2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
设集合
( )
A.
B.
C.
D.
2.
下列命题中正确的是( )
A. 若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题
B. 在△ABC 中“∠A >∠B ”是“sinA >sinB ”的充分必要条件
C. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1或x =2”的逆否命题是“若x ≠1或x ≠2，则x 2−3x +
2≠0”
D. 命题p ：∃x 0≥1，使得x 02
+x 0−1<0，则￢p ：∀x <1，使得x 2+x −1≥0
3. 命题：
①“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充要条件； ②y =2x −2−x 是奇函数；
③若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ④若集合A ∩B =A ，则A ⊆B ， 其中真命题的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.
定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1
，现有四个命题：
①若a >0，b >0，则ln +(a b )=bln +a ②若a >0，b >0，则ln +(ab)=ln +a +ln +b ③若a >0，b >0，则ln +(a
b )≥ln +a −ln +b ④若a >0，b >0，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2 其中正确的命题有( )
A. ①③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ②③④
5.
锐角△ABC 中，已知a =√3,A =π
3，则b 2+c 2+3bc 取值范围是( )
A. (5,15]
B. (7,15]
C. (7,11]
D. (11,15]
6.
已知函数f(x)={log 13x,x >0
2−x
,x ≤0
，若0<f(a)<2，则实数a 的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(1
9,1) B. (−1,0)∪(1
9,+∞) C. (−1,0]∪(1
9，1)
D. (−∞,−1)∪(1
9,+∞)
7.
函数f(x)=x e x +e −x 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
8. 函数
在区间
上单调递减，且函数值从1减小到，
那么此函数图象与
轴交点的纵坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9.
已知函数f(x)=1+2x+sinx x 2+1
，若f(x)的最大值和最小值分别为M 和N ，则M +N 等于( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若√3sin(A +B)=sinA +sinB ，cosC =3
5，
且S △ABC =4，则c =( )
A. 4√6
3
B. 4
C. 2√63
D. 5
11. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1x +2
x
,x >1
，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x
3+a|在R 上恒成立，则a 的最大值是( )
A. 2√3
B. 39
16
C. 23
9
D. 4√33
12. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={
2x +2
,0≤x <1
4−2−x
,−1≤x <0
，且f(x −1)=f(x +1)，则函数
g(x)=f(x)−
3x−5x−2
在区间[−1,5]上的所有零点之和为( )
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为______ ．
14.已知g(x)=1−2x，f[g(x)]=1+x2
x2(x≠0)，则f(1
2
)=______ ．
15.已知函数f(x)=x2−9，g(x)=x
x−3
，那么f(x)⋅g(x)=______ ．
16.已知函数y=kcos(kx)在区间(π
4,π
3
)单调递减，则实数k的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知全集U={x∈N|0<x≤6}，集合A={x∈N|1<x<5}，集合B={x∈N|2<x<6}求
(1)A∩B
(2)(∁U A)∪B
(3)(∁U A)∩(∁U B)
18.已知△ABC的面积为4√2，A=C，cosB=−7
9
，求：
(1)a和b的值；
(2)sin(A−B)的值．
19.已知函数f(x)=|x+m|−2|x−1|(m>0)，不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤1
3
或x≥3}．
(1)求实数m的值；
(2)若不等式f(x)≤ax+3a对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
20.(选修4−4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xoy中，过椭圆x2
12+y2
4
=1在第一象限内的一点P(x,y)分别作x轴、y轴的两条垂线，
垂足分别为M，N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．
21.已知函数
(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求；
(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．
22. 设0≤α≤π，不等式8x2−(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．
参考答案及解析
1.答案：B
解析：试题分析：由题意可知，，所以．
考点：本小题主要考查集合的运算．
点评：由题意得出是解题的关键，还要注意到．
2.答案：B
解析：解：对于A：若p∨q为真命题，则①p真q真，②p假q真，③p真q假，当p真q真时则p∧q为真命题，故A错误；
对于B：在△ABC中“∠A>∠B”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“a>b”⇔“∠A>∠B“，
