备战2020年高考数学一轮复习第3单元导数及其应用单元训练(A卷,理,含解析)(最新整理)
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A． B．
C． D．
4．函数 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．过点 作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．
7．已知函数 在区间 上不是单调函数,则实数 的取值范围是( ）
A． B． C． D．
三、解答题:本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分)已知曲线 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程;
（2)求曲线 过原点 的切线方程．
18．(12分）设函数 ，若函数 的图象在点 处与直线 相切．
（1）求实数 , 的值;
(2）求函数 在 上的最大值．
19．（12分）求证： ．
由 ,可得 ，令 ，可得 或 ，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以只有B符合条件，故选B．
10．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因此当 时， 在 上是增函数,即在 上是增函数;
当 时, 在 上是减函数，因此 ;值域不为R；
当 时， ，当 时, 只有一个零点，即 只有一个零点；
设切点为 ，则 ， ，所以过 点的切线只有一条,
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A)
第3单元 导数及其应用
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
（2）由(1）知， ， （ ）．
∴当 时, ;当 时， ．
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
则 ．
19．【答案】见解析．
【解析】 ,所以 ,
当x≥0时,h'(x）≥0，h(x）为增函数；
当 时, ,h（x）为减函数，
所以h（x）≥h（0）＝0，所以 ．
20．【答案】（1） ;（2）当 时， 的单调增区间是 ;
故选C．
3．【答案】C
【解析】由题意,根据导函数的图象,可得当 时, ，
则函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减,故选C．
4．【答案】D
【解析】函数的定义域为 ， ，
当 时，函数单调递增，所以有 或 ,而函数的定义域为 ,
所以当 时，函数单调递增，故本题选D．
5．【答案】D
【解析】 的定义域是（0,+∞)， ,
当 时, 的单调递减区间是 ;递增区间是 ．
【解析】（1）当 时， ，所以 ．
所以 ， ，所以切线方程为 ．
（2） ．当 时,在 时， ，
所以 的单调增区间是 ;
当 时，函数 与 在定义域上的情况如下：
所以 的单调递减区间是 ；递增区间是
．
综上所述：当 时， 的单调增区间是 ；
当 时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
综上选B．
11．【答案】C
【解析】 的解集即为 的解集，
构造函数 ，则 ,
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 的解集为 ,
不等式 的解集为 ．故选C．
12．【答案】C
【解析】由题意， ， ，
设 ， ， , ，
设 ， ,
, 在 单调递减,且 ，
，所以 在 递减，
， ,故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
（2）令切点为 ，因为切点在函数图像上，所以 ， ，
所以在该点处的切线为
因为切线过原点，所以 ，解得 或 ,
当 时，切点为（0，0）, ,切线方程为 ，
当 时,切点为 ， ，切线方程为y=0，
所以切线方程为 或y=0．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ,得 ,
∴ ，则 ，解得 ， ．
若函数 有两个不同的极值点，则 在（0,+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得 ，故选D．
6．【答案】A
【解析】设切点为(m,m3-3m）, 的导数为 ,
可得切线斜率 ,
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2—3）（x﹣m)，
代入点 ，可得﹣6﹣m3+3m＝（3m2-3）(2﹣m）,解得m＝0或m＝3，
20．(12分)已知函数 ．
（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间．
21．(12分)已知函数 （m为常数）．
（1）当m=4时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个极值Байду номын сангаас，求实数m的取值范围．
22．(12分）函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
(2）若方程 在区间 上恰有两个不等的实根，求实数 的取值范围．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第3单元 导数及其应用 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由题意知： ， ， ， ，
本题正确选项D．
2．【答案】C
【解析】当 时， ,即点 在曲线 上．
， ，
则 在点 处的切线方程为 ,即 ．
4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1）处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ）
13．【答案】2
【解析】∵函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
， ， ，
故答案为2．
14．【答案】
【解析】 ， ，令 ，得 ，
在区间 上讨论：
当 时, ，函数为增函数；
当 时, ，函数为减函数，
