD ,
∴∠CDB ＝90°,
∵BE ⊥CE ,DF ⊥DE ,
∴∠CEB ＝∠FDE ＝90°＝∠CDB ,
∴∠CDF ＝∠BDE ,
∵∠COD ＝∠BOE ,∠COD +∠OCD ＝90°,∠BOE +∠EBO ＝90°,
∴∠EBO ＝∠OCD ,
即∠EBD ＝∠FCD ,
∴△BDE ≌△CDF (ASA ),
∴DE ＝DF ;
(2)证明：由(1)得：△BDE ≌△CDF ,
∴BE ＝CF ,
∵∠ACB ＝90°,
∴∠ACF +∠BCE ＝∠CBE +∠BCE ＝90°,
∴∠ACF ＝∠CBE ,
又∵AC ＝BC ,
∴△ACF ≌△CBE (SAS ),
∴∠AFC ＝∠CEB ＝90°,
∴AF ⊥CE ,
∵AE ＝AC ,EF ＝CF ,
∵FG ＝AF ,
∴四边形ACGE 是平行四边形,
∵AF ⊥CE ,
∴四边形ACGE 为菱形;
(3)解：由(2)得：△ACF ≌△CBE ,CE ＝2EF ＝2CF ,
∴AF ＝CE ,
由(1)得：BE ＝CF ,
∴AF ＝2BE ,
∵∠AFE ＝∠CEB ＝90°,∠APF ＝∠BPE ,
∴△AFP ∽△BEP ,
∴AP BP =AF BE =CE BE =2．。