所以在△ABC中“∠A>∠B”是“sinA>sinB”的充分必要条件，故B正确；
对于C：命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题是“若x≠1且x≠2，则x2−3x+ 2≠0”故C错误；
对于D：命题p：∃x0≥1，使得x02+x0−1<0，则￢p：∀x≥1，使得x2+x−1≥0，故D错误．故选：B．
直接利用真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
3.答案：B
解析：解：①由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=0，因此“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，是假命题；
②∵f(−x)=2−x−2x=−f(x)，是奇函数，是真命题；
③若“p∨q”为真，则“p∧q”不一定为真，是假命题；
④若集合A∩B=A，则A⊆B，是真命题．
其中真命题的个数有2．
故选：B．
①由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=0，即可判断出真假；
②利用函数的奇偶性即可判断出是否是奇函数，即可判断出真假；
③利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假；
④利用集合运算的性质即可判断出真假．
本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、集合的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.答案：A
解析：解：∵定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1
lnx,x ≥1
，
①当0<a <1，b >0时，0=0b <a b <1b =1，左=右=0；
当a >1，b >0时，a b >1，左端ln +(a b )=lna b =blna =右端，故①真；
②若0<a <1，b >0时，ab ∈(0,1)，也可能ab ∈(1,+∞)，举例如下：ln +(1
3×2)=0≠ln2=ln +1
3+ln +2，故②错误；
③若0<a <b <1，0<a
b <1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；
当0<a <1≤b ，0<a
b <1，ln +b =lnb ≥0，左端=0，右端=0−lnb ≤0，左端≥右端，成立； 当1≤a <b 时，ln +(a b )=0，ln +a =lna ，ln +b =lnb ，左端=0≥lna −lnb =右端，成立； 同理可知，当0<b <a <1，0<b <1≤a ，1≤b <a 时，总有左端≥右端； 当0<a =b 时，左端=右端，不等式也成立； 综上，③真；
④若0<a +b <1，b >0时，左=0，右端≥0，显然成立； 若a +b >1，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2⇔ln +a+b 2
≤ln +a +ln +b ，成立，故④真；
综上所述，正确的命题有①③④． 故选：A ．
根据“正对数”概念，对①②③④逐个分析判断即可．
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的性质，考查新定义的理解与应用，突出考查分类讨论思想与综合运算、逻辑思维及分析能力，属于难题．
5.答案：D
解析：
本题综合考查了正余弦定理及两角和与差的三角函数公式，属于拔高题．
由正弦定理可得，a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=√3
√3
2
=2，可先表示b，c，然后由△ABC为锐角三角形及
可求B的范围，再把bc用sinB，cosB表示，利用三角恒等变形公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得b2+c2+3bc=4bc+3，从而可求范围．
解：由正弦定理可得，a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=√3
√3
2
=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵△ABC为锐角三角形，
，且，
，
=4sinB(√3
2
cosB+
1
2
sinB)
=2√3sinBcosB+2sin2B
，
，
，
，
，
即2<bc≤3，
∵a=√3,A=π
3
，
由余弦定理可得：3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=bc+3，
∴b2+c2+3bc=4bc+3∈(11,15]．
故选：D．
6.答案：C
解析：解：当a≤0时，0<2−a<2，解得，−a<1；即a>−1，可得−1<a≤0
当a>0时，0<log1
3a<2，解得，1
9
<a<1．
∴a∈(−1,0]∪(1
9
，1)，
故选：C．
将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．
7.答案：C
解析：解：∵函数f(x)=x
e x+e−x ，∴f(−x)=−x
e−x+e x
=−x
e x+e−x
=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，故A错误；
∵x<0时，f(x)=x
e x+e−x <0，x>0时，f(x)=x
e x+e−x
>0，故B错误；
当x>0时，f(x)=x
e x+e−x
，
由f(0)=0，f(1)=
1
e+1
e
=e
e2+1
，f(2)=
2
e2+1
e2
=2e2
e4+1
，f(3)=
3
e3+1
e3
=3e3
e6+1
，
得：当x>0时，f(x)=x
e x+e−x
，先增后减，故D错误．由排除法得C正确．
故选：C．
推导出f(x)是奇函数，x<0时，f(x)=x
e x+e−x <0，x>0时，f(x)=x
e x+e−x
>0，当x>0时，f(x)=
x
e x+e−x
先增后减，由此利用排除法能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．
8.答案：A
解析：试题分析：依题意，利用正弦函数的单调性可求得y=sin(ωx+φ)的解析式，从而可求得此函数图象与y轴交点的纵坐标．解：∵函数y=sin(ωx+φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到−1，∴
∴T=π，又T=∴ω=2又sin(2×+φ)=1，∴+φ=2kπ+，k∈Z.∴φ=2kπ+，k∈Z.∵|φ|<，∴φ=