所以函数在 上的极值为 ，故答案是 ．
15．【答案】
【解析】由题意，可得 ，
令 ， ,即 ， ，
则 ，
当 时, ；当 时， ，
所以当 以及 时, 为增函数；当 时, 为减函数,
在 处， 取得极大值 ，在 处, 取得极大值 ．
而 恒过定点 ,两个函数图像如图,
要使得存在唯一的正整数 ,使得 ,
只要满足 ，即 ，解得 ，故选B．
9．【答案】B
【解析】方法一：排除法:当 时, ，排除C,
当 时, 恒成立，排除A、D，故选B．
方法二： ，
即 在 为增函数，在 为减函数,
又 ， , ，
故函数的值域为 ．
16．【答案】
【解析】因为 ,
所以 ,
又函数 无极值,所以 恒成立，
故 ，即 ，解得 ．
故答案为 ．
三、解答题：本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ;（2） 或 ．
【解析】（1)由题意得 ，所以 ， ，可得切线方程为 ,整理得 ．
由此可得 的大致图像如图：
要使方程 在区间 上恰有两个不等的实根等价于函数 与 轴在区间 有两个不同交点,从图像可得 ，解得 ，故答案为 ．
8．若存在唯一的正整数 ，使关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是( ）
A． B． C． D．
9．函数 (其中e为自然对数的底数)的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
10．函数 ，正确的命题是( ）
A．值域为 B．在 是增函数
C． 有两个不同的零点D．过 点的切线有两条
11．定义在 上的函数 满足 ，且 ,则不等式 的解集为（ ）
当m=0时,切线方程为 ；
当m=3时，切线方程为 ，故选A．
7．【答案】C
【解析】因为 ( ),所以 ，
由 ，得 ，
所以当 时, ，即 单调递增；
当 时, ，即 单调递减,
又函数 在区间 上不是单调函数，
所以有 ，解得 ．故选C．
8．【答案】B
【解析】设 ，则存在唯一的正整数 ,使得 ，
设 ， ,
因为 ,
A． B． C． D．
12．已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13．函数 在 处的切线方程是 ，则 ______．
14．函数 在 上极值为____________．
15．函数 的值域为_________．
16．已知函数 无极值，则实数 的取值范围是______．
21．【答案】（1）单调递增区间为(1，2)和（5,＋∞)，单调递减区间为 ；(2) ．
【解析】依题意，函数的定义域为（1,＋∞）．
（1）当m＝4时， ．
，
令 ,解得 或 ；令 ，解得 ．
可知函数 的单调递增区间为（1,2）和（5，＋∞），单调递减区间为 ．
（2） ．
若函数 有两个极值点,则 ，解得 ．
22．【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ;（2） ．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，则 ， ，
由于 恒成立，则 在 上大于零恒成立,
在 上为单调递增函数，
又 ， 当 时， ，则函数 增区间为 ，
当 时， ,则函数 减区间为 ．
（2）令 ，则 ；
令 ，解得 ,
令 ,解得 ，则 的增区间为 ,
令 ，解得 ，则 的减区间为 ，
C． D．
4．函数 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．过点 作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．
7．已知函数 在区间 上不是单调函数,则实数 的取值范围是( ）
A． B． C． D．
三、解答题:本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分)已知曲线 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程;
（2)求曲线 过原点 的切线方程．
18．(12分）设函数 ，若函数 的图象在点 处与直线 相切．
（1）求实数 , 的值;
(2）求函数 在 上的最大值．
19．（12分）求证： ．
由 ,可得 ，令 ，可得 或 ，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以只有B符合条件，故选B．
10．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因此当 时， 在 上是增函数,即在 上是增函数;
当 时, 在 上是减函数，因此 ;值域不为R；
当 时， ，当 时, 只有一个零点，即 只有一个零点；
设切点为 ，则 ， ，所以过 点的切线只有一条,
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A)
第3单元 导数及其应用
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
（2）由(1）知， ， （ ）．
∴当 时, ;当 时， ．
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
则 ．
19．【答案】见解析．
【解析】 ,所以 ,
当x≥0时,h'(x）≥0，h(x）为增函数；
当 时, ,h（x）为减函数，
所以h（x）≥h（0）＝0，所以 ．
20．【答案】（1） ;（2）当 时， 的单调增区间是 ;
故选C．
3．【答案】C
【解析】由题意,根据导函数的图象,可得当 时, ，
则函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减,故选C．
4．【答案】D
【解析】函数的定义域为 ， ，
当 时，函数单调递增，所以有 或 ,而函数的定义域为 ,
所以当 时，函数单调递增，故本题选D．
5．【答案】D
【解析】 的定义域是（0,+∞)， ,
当 时, 的单调递减区间是 ;递增区间是 ．
【解析】（1）当 时， ，所以 ．
所以 ， ，所以切线方程为 ．
（2） ．当 时,在 时， ，
所以 的单调增区间是 ;
当 时，函数 与 在定义域上的情况如下：
所以 的单调递减区间是 ；递增区间是
．
综上所述：当 时， 的单调增区间是 ；
当 时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
综上选B．
11．【答案】C
