风险度量的VAR方法

例如：
A银行2006年4月1日公布其持有期为10天、置 信水平为99%的VaR为1000万元。这意味着如下3种 等价的描述：
– A银行从4月1日开始，未来10天内资产组合的损失大于 1000万元的概率为1%；
– 以99％的概率确信：A银行从4月1日起未来10天内的损 失不超过1000万元。
– 平均而言，A银行在未来的100天内有1天损失可能超过 1000万元
第二章 风险度量的VaR方法
第1节 风险价值VaR的基本概念 第2节 VaR的计算 第3节 基于历史数据模拟法的VaR计算 第4节 蒙特卡罗模拟法 第5节 投资组合风险分析 第6节 VaR方法的局限及其最新进展
第1节 VaR的基本概念
VaR的定义 VaR的基本特点 置信度和持有期的选择和测定
VaR的定义
VAR（Value at Risk），译为在险价值或受险价
值，是以货币形式表示的风险。
定义（Jorion ，1997）：VaR是衡量在正常的市场条 件和某一给定的置信水平下，某一金融资产或证券组 合在未来特定的一段时间Δt内，可能遭受的最大损失。
若设Δt：1个月 置信水平：95% VaR：5000万元
缺陷
组合中不同类型金融工具之间的相关系数常常难以确定，而且随着n 的增加，计算量也大幅度增加；
正态分布假设常常与实际中的尖峰后尾现象不符合。
• 采用风险因子映射估值法，该法的基本思想是，不同的金融工具 往往受共同的风险因子影响，利用定价理论和方法找到共同的风 险因子与金融工具的映射关系，再借助于映射关系观测组合价值 的变化和分布，而共同的风险因子数量一般远远少于组合中金融 工具的数量，从而使计算量大幅度地减少。
由于VaR可以用来比较分析由不同的市场风险因子引起的、不同资 产组合之间的风险大小 ，所以VaR 是一种具有可比性的风险度量 指标。
在市场处于正常波动的状态下，时间跨度越短，收益率就越接近于 正态分布。此时，假定收益率服从正态分布计算的VaR比较准确、 有效。
置信度和持有期是影响 VaR值的两个基本参数。
不包含崩盘或突发事件
• 假设1个基金经理希望在接下来的10天时间内，在95%概 率上其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则我们 可以将其写作：
P( ΔV ≤VaR ) = P( ΔV ≤1,000,000 ) ≥95%
VaR回答的问题：
我们在c的置信水平上，在接下来的T个交易日中损失程度 不会超过的金额。
P(V VaR) 1 c P(V VaR) c P(V VaR) 1 c
（2-1-1）
从数学意义上来说，VAR实际上是一个资产（组合）在未来 一定持有期内，损失分布的分位数。表明该资产（组合）在持 有期内以c的概率保障损失最大不会超过VAR 。
定义隐含两个假设
假设投资组合的构成在持有期间内维持不变 VAR计算的最大损失值是在正常的情况下，它
灵敏度分析法 Delta Gamma
第2节 VaR的计算
基于收益率映射估值法的VaR的计算
金融资产价格序列，如股票价格序列，常常缺乏平稳 性，而收益率序列一般满足平稳性，通常使用收益率的 概率分布来考察组合的未来损益的变化。
设： V0——某组合的初始价值 Δt——持有期 R——组合在持有期Δt内的收益率，其概率分布已知， 记其期望收益率与波动率分别为μ和σ
这意味着该投资者估计资产在1个月后发生损失 额超过5000万的概率不会超过5%。
对VAR的描述 有一位持有价值为1亿美元的中期国库券的投 资者，在1个月内该头寸会有多少损失呢？ • 用历史数据来模拟该项投资的1个月期收益率 • 下图是自1953年以来5年期美国中期国库券的月收益率情况，该图表明收益率在 +5%和5%之间波动。 • 按照从最低到最高的顺序有规则地排列这些数字，计算每一个“横格”中包含 的观察值个数，建立一个月收益率的概率分布图
假设R~N(μ,σ2)，则
VaRA
P(VA
VaRA )
P( R
V0
)
VaRA
V0
1
exp(
x2
)dx
VaRA ( V0
)
1
c
2
2