∴y=sin(2x+)，令x=0，有y=sin=∴此函数图象与y轴交点的纵坐标为故选A．
考点：三角函数图像
点评：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得ω与φ的值是关键，也是难点，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．
9.答案：A
解析：解：∵f(x)=1+2x+sinx
x2+1
，
设g(x)=2x+sinx
x2+1
，
∴g(−x)=−2x−sinx
x2+1=−2x+sinx
x2+1
=−g(x)，
∴g(x)为奇函数，
∴g(x)max+g(x)min=0
∵M=1+g(x)max，N=1+g(x)min，
∴M+N=1+1+0=2，
故选：A．
g(x)=2x+sinx
x2+1
，得到g(x)为奇函数，得到g(x)max+g(x)min=0，相加可得答案．本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．
10.答案：B
解析：解：∵√3sin(A+B)=√3sinC=sinA+sinB，cosC=3
5
，
∴由正弦定理可得：√3c=a+b，可得sinC=√1−cos2C=4
5
，
∵S△ABC=1
2absinC=1
2
×4
5
×ab=4，解得：ab=10，
∴由余弦定理可得：c=√a2+b2−2abcosC=√(a+b)2−2ab−2ab⋅3
5
=√3c2−32，解得：c=4．故选：B．
由已知及正弦定理可得：√3c=a+b，利用同角三角函数基本关系式可得sinC，利用三角形面积公式可求ab=10，由余弦定理即可解得c的值．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
11.答案：D
解析：解：函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1
x +2
x ,x >1
， 当x ≤1时，关于x 的不等式f(x)≥|x
3+a|在R 上恒成立， 即为−x 2+x −3≤1
3x +a ≤x 2−x +3， 即有−x 2+2
3x −3≤a ≤x 2−4
3x +3，
由y =−x 2+2
3x −3的对称轴为x =1
3<1，可得x =1
3处取得最大值−26
9；
由y =x 2−4
3x +3的对称轴为x =2
3<1，可得x =2
3处取得最小值23
9， 则−
269
≤a ≤
239
①
当x >1时，关于x 的不等式f(x)≥|x
3+a|在R 上恒成立， 即为−(x +2
x )≤1
3x +a ≤x +2
x ， 即有−(4
3x +2
x )≤a ≤2
3x +2
x ，
由y =−(4
3x +2
x )≤−2√4
3x ⋅2
x =−4
3√6(当且仅当x =√3
2>1)取得最大值−4
3√6；
由y =2
3x +2
x ≥2√2x
3⋅2
x =4√3
3
(当且仅当x =√3>1)取得最小值
4√3
3
． 则−4
3
√6≤a ≤4√3
3②； 由①②可得，−269
≤a ≤
4√3
3
， ∴a 的最大值为
4√3
3
． 另解：作出f(x)的图象和折线y =|1
3x +a|，如图所示； 当x ≤1时，y =x 2−x +3的导数为y′=2x −1， 由2x −1=−1
3，可得x =1
3，
切点为(13,25
9)代入y =−1
3x −a ，解得a =−26
9； 当x >1时，y =x +2
x 的导数为y′=1−2
x 2， 由1−2
x 2=1
3，可得x =√3(−√3舍去)，
切点为(√3,
5√3
3
)，代入y =1
3x +a ，解得a =4√33
；
由图象平移可得，−269
≤a ≤
4√33
，
∴a 的最大值是4√3
3
． 故选：D ．
讨论x ≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得关于a 的不等式，再由二次函数的最值求出a 的范围；
当x >1时，同样可得关于a 的不等式，再由基本不等式求得a 的范围，取交集可得所求a 的范围． 另解：作出f(x)的图象和折线y =|1
3x +a|，利用导数求得函数f(x)切线的斜率与切点， 结合题意求得a 的取值范围．
本题考查了分段函数的应用以及不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想．
12.答案：B
解析：解：
∵函数f(x)={2x +2
,0≤x <1
4−2−x ,−1≤x <0
，且f(x −1)=f(x +1)，函数的周期为2，函数g(x)=
f(x)−
3x−5
x−2
，的零点，就是y =f(x)与y =3x−5x−2
图象的交点的横坐标，
∴y =f(x)关于点(0,3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位， 得到函数y =f(x)在[−1,5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如下图)，
去掉端点后关于(2,3)中心对称． 又∵y =
3x−5x−2
=3+1
x−2关于(2,3)中心对称，
故方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根就是函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，共有三个交点，
自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于(2,3)中心对称， ∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．
把方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．
本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题．
13.答案：1
解析：解：∵扇形的中心角为2弧度，半径为1， ∴S =1
2
lr =1
2
×2×1×1=1，
故答案为1．
直接利用扇形的面积计算公式，即可求解． 熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．
14.答案：17
解析：解：∵g(x)=1−2x ，f[g(x)]=1+x 2x 2
(x ≠0)，
∴f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2
(x ≠0)， ∴f(1
2)=f(1−2×1
4)=1+(14)2
(14
)2=17．
故答案为：17．
由已知得f[g(x)]=f(1−2x)=
1+x 2x 2
(x ≠0)，由此根据f(12)=f(1−2×14)，能求出f(1
2).
