一元二次方程根的判别式B(教师版)
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【答案】（1）∵ ，所以原方程有两个不相等的实数根；
（2）把原方程化为 ，∵ ，所以原方程有两个相等的实数根；
（3）把原方程化为 .∵ ，所以原方程没有实数根.
【借题发挥】
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
（1） ； （2） ； （3） .
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程没有实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根.
上述判断反过来也是正确的，即
当方程有两个不相等的实数根时， ；
当方程有两个相等的实数根时， ；
当方程没有实数根时， .
【典型类型讲解】
题型一：
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况
（1） ； （2） ； （3） .
【分析】判断方程根的情况也就是判断 的大小，对于第（2）（3）题都是先把原方程化为一般式，再算 的值.
【分析】由于三角形是等腰三角形，那么有两条边是相等的，分成两种情况讨论，看求出的三边能否组成三角形.
【答案】若 、 中有一个为3，不妨设b=3．则 ，解得 ．
此时原方程为 ，它的另一个根为 ，则 可以构成等腰三角形．
若 ，则 ，解得m=4．此时原方程为 ，
它的两根为 ，则 可以构成等腰三角形．
综上所述，m的值为3或4．
【答案】（1）当 时，方程有两个相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根.
题型三
【例4】已知关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值及这时方程的根.
【分析】方程有两个相等的实数根，即 ，求出 的取值，把 代入就可以得出方程的根.
【答案】把原方程变形为
.
因为方程有两个相等的实数根，所以 .
【答案】B；A；D；D.
解答题：
13不解方程判断下列方程根的情况
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) .
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个不相等的实数根；
（3）方程没有实数根；
（4）方程有两个相等的实数根；
（5）方程有两个相等的实数根；
(1) ； (2) ；
(3) ；(4) .
【答案】（1）方程没有实数根；（2）方程有两个不相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；（4）方程有两个不相等的实数根.
6. 取何值时，关于 的一元二次方程
(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？
【答案】（1） （2） （3）
2.一元二次方程 的根的判别式的值等于____________.
3.方程 的根的判别式△=___________，它的根的情况是__________________.
4.不解方程，判定方程 的实根个数为__________________.
5.方程 ，当m________时，是关于 的一元二次方程，它的根的判别式△=________．
【答案】 且 .
【课堂总结】
【课后作业】
一、基础复习巩固
1．下列说法正确的是 ( )
(A)方程 没有实数根
(B)方程 有两个相等的实数根
(C)在方程 中，如果 ，那么这个方程有两个不相等的实数根
(D)无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根
2．下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
(A)
（B）
(C)
题型二：
【例3】已知关于 的方程 ， 取何值时，此方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
【分析】①中方程“有两个不实数根”，意味着方程的判别式必大于.②是说“有两个相等的实数根”，意味着方程的判别式等于零.③ “没有实数根”，说明方程的判别式是小于零的.
【答案】（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以
【借题发挥】
1.已知三角形的两边分别为1和2，第三边的数值是方程 的根，求这个三角形的周长.
【答案】4.5
【随堂练习】
填空题：
1.关于 的一元二次方程 的根的判别式△=___________，当判别式△_________时，方程有两个不相等的实数根，当△______________时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程__________实数根，当△≥O时，方程的两个根分别是 _________, ___________.
4.2个不相等的实数根；
5. ；
6.8；
7. ；
8.有两个不相等的实数根.
选择题：
9.如果一元二次方程 有两个相等的实数根，那么 的值是( )
(A)0或 ； (B) ； (C)0； (D) ．
10.方程 （ 为实数）的根的情况是 ( )
(A)有两个不相等的实数根； (B)有两个相等的实数根；
(C)没有实数根； (D)以上三种情况都有可能．
学科教师辅导讲义
年级：科目：数学课时数：
课题
一元二次方程根的判别式B
教学目的
1.会根据根的判别式判断方程的根的情况，会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围；
2.通过从具体到抽象的认识活动，锻炼观察、分析、归纳、概括能力.
教学内容
【知识梳理】
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
（1）方程 有两个实数根.
（2）方程 没有实数根.
（3）方程 有两个不相等的实数根.
（4）方程 有两个不相等的实数根.
【答案】（1） ；（2）任何实数；（3） ；（4） .
10.已知等腰三角形的三条边长为 ，且 是方程 的两个根，求m的值.
【答案】 或4.
11．求证；关于 的方程 有两个不相等的实数根.
（6）方程没有实数根；
（7）方程没有实数根；
（8）方程没有实数根.
14.当m取何值时，关于 的方程 ，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
【答案】（1） ；（2） （3） .
15．如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
【答案】 且 .
16．当m取何值时，关于 的一元二次方程 有两个实数根.
【答案】 ，所以原方程有两个不相等的实数根.
二、综合提高训练
1.已知 ABC的三条边长为 ，且关于 的方程 有两个相等的实数根，试判断 ABC的形状.
【答案】由已知得 ，即 ，亦即
所以 或 .所以 ABC是等腰三角形.