VaRA =V0 (1(c) ) VaRR =V01(c)
VaRA
( V0
)c
ΔVR=V0(R−μ) 假设R~N(μ,σ2)，则
第2节 VaR的计算
VaRR
则： VaRA =1(c) A A VaRR =1(c)
n
wi i
i 1
nn
2
wi w j ij i j
i1 j1
第2节 VaR的计算
④ 关于VaR的加总问题：
• 假设已知持有期为1日的VaR，如何求持有期为Δt日的 VaR？
• 假设组合的日投资收益率服从正态分布N(μ,σ2)，并且在 持有期Δt为1日内组合的日投资收益率都是独立同分布的。
在此只能全面地给出选择和设定置信度和持有期时应该考虑
的基本因素和需要注意的问题。
持有期的选择和设定：
VaR的大小 VaR的可靠性
确定组合收益率的概率分布
直接假定收益率服从某一概率分布（通常假定服从正态分布） →期限短
用组合的历史样本数据模拟收益率的概率分布，持有期的选择 和设定应考虑数据的充分性和有效性。
R
1 V0
n
V0,i E(Ri
i1
i ) 0
2 R
var(
R)
1 V02
n i1
n
V0,iV0, j iji j
j1
2 A
VaRR =V01(c) R
③ 关于资产组合的VaR的计算：
第2节 VaR的计算
资产组合为：w=(w1,w2, …,wn)，即P0,i=wi 组合的初始价值： w=w1+w2+ …+wn=1
552次观察中出现的次数
100
50
5%损失概率
0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
VaR的数学定义
假设：
V 为投资组合目前的价值VAR用数学公式可以表示为： ⊿V 表示投资组合在未来N天的价值损益变化 c为置信水平（一般为99％、95％等）
那么在未来N天，VAR用数学公式可以表示为：
VaR的基本特点
计算VaR的基本公式（2-1-1）仅在市场处于正常波动的状态下才有 效，而无法准确度量极端情形时的风险。
VaR是在某个综合框架下考虑了所有可能的市场风险来源后得到的 一个概率性的风险度量值，而且在置信度和持有期给定的条件下， VaR值越大说明组合面临的风险就越大，反之则说明组合面临的风 险越小。
组合的日损益率：R
VA V0
1 V0
n
V0,i
i 1
VA,i ) 1
V0,i
V0
n
V0,i Ri
i 1
第2节 VaR的计算
根据正态分布的可加性得：
R
~
N
(A,
2 A
)
A
1 V0
n
V0,i i
i 1
2 A
var(R)
1 V02
n i 1
n
V0,iV0, j iji j
j 1
VaRA=V0 1(c) A A
① 组合的投资收益率服从正态分布的日VaR的计算 ② 组合中资产的收益率服从正态分布的日VaR的计算 ③ 关于资产组合的VaR的计算 ④ 关于VaR的时间加总问题 ⑤ 收益率映射估值法优缺点评述
第2节 VaR的计算
① 组合的投资收益率服从正态分布的日VaR的计算
在实际工作中当人们需要计算VaR值时，通常运用正态 求解法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法三种方法
若某组合在未来持有期内的损益ΔV服从概率密度函数为f(r)的连续分布，则
计算VaR的一般步骤VaR
1 c P(V VaR)
f (r)dr
(2 2 1)
ΔV概率分布的确定
收益率映射估值法 风险因子映射估值法
风险因子映射估值模拟法
风险因子映射估值分析法
历史模拟法 Monte Carlo模拟法 情景分析法
持有期越长，需要考察的历史数据的时间跨度就越长，出现的问题和困难 就越多：
长时间的历史数据难以获得； 处理、计算、模拟会比较复杂导致操作成本增加； 越早期的历史数据所包含的有效信息越少。
较短的持有期则可以有效避免上述问题和困难。
持有期的选择和设定：
VaR的大小 VaR的可靠性
确定组合收益率的概率分布
以持有期内组合的预期收益率为基点考察持有期内 组合的价值变化，即
Δ VR=V−E(V) = V0(1+R) − V0(1+μ) = V0(R−μ) 求得的VaR称为相对 VaR ，记为VaRR；
