(优辅资源)安徽省高二下学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）
1．设函数()sin x f x x
=
，则'()2f π
= （ ）
A ．2π-
B ．2
π
C ．1
D ．﹣1
2．函数()3
2
392f x x x x =--+在[]2,2-最大值是 （ ）
A ．-25
B ．7
C ．0
D ．-20
3．设函数31
()(0)3
f x ax bx a =+≠，若0(3)3()f f x '=，则0x 等于 （ ）
A.1±
B.
4．一物体的运动方程为225s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是
（ ）
A ．8米/秒
B ．7米/秒
C ．6米/秒
D ．5米/秒
5．函数2()x
e f x x
=的导函数为 （ ）
A.
2()2x
f x e
'= B.
22
(21)()x
x e f x x -'=
C.
22()x
e f x x
'=
D.22
(1)()x
x e f x x -'=
6．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如下图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极大值点 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1
()ln ()2
f x x ax a =->
，当(2,0)x ∈-时，()
f x 的最小值为1，则
a
的
值
等
于
（ ） A ．
4
1 B ．31 C ．21
D ．1
晓天中学2015～2016学年度第二学期第三次月考
高二年级理科数学（试题卷）
学号： 姓名：
8．若函数f(x)＝2x 2
－lnx 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不．是单调函数，则实数
k
的
取
值
范
围
是
( )
A ．[1，＋∞) B.31,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C ．[1,2) D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
9．若点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为 （ ）
A ．1
B D 10．已知函数f （x ）对定义域R 内的任意x 都有f （x ）=f （4﹣x ），且当x≠2时其导函数
f′（x ）满足（x ﹣2）f′（x ）＞0，若2＜a ＜4则 （ ）
A ．f （2a ）＜f （3）＜f （log 2a ）
B ．f （log 2a ）＜f （3）＜f （2a
）
C ．f （3）＜f （log 2a ）＜f （2a ）
D ．f （log 2a ）＜f （2a
）＜f （3） 11．设函()f x 在定数义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）
12．已知函数()y f x =对任意的(,)22
x ππ
∈-
满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> （其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是
（ ）
A ()()34f π
π-
<- B ()()34
f ππ
<
C ．(0)2()3
f f π> D ．(0)()4f π>
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13．函数x x x f ln )(-=的单调增区间是________.
14．使sin y x ax =+在R 上是增函数的a 的取值范围为 .
15．若函数[]1)2(33)(2
3
++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值,则a 的取值范围是
______．
16．已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()1
2
f x '<，则不等式
()22
1
22
x f x <+的解集为 .
三、解答题(本大题共70分). 17．(10分)已知函数R x x x x f ∈-=
,sin 2
1
)(． （1）试求函数)(x f 的递减区间；
（2）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值．
18．(12分)已知()x
g x e x =-.（Ⅰ）求()g x 的最小值； （Ⅱ）若存在(0,)x ∈+∞，使不等式
2()
x m
x g x ->成立，求m 的取值范围.
19．(12分)已知f (x )＝e x
－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；
(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．
20．(12分)已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若0a <，且()f x 在区间(0,]e 上的最大值为2-，求a 的值； （3）当1a =-时，试证明：1|()|ln 2
x f x x x >+.
21．(12分)已知函数()ln ,()ax
f x xe x e a R =+-∈．
（Ⅰ）当1a =时，求函数()y f x =的点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）设1
()ln g x x e x
=+-，若函数()()()h x f x g x =-在定义域内存在两个零点，求实数a 的取值范围．
22．(12分)已知函数)(1ln )(R a x x a x f ∈+-=. （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，求所有实数a 的值； （3）证明：)1,(4
)
1(1ln 53ln 43ln 32ln >∈-<++⋅⋅⋅+++n N n n n n n .
2. 填空题
13 . 14 .
15 . 16 .
3. 解答题 17.
18.
晓天中学2015～2016学年度第二学期第三次月考
高二年级理科数学（答题卷）
学号： 姓名：
19.
20.
21.
22.
参考答案
1．C
试题分析：∵'2
sin cos ()sin x x x f x x -=，则'1()121
f π==，故选：C ． 2．B
试题分析：()()3
2
2
392'369f x x x x f x x x =--+∴=--Q ，[]2,2x ∈-，令
()0'f x >，得[)2,1--单调递增，(]1,2-单调递减，所以
()()max 113927f x f =---++==.
3．C
试题分析：将3代入函数解析式求出f （3）；求出函数的导函数，将x 0代入求出函数值 f ′（x 0），列出方程求出0x ；
2393,f a b f x ax b =+'=+（）,（）
2000,
33'f x ax b f f x ∴'=+=（）（）（
），2009333a b ax b x ∴+=+∴=,故选C
4．C
试题分析：22ds
v t dt
==-，∴物体在4秒末的瞬时速度为6米/秒. 5．B
试题分析：=-=-=2
222'2'2'
2)()()(x e x e x x e x e x f x x x x 22(21)x
x e x -，故选B.