【解析】 的解集即为 的解集，
构造函数 ，则 ,
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 的解集为 ,
不等式 的解集为 ．故选C．
12．【答案】C
【解析】由题意， ， ，
设 ， ， , ，
设 ， ,
, 在 单调递减,且 ，
，所以 在 递减，
， ,故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
（2）令切点为 ，因为切点在函数图像上，所以 ， ，
所以在该点处的切线为
因为切线过原点，所以 ，解得 或 ,
当 时，切点为（0，0）, ,切线方程为 ，
当 时,切点为 ， ，切线方程为y=0，
所以切线方程为 或y=0．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ,得 ,
∴ ，则 ，解得 ， ．
若函数 有两个不同的极值点，则 在（0,+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得 ，故选D．
6．【答案】A
【解析】设切点为(m,m3-3m）, 的导数为 ,
可得切线斜率 ,
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2—3）（x﹣m)，
代入点 ，可得﹣6﹣m3+3m＝（3m2-3）(2﹣m）,解得m＝0或m＝3，
20．(12分)已知函数 ．
（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间．
21．(12分)已知函数 （m为常数）．
（1）当m=4时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个极值Байду номын сангаас，求实数m的取值范围．
22．(12分）函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
(2）若方程 在区间 上恰有两个不等的实根，求实数 的取值范围．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第3单元 导数及其应用 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由题意知： ， ， ， ，
本题正确选项D．
2．【答案】C
【解析】当 时， ,即点 在曲线 上．
， ，
则 在点 处的切线方程为 ,即 ．
4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1）处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ）
13．【答案】2
【解析】∵函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
， ， ，
故答案为2．
14．【答案】
【解析】 ， ，令 ，得 ，
在区间 上讨论：
当 时, ，函数为增函数；
当 时, ，函数为减函数，
所以函数在 上的极值为 ，故答案是 ．
15．【答案】
【解析】由题意，可得 ，
令 ， ,即 ， ，
则 ，
当 时, ；当 时， ，
所以当 以及 时, 为增函数；当 时, 为减函数,
在 处， 取得极大值 ，在 处, 取得极大值 ．
而 恒过定点 ,两个函数图像如图,
要使得存在唯一的正整数 ,使得 ,
只要满足 ，即 ，解得 ，故选B．
9．【答案】B
【解析】方法一：排除法:当 时, ，排除C,
当 时, 恒成立，排除A、D，故选B．
方法二： ，
即 在 为增函数，在 为减函数,
又 ， , ，
故函数的值域为 ．
16．【答案】
【解析】因为 ,
所以 ,
又函数 无极值,所以 恒成立，
故 ，即 ，解得 ．
故答案为 ．
三、解答题：本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ;（2） 或 ．
【解析】（1)由题意得 ，所以 ， ，可得切线方程为 ,整理得 ．
由此可得 的大致图像如图：
要使方程 在区间 上恰有两个不等的实根等价于函数 与 轴在区间 有两个不同交点,从图像可得 ，解得 ，故答案为 ．
8．若存在唯一的正整数 ，使关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是( ）
A． B． C． D．
9．函数 (其中e为自然对数的底数)的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
10．函数 ，正确的命题是( ）
A．值域为 B．在 是增函数
C． 有两个不同的零点D．过 点的切线有两条
11．定义在 上的函数 满足 ，且 ,则不等式 的解集为（ ）
当m=0时,切线方程为 ；
当m=3时，切线方程为 ，故选A．
7．【答案】C
【解析】因为 ( ),所以 ，
由 ，得 ，
所以当 时, ，即 单调递增；
当 时, ，即 单调递减,
又函数 在区间 上不是单调函数，
所以有 ，解得 ．故选C．
8．【答案】B
【解析】设 ，则存在唯一的正整数 ,使得 ，
设 ， ,
因为 ,
A． B． C． D．
12．已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13．函数 在 处的切线方程是 ，则 ______．
14．函数 在 上极值为____________．
15．函数 的值域为_________．
16．已知函数 无极值，则实数 的取值范围是______．
21．【答案】（1）单调递增区间为(1，2)和（5,＋∞)，单调递减区间为 ；(2) ．
【解析】依题意，函数的定义域为（1,＋∞）．
（1）当m＝4时， ．
，
令 ,解得 或 ；令 ，解得 ．
可知函数 的单调递增区间为（1,2）和（5，＋∞），单调递减区间为 ．
（2） ．
若函数 有两个极值点,则 ，解得 ．
22．【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ;（2） ．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，则 ， ，
由于 恒成立，则 在 上大于零恒成立,
在 上为单调递增函数，
又 ， 当 时， ，则函数 增区间为 ，
当 时， ,则函数 减区间为 ．
（2）令 ，则 ；
令 ，解得 ,
令 ,解得 ，则 的增区间为 ,
令 ，解得 ，则 的减区间为 ，