第2节 VaR的计算
基于收益率映射估值法的VaR的计算 ——正态求解法
假设持有期Δt=1，即求日VaR。
考虑组合所处市场的流动性和所持组合头寸交易的频繁性
市场的流动强越强，交易就越容易实现，投资者越容易适时调整投 资组合，头寸变化的可能性就越大，此时，为保证VaR的可靠性， 应选择较短的持有期。
若市场的流动性较差，交易就越容易实现，投资者调整头寸的频率 和可能性就比较小，则宜择较长的持有期。
金融机构会在很多不同市场的流动性差异很大，此时，应根据组合 中比重较大的头寸的流动性来设定持有期。
P(VR
VaRR )
P( R
V0
) ( VaRR ) 1 c
V0
VaRR =V01(c)
(VaRR ) c
V0
对分布参数μ和σ的估计
第2节 VaR的计算
t
1 n
t 1 itn
i
利用资产的历史价格数据所求得的收益率
根据大数定律有：lim n
P(
t
t
) 1
通常在大多数情况下有：t 0
t 的估计量有两种形式：
平均移动法：t =
n
1
1
i
t 11
指数加权法：t = （1- ） ti1(i t )2
i t n
t 1
lim (1 ) ti1 (1 ) i 1
n
itn
i0
正态求解法最适合于单项资产VaR的求解。
第2节 VaR的计算
② 组合中资产的投资收益率服从正态分布的日VaR的计算
假设n种资产的初始价值为： (V0,1,V0,2 , ,V0,n )
n
组合的初始价值为： V0 V0,i
i 1
组合中n种资产的日投资收益率向量为： RV (R1, R2,
, Rn )
RV ~N(μ,Σ)，其中：
(1, 2, , n )
Σ为RV的协方差矩阵
资产i的日损益： VA,i V V0 V0,i (1 Ri ) V0,i V0,i Ri
该组合期末价值为：V= V0(1+R) 价值V的期望值为：E(V) =V0（1+E(R)）= V0(1+μ)
组合价值有2种确定方式：
第2节 VaR的计算
以组合初始值V0为基点考察持有期内组合的价值变 化， 即
Δ VA=V−V0= V0(1+R) −V0= V0R 求得的VaR称为绝对 VaR ，记为VaRA；
当以组合中资产的日预期价值为考察组合的日价值变化时，有
资产i的日损益： VR,i V E(V0) V0,i (1 Ri ) V0,i (1 i ) V0,i (Ri i )
组合的日损益率：R VR V0
1 V0
n
V0,i
i 1
VR,i ) 1
V0,i
V0
n
V0,i (Ri i )
i 1
置信度和持有期的选择和设定
P(V VaR) 1 c P(V VaR) c P(V VaR) 1 c
（2-1-1）
VaR是置信度c和持有期Δt是的函数。
关于置信度和持有期的选择和设定，目前尚无被大家 普遍认可的、统一规范的客观规则和方式，已有的规 则和方式也大都依赖于使用者主观偏好和判断，因而 带有鲜明的主观特征。
• 组合在Δt日的投资收益率服从正态分布N(Δt·μ, Δt·σ2) • 该组合在Δt日的预期投资收益率为Δt·μ，标准差为 t
则： VaRA =1(c) A A VaRR =1(c)
⑤ 收益率映射估值法优缺点评述：
第2节 VaR的计算
优点：
收益率映射估值法原理简单，尤其在正态分布假设下应用更加方便。
置信度的选择和设定：
置信度的选择和设定须考虑历史数据的可得性、充 分性
置信度越高→VaR值越大→ 所需要的历史数据就越多
越过高的置信度→损失超过VaR的事件发生的可能性越小， 即损失超过VaR的历史数据就很少，此时计算的VaR的有效 性和可靠性无法得到保证，甚至没有足够的历史数据来计算 VaR。
置信度的选择和设定还须考虑VaR的用途
置信度的选择和设定还须考虑比较的方便
花旗银行使用95.4%置信水平，美洲银行与JP摩根使用95%的置信 水平，信孚银行使用99%的置信水平
第2节 VaR的计算
VaR的计算方法概括
计算V基aR于值收的核益问率题映就是射组估合未值来法损的益ΔVVa的R概的率计分布算或统计分布的统计。