6．B
试题分析：函数()x f y =在点0x 处连续且()00='x f ，若在点0x 附近左侧()00>'x f ，右侧()00<'x f ，则点0x 为函数的极大值点，满足定义的点有2个. 7．D
试题分析：根据奇函数关于原点对称，()y f x =在(0,2)x ∈内有最大值-1，又
'11()()2f x a a x =
->，可知当1x a =时取最大值，代入111
()ln 1,f a a a a
=-⋅=-可得
1a =.
8．B
试题分析：因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x －
1x ，由f′(x)＝0，得x ＝1
2
.据题意，111
2
10k k k ⎧
-<<+⎪⎨⎪-≥⎩
，解得1≤k＜32. 9．B
试题分析：可设点),(00y x P ，由题意可知，过点P 且与直线2y x =-平行的直线为曲线
2ln y x x =-在点P 的切线.由此)1,1(,1,1,01
2,0000
0'
0P y x x x y x x ∴=∴=∴=-
∴==，则点P 到直线2y x =-
B. 10．B
试题分析：因为函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，()f x ∴ 关于直线2x =对称；又当2x ≠时其导函数()f x '满足()()20f x x '->，所以当2x >时，
()()0,f x f x '>在()2,+∞上的单调递增；同理可得，当2x <时，()f x 在(),2-∞单调
递减；
24a <<，21log 2a ∴<<，224log 3a ∴<-<，又
()()()224216,log 4log ,a f a f a f x <<=-在()2,+∞上的单调递增；
()()()2log 32a f a f f ∴<<，故选B.
11．D
试题分析：由函数图象可知()f x 在y 轴左侧为增函数，右侧从左至右依次为增、减、增，利用导函数的性质，可知选D. 12．A
试题分析：令
()()()()()()()()x
x x f x x f x x x f x x f x g x x f x g 2'2
'
''
cos sin cos cos cos cos ,cos -=-==则，由对任意的(,)22x ππ
∈-
满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>可得()0'>x g ，即函数()x g 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ上为增函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛-43ππg g 即⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪
⎭⎫
⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 43cos 3ππππf f 即⎪
⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-432ππf f ；故选
A ． 13．(1,)+∞
试题分析：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1
'()1f x x
=-，当01x <<时'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上递增． 14．[)1,+∞
试题分析：sin y x ax =+在R 上是增函数等价于'cos 0y x a =+≥在R 上恒成立, 即cos a x ≥-恒成立,[]cos 1,1x -∈-,1a ≥.
15．21>-<a a 或
试题分析：)2(363)(2
'
+++=a ax x x f ，因为[]1)2(33)(2
3
++++=x a ax x x f 有极大
值又有极小值，所以
0)('=x f 有两个不相等的实根，所以
21,0)2(36362>-<∴>+-=∆a a a a 或.
16．11-∞-+∞（，）（，） 试题分析：设()()12
F x f x x =-
根据题意可得函数F
x （）在R 上单调递减，然后根据()22
122
x f x <+可得22
1122x f x f -<-（
）（），最后根据单调性可求出x 的取值范围． 设()()12F x f x x =-
，()111
,0222
F
x f x f x F x f x '='-'<∴'='-<∴（）（）（）（），
即函数F （x ）在R 上单调递减，
()()()222
2
211,112222
x x f x f x f F x F <+∴-<-∴<（）（），
而函数F （x ）在R 上单调递减， 2
1x ∴>，即11x ∴∈-∞-+∞（，）（，）
， 故答案为：11-∞-+∞（，）（，） 17．（I ）Z k k k ∈++-
),23
,
23
(ππ
ππ
；
（2）最大值为2
)(π
π=f ，最小值为2
)(π
π-
=-f ．
试题分析：（I ）求导数得：,cos 2
1
)(x x f -=' 令,0)(<'x f 即
,0cos 2
1
<-x 得：Z k k x k ∈+<<+-,2323ππππ，
∴函数)(x f 在每个区间Z k k k ∈++-
),23
,
23(ππ
ππ
上为减函数．
（2）由（I ）知，函数)(x f 在区间),3
(),3,(ππππ--上为增函数，在区间)3
,3(π
π-
上为减函
数，∴函数)(x f 在3
π
-
=x 处取极大值623)3(π
π-=-f ，在3π=x 处取极小值
23
6)3(-
=ππf ，∵2
)(ππ-=-f ，2)(ππ=f ∴函数()f x 在区间[]ππ,-上的最大值为2
)(π
π=
f ，最小值为2
)(π
π-
=-f ．
18．（Ⅰ）最小值1)1(=f ；（Ⅱ）2ln 2<m ；
试题解析：（Ⅰ）∵1)(-='x e x g ,由0)(='x g ，得0=x
∴当0<x 时，0)(<'
x g ，)(x g 在)0,(-∞上为减函数， 当0>x 时，0)(>'x g ，)(x g 在)，0(∞+上为增函数，
∴)(g x 在0=x 时有最小值1)0(g =.
（Ⅱ）
)0)()((2)
(2>-=>-⇔>-x e x g x xg m x x x g m
x x x x xe x x m x xe m x -+<⇔->-⇔2222
令x
xe x x x h -+=2)(2)0(>x
则)2)(1()2()2(22)(-+-=-+-=--+='x
x x x x e x e e x xe e x x h ∴当2ln >x 时0)(<'x h ,当2ln 0<<x 时0)(>'x h
∴2ln )2(ln )(2max ==h x h ,要想存在正数x ,使)(x h m <,则有2ln )(2
max =<x h m
∴所求的m 的取值范围是2ln 2<m .
19．（1）当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．（2）(－∞，0]．
(1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R)，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x
≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．
(2)由(1)知f ′(x )＝e x
－a .∵f (x )在R 上单调递增，
∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x
在R 上恒成立．
∵x ∈R 时，e x
>0，∴a ≤0， 即a 的取值范围是(－∞，0]．
20．（1）单调增区间为1
(0,)a -，单调减区间为1
(,)a
-+∞；
（2）a e =-；（3）证明过程详见解析.
试题解析：（1）11
()ax f x a x x
+'=+
=
当0a ≥时，'()0f x >恒成立，故()f x 的单调增区间为(0,)+∞
当0a <时，令'()0f x >解得10x a <<-，令'()0f x <解得1
x a
>-，故()f x 的单调增区间为1(0,)a -，()f x 的单调减区间为1
(,)a
-+∞
（2）由（I ）知，
①当1e a -
≥，即1
a e ≥-时，()f x 在(]0,e 上单调递增，∴max ()()10f x f e ae ==+≥舍；
②当10e a <-<，即1a e
<-时，()f x 在1(0,)a -上递增，在1
(,)a e -上递减，
11max ()()1ln()a a f x f =-=-+-，令1
1ln()2a -+-=-，得a e =-
（Ⅲ）即要证明ln 1
|()|2x f x x >
+，由（Ⅰ）知当1a =-时，max ()(1)1f x f ==-，∴|()|1f x ≥，又令ln 1()2x x x ϕ=+，2
1ln ()x
x x
ϕ-'=，故()x ϕ在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，故11()()12x e e ϕϕ≤=+<即证明ln 1
|()|2
x f x x >+.
21．（Ⅰ）(21)(1)y e x =+-；（Ⅱ）2
0a e
-<<．
试题解析：（Ⅰ）()y f x =的定义域为(0,)+∞，∵1a =， ∴()ln ,(1)0x
f x xe x e f =+-=，∴1
()(1)x f x x e x
'=++
，∴(1)21f e '=+， 所以函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(21)(1)y e x =+-
（Ⅱ）2111()()()ln (ln )ax ax
ax
x e h x f x g x xe x e x e xe x x x
-=-=+--+-=-=在定义域
内存在两个零点，即210ax x e -=在(0,)+∞有两个零点． 令22()1,()2(2)ax ax ax
ax x x e x ax e xe
xe ax ϕϕ'=-=+=+
ⅰ．当0a ≥时， ()(2)0ax
x xe ax ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在(0,)+∞上单调递增 由零点存在定理，()y x ϕ=在(0,)+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ⅱ．当0a <时，(2)0ax
xe ax +=则2x =-
因为(0)1ϕ=-，当x →+∞，()1x ϕ→-，所以要使2()1ax
x x e ϕ=-在(0,)+∞内有两个零点，则2()0a ϕ->即可，得22
4a e
<
，又因为0a <，所以20a e -<< 22．（1）当0≤a 时，)(x f 减区间为),0(+∞，当0>a 时，)(x f 递增区间为),0(a ，递减
区间为),(+∞a ；（2）1=a ；（3）见解析． 试题解析：（1）)0(1)(>-=-=
'x x
x
a x a x f . 当0≤a 时，0)(<'x f ，∴)(x f 减区间为),0(+∞，
当0>a 时，由0)(>'x f 得a x <<0，由0)(<'x f 得a x >， ∴)(x f 递增区间为),0(a ，递减区间为),(+∞a .
（2）由（1）知：当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上为减函数，而0)1(=f ， ∴0)(≤x f 在区间),0(+∞∈x 上不可能恒成立； 当0>a 时，)(x f 在),0(a 上递增，在),(+∞a 上递减，
1ln )()(max +-==a a a a f x f ，令1ln )(+-=a a a a g ，
依题意有0)(≤a g ，而a a g ln )(='，且0>a ，
∴)(a g 在)1,0(上递减，在),1(+∞上递增，∴0)1()(min ==g a g ，故1=a .
（3）由（2）知，当1=a 时，0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，即1ln -≤x x 在),0(+∞上恒成立，当且仅当1=x 时等号成立.
令)1,(2
>∈=k N k k x ，则有1ln 22-<k k ，即)1)(1(ln 2+-<k k k ，
整理得2
1
1ln -<
+k k k ，当n k ,...,4,3,2=时， 分别有211ln ,,2353ln ,2243ln ,2132ln -<
+⋅⋅⋅<<<n n n ， 叠加得4)1(2)1(3211ln 53ln 43ln 32ln -=
-+⋅⋅⋅+++<++⋅⋅⋅+++n n n n n ， 即4
)1(1ln 53ln 43ln 32ln -<
++⋅⋅⋅+++n n n n 得证.。