11.下列说法中，正确的是 ( )
(A)方程 有两个相等的实数根；
(B)方程 没有实数根；
(C)如果 ，那么方程 有两个不相等的实数根；
(D)无论m为何值，方程 总有两个不相等的实数根．
12.如果关于 的方程 有两个实数根，那么m的取值范围是 ( )
(A) ； (B) 且m≠2；
(C)m≥一4; (D)m≥ 且m≠2．
6.已知方程 有两个相等的实数根，则m的值为____________________.
7.方程 的根的判别式是__________________．
8.关于 的一元二次方程 （ 、 均为实数）根的情况为_________________．
【答案】
1. ；没有； ；
2.0；
3.1，有两个不相等的实数根；
即
解得：
当 时，方程有两个不相等的实数根.
（2）因为方程有两个相等的实数根，所以
即
解得：
当 时，方程有两个相等的实数根.
（3）因为方程没有实数根，所以
即
解得：
当 时，方程有两个不相等的实数根.
【借题发挥】
1.当 取何值时，关于 的方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
（3）方程有两个相等的实数根.
【例2】关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【分析】判断是否有实数根，先判断 ，求出 ，平方不会小于0，由此得到 .
【答案】 .
因为 是实数，所以 ，即 .
所以此方程一定有实数根.
【借题发挥】
1.关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【答案】一定有实数根.因为 .
由
得
解得 或
把 代入方程得
即
这时原方程的根是 .
把 代入原方程，得
即 .
这时原方程的根是 .
【借题发挥】
1.当 为何值时，关于 的方程 有实数根？并求出方程这时的根（用含 的代数式表示）.
【答案】 时，方程有实数根；根是 .
题型四ห้องสมุดไป่ตู้
【例5】设等腰三角形的三条边长分别为以 、 、 ，已知 =3，且 、 是方程 的两个根，求m的值．
7.求m为何值时，关于 的方程 有实数根？
【答案】 .
8.已知关于 的方程 ．
(1)若方程只有一个根，求 的值，并求此时方程的根；
(2)若方程有两个相等的实根，求 的值，并求此时方程的根.
【答案】（1） （2）当 =2时， ，当 ， .
9.根据下面给定的条件，应用根的判别式，求下列各方程中字母m的取值范围：
(D)
3．当 时，方程 的根的情况是 ( )
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)没有实数根 (D)不能确定有没有实数根
【答案】D；C；C.
4．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是______________．
【答案】 .
5．不解方程，判断下列关于 的方程的根的情况:
（2）把原方程化为 ，∵ ，所以原方程有两个相等的实数根；
（3）把原方程化为 .∵ ，所以原方程没有实数根.
【借题发挥】
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
（1） ； （2） ； （3） .
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程没有实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根.
上述判断反过来也是正确的，即
当方程有两个不相等的实数根时， ；
当方程有两个相等的实数根时， ；
当方程没有实数根时， .
【典型类型讲解】
题型一：
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况
（1） ； （2） ； （3） .
【分析】判断方程根的情况也就是判断 的大小，对于第（2）（3）题都是先把原方程化为一般式，再算 的值.
【分析】由于三角形是等腰三角形，那么有两条边是相等的，分成两种情况讨论，看求出的三边能否组成三角形.
【答案】若 、 中有一个为3，不妨设b=3．则 ，解得 ．
此时原方程为 ，它的另一个根为 ，则 可以构成等腰三角形．
若 ，则 ，解得m=4．此时原方程为 ，
它的两根为 ，则 可以构成等腰三角形．
综上所述，m的值为3或4．
【答案】（1）当 时，方程有两个相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根.
题型三
【例4】已知关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值及这时方程的根.
【分析】方程有两个相等的实数根，即 ，求出 的取值，把 代入就可以得出方程的根.
【答案】把原方程变形为
.
因为方程有两个相等的实数根，所以 .
【答案】B；A；D；D.
解答题：
13不解方程判断下列方程根的情况
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) .
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个不相等的实数根；
（3）方程没有实数根；
（4）方程有两个相等的实数根；
（5）方程有两个相等的实数根；
(1) ； (2) ；
(3) ；(4) .
【答案】（1）方程没有实数根；（2）方程有两个不相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；（4）方程有两个不相等的实数根.
6. 取何值时，关于 的一元二次方程
(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？
【答案】（1） （2） （3）
2.一元二次方程 的根的判别式的值等于____________.
3.方程 的根的判别式△=___________，它的根的情况是__________________.
4.不解方程，判定方程 的实根个数为__________________.
5.方程 ，当m________时，是关于 的一元二次方程，它的根的判别式△=________．
【答案】 且 .