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15.答案：x 2+3x (x ≠3)
解析：解：函数f(x)=x 2−9，g(x)=x
x−3，那么f(x)⋅g(x)=x 2+3x (x ≠3)． 故答案为：x 2+3x (x ≠3)
直接相乘即可，一定要注意定义域．
本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．
16.答案：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}
解析：
本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．
对k的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f(x)的减区间，令
区间(π
4,π
3
)为f(x)单调减区间的子集解出k的范围．
解：当k>0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得2mπ
k ≤x≤π
k
+2mπ
k
，m∈Z，
∵函数y=kcos(kx)在区间(π
4,π
3
)单调递减，
∴{π
4
≥2mπ
k
π
3
≤π
k
+2mπ
k
，解得{
k≥8m
k≤3+6m，m∈Z，∴0<k≤3或8≤k≤9．
当k<0时，令−π+2mπ≤−kx≤2mπ，解得π
k −2mπ
k
≤x≤−2mπ
k
，m∈Z，
∵函数y=kcos(kx)在区间(π
4,π
3
)单调递减，
∴{π
4
≥π
k
−2mπ
k
π
3
≤−2mπ
k
，解得{
k≤4−8m
k≥−6m，m∈Z，∴−6≤k≤−4，或k=−12，
综上，k的取值范围是[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．
故答案为：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．
17.答案：解：(1)∵集U={x∈N|0<x≤6}，∴U={1,2,3,4,5,6}
∵A={2,3,4}.B={3,4,5}．
∴A∩B={3,4}
(2)C U A={1,5,6}
∴(C U A)∪B={1,3,4,5,6}
(3)C U B={1,2,6}，
∴(C U A)∩(C U B)={1,6}．
解析：(1)首先根据集合进行化简，用列举法表示集合U，A，B；然后求出A∩B；
(2)由(1)得出(C U A)，再与B求并集(C U A)∪B；
(3)根据(1)得到的C U A和C U B，最后求出(C U A)∩(C U B)．
本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别求解，属于基础题．
18.答案：解：(1)∵B∈(0,π)，
∴sinB>0，
∵cosB=−7
9
，
∴sinB =√1−cos 2B =√1−(−7
9)2=4√2
9
， ∵A =C ， ∴a =c ，
∴S △ABC =1
2acsinB =1
2a 2×
4√29
=4√2，解得a =3√2，
由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2accosB =18+18−2×18×(−7
9)=64， ∴b =8． (2)∵
a sinA
=
b sinB
，
∴sinA =
asinB b =3√28
×
4√29
=1
3
，
∵A ∈(0,π
2
)，
∴cosA =√1−sin 2A =√1−(1
3)2=
2√2
3
， ∴∴sin(A −B)=sinAcosB −cosAsinB =13
×(−79
)−2√23
×
4√29
=−23
27
．
解析：(1)根据已知条件，运用三角函数的同角公式，可得sinB =
4√2
9
，即可得S △ABC =1
2acsinB =
12
a 2×
4√29
=4√2，解得a =3√2，再结合余弦定理，即可求解b 的值．
(2)根据已知条件，运用正弦定理，可得sinA =1
3，再结合三角函数的同角公式和正弦函数的两角差公式，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
19.答案：解：(1)f(x)=|x +m|−2|x −1|={x −m −2,x ≤−m
3x +m −2,−m <x <1−x +m +2,x ≥1(m >0),
作出函数f(x)的图象，结合图象，
∵不等式f(x)≤1的解集为{x|x ≤1
3或x ≥3}． ∴{3×1
3+m −2=1−3+m +2=1
，解得m =2．
(2)直线y =ax +3a 过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，
a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为4
，
3
,1]．
结合图象可得实数a的取值范围为[4
3
解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．
(1)把f(x)用分段函数来表示，结合图象，可得m．
(2))直线y=ax+3a过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为4
，
3
结合图象可得实数a的取值范围．
20.答案：解：根据题意，设{x=2√3cosα
(α∈[0,2π]为参数)，
y=2sinα
∴矩形PMON周长为
)
C=2(2√3cosα+2sinα)=8sin(α+π
3
)的最大值为1，
∵sin(α+π
3
∴当α=π
时，矩形PMON周长取最大值8，
6
此时点P的坐标为(3,1)．
解析：根据椭圆的参数方程设点P(2√3cosα,2sinα)，得到矩形PMON周长C关于α的表达式，化简得C=8sin(α+π
)，
3
结合正弦函数的性质，可得矩形PMON周长最大值及相应的点P坐标．
本题给出椭圆上点P，求椭圆内接矩形PMON周长的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、三角恒等变换和三角函数的最值等知识，属于基础题．
21.答案：
解析：本题考查函数与方程的应用，函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论以及计算能力．
22.答案：解：由题意：不等式8x2−(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，
由二次函数的性质可得：△≤0，即：(8sinα)2−4×8×cos2α≤0整理得：4sin2α≤1，
∴−1
2
≤sinα≤
1
2
∵0≤α≤π，
∴0≤α≤π
6或5π
6
≤α≤π．
所以α的取值范围是[0,π
6]∪[5π
6
,π]．
解析：将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数α的取值范围．
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用了二次函数数的性质转化成三角函数的问题，属于中档题．。