【课堂总结】
【课后作业】
一、基础复习巩固
1．下列说法正确的是 ( )
(A)方程 没有实数根
(B)方程 有两个相等的实数根
(C)在方程 中，如果 ，那么这个方程有两个不相等的实数根
(D)无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根
2．下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
(A)
（B）
(C)
题型二：
【例3】已知关于 的方程 ， 取何值时，此方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
【分析】①中方程“有两个不实数根”，意味着方程的判别式必大于.②是说“有两个相等的实数根”，意味着方程的判别式等于零.③ “没有实数根”，说明方程的判别式是小于零的.
【答案】（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以
【借题发挥】
1.已知三角形的两边分别为1和2，第三边的数值是方程 的根，求这个三角形的周长.
【答案】4.5
【随堂练习】
填空题：
1.关于 的一元二次方程 的根的判别式△=___________，当判别式△_________时，方程有两个不相等的实数根，当△______________时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程__________实数根，当△≥O时，方程的两个根分别是 _________, ___________.
4.2个不相等的实数根；
5. ；
6.8；
7. ；
8.有两个不相等的实数根.
选择题：
9.如果一元二次方程 有两个相等的实数根，那么 的值是( )
(A)0或 ； (B) ； (C)0； (D) ．
10.方程 （ 为实数）的根的情况是 ( )
(A)有两个不相等的实数根； (B)有两个相等的实数根；
(C)没有实数根； (D)以上三种情况都有可能．
学科教师辅导讲义
年级：科目：数学课时数：
课题
一元二次方程根的判别式B
教学目的
1.会根据根的判别式判断方程的根的情况，会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围；
2.通过从具体到抽象的认识活动，锻炼观察、分析、归纳、概括能力.
教学内容
【知识梳理】
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
（1）方程 有两个实数根.
（2）方程 没有实数根.
（3）方程 有两个不相等的实数根.
（4）方程 有两个不相等的实数根.
【答案】（1） ；（2）任何实数；（3） ；（4） .
10.已知等腰三角形的三条边长为 ，且 是方程 的两个根，求m的值.
【答案】 或4.
11．求证；关于 的方程 有两个不相等的实数根.
（6）方程没有实数根；
（7）方程没有实数根；
（8）方程没有实数根.
14.当m取何值时，关于 的方程 ，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
【答案】（1） ；（2） （3） .
15．如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
【答案】 且 .
16．当m取何值时，关于 的一元二次方程 有两个实数根.
【答案】 ，所以原方程有两个不相等的实数根.
二、综合提高训练
1.已知 ABC的三条边长为 ，且关于 的方程 有两个相等的实数根，试判断 ABC的形状.
【答案】由已知得 ，即 ，亦即
所以 或 .所以 ABC是等腰三角形.
11.下列说法中，正确的是 ( )
(A)方程 有两个相等的实数根；
(B)方程 没有实数根；
(C)如果 ，那么方程 有两个不相等的实数根；
(D)无论m为何值，方程 总有两个不相等的实数根．
12.如果关于 的方程 有两个实数根，那么m的取值范围是 ( )
(A) ； (B) 且m≠2；
(C)m≥一4; (D)m≥ 且m≠2．
6.已知方程 有两个相等的实数根，则m的值为____________________.
7.方程 的根的判别式是__________________．
8.关于 的一元二次方程 （ 、 均为实数）根的情况为_________________．
【答案】
1. ；没有； ；
2.0；
3.1，有两个不相等的实数根；
即
解得：
当 时，方程有两个不相等的实数根.
（2）因为方程有两个相等的实数根，所以
即
解得：
当 时，方程有两个相等的实数根.
（3）因为方程没有实数根，所以
即
解得：
当 时，方程有两个不相等的实数根.
【借题发挥】
1.当 取何值时，关于 的方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
（3）方程有两个相等的实数根.
【例2】关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【分析】判断是否有实数根，先判断 ，求出 ，平方不会小于0，由此得到 .
【答案】 .
因为 是实数，所以 ，即 .
所以此方程一定有实数根.
【借题发挥】
1.关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【答案】一定有实数根.因为 .
由
得
解得 或
把 代入方程得
即
这时原方程的根是 .
把 代入原方程，得
即 .
这时原方程的根是 .
【借题发挥】
1.当 为何值时，关于 的方程 有实数根？并求出方程这时的根（用含 的代数式表示）.
【答案】 时，方程有实数根；根是 .
题型四ห้องสมุดไป่ตู้
【例5】设等腰三角形的三条边长分别为以 、 、 ，已知 =3，且 、 是方程 的两个根，求m的值．
7.求m为何值时，关于 的方程 有实数根？
【答案】 .
8.已知关于 的方程 ．
(1)若方程只有一个根，求 的值，并求此时方程的根；
(2)若方程有两个相等的实根，求 的值，并求此时方程的根.
【答案】（1） （2）当 =2时， ，当 ， .
9.根据下面给定的条件，应用根的判别式，求下列各方程中字母m的取值范围：
(D)
3．当 时，方程 的根的情况是 ( )
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)没有实数根 (D)不能确定有没有实数根
【答案】D；C；C.
4．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是______________．
【答案】 .
5．不解方程，判断下列关于 的方程的根的情况: