湖南省郴州市悦来中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析

湖南省郴州市悦来中学2019-2020学年高一数学理下学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数时的值域是（）
A． B. C D [4，5]
参考答案：
C
2. 在同一坐标系中，当时，函数与的图象是（）
参考答案：
当时，是过点的增函数，是过点的减函数，综上答案为C.
3. 已知函数f（x）=2x2+mx+4，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f（1）的取值范围是（）
A．f（1）=14 B．f（1）＞14 C．f（1）≤14D．f（1）≥14
参考答案：
C
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由已知得到对称轴x=﹣≥﹣2，解出m范围，得到f（1）的范围．
【解答】解：由已知函数f（x）=2x2+mx+4，m∈R，它在（﹣∞，﹣2]上单调递减，
则对称轴x=﹣≥﹣2，所以m≤8，
又f（1）=6+m，
所以f（1）﹣6≤8，
所以f（1）≤14，
故选C．
4. △ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则c=( )
A. B. 2 C. D. 1
参考答案：
B
,
所以，整理得求得或
若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出后，要及时判断出，便于三角形的初步定型，也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或，会增大出错率.
5. 已知角的终边过点，且，则m的值为()
A. B. C. D.
参考答案：
C
因为角的终边过点，所以，，
解得，故选A.
6. 对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是（）
A．频率分布直方图与总体密度曲线无关
B．频率分布直方图就是总体密度曲线
C．样本总量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
参考答案：
D
略
7. 已知，，点在圆上运动，则的最小值是（）
A．22 B．10 C．36
D．26
参考答案：
D
略
8. 化简的结果是( )
A．2π﹣9 B．9﹣2πC．﹣1 D．1
参考答案：
C
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据根式的运算性质，可得答案．
【解答】解：=|π﹣4|+π﹣5=4﹣π+π﹣5=﹣1，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是根式的化简和计算，熟练掌握，是解答的关键．
9. 集合，，，则的子集个数为
（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
D
【分析】
先求出，再求中元素的个数，进而求出子集的个数。

【详解】由题可得，所以，里面有2个元素，所以子集个数为个
故选D
【点睛】本题考查集合的基本运算，子集的个数为个，指元素个数
10. 在数列中，（为非零常数），前n项和为，则实数的值为(▲)
A．0 B．1 C． D．2
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为,容器的高为,制作该容器需要______的铁皮.
参考答案：
12. 已知全集U = {x| x取不大于20的质数}，A、B是U的两个子集，且A()={3，5}，() B ={7，19}，()() ={2，17}，则集合A= ，B= ．
参考答案：
A={3,5,11,13} ；B={7，11,13，19}
13. 函数y=的定义域为．
参考答案：
（3，]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．
【解答】解：由log0.9（2x﹣6）≥0，
得0＜2x﹣6≤1，即3＜x．
∴函数y=的定义域为（3，]．
故答案为：（3，]．
14. 在△ABC中，，则∠B的最大值为________。

参考答案：
略
15. 如图，等腰梯形的底边长分别为8和6，高为7，圆为等腰梯形的外接圆，对于平面内两点，（），若圆上存在点，使得
，则正实数的取值范围是．
参考答案：
[2,8]
16. （4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，﹣2），B（1，﹣3，1）），点 M在y轴上，且｜MA｜=｜MB｜，则M的坐标是．
参考答案：
（0，﹣1，0）
考点：空间两点间的距离公式．
专题：空间位置关系与距离．
分析：设出点M（0，y，0），由｜MA｜=｜MB｜，建立关于参数y的方程，求y值即可．解答：设设M（0，y，0），由｜MA｜=｜MB｜，
可得，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．
M的坐标是（0，﹣1，0）．
故答案为：（0，﹣1，0）．
点评：本题考点是点、线、面间的距离计算，空间两点距离公式的应用，考查计算能力．
17. 函数的定义域为
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 在△ABC中，中线长AM＝2.
(1)若；
(2)若P为中线AM上的一个动点，求的最小值．参考答案：
(1)证明：∵M是BC的中点，
＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2，....................................2分当x＝1时，取最小值－2..............................................1分19. （本小题满分14分）一次函数是上的增函数，,已知
．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若在单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，有最大值，求实数的值．
参考答案：
（Ⅰ）∵是上的增函数，∴设---------------------1分
∴， ---------------------------------3分
解得或（不合题意舍去） ---------------------------------5分
∴ ---------------------------------6分
（Ⅱ） ---------------7分
对称轴，根据题意可得， ---------------------------------8分
解得
∴的取值范围为 ---------------------------------9分
（Ⅲ）①当时，即时
，解得，符合题意； -------------------------11分
②当时，即时
，解得，符合题意；----------------------------13分
由①②可得或 ------------------------------14分
20. 某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．
（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；
（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．
参考答案：
【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次函数的最值求法，即可得到最大值；
（2）求得年平均利润为，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x的值．
【解答】解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）
=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），
由二次函数的性质可得，当x=8时，y max=44，
即有总利润的最大值为44万元；
（2）年平均利润为=16﹣（x+），设f（x）=16﹣（x+），x＞0，
由x+≥2=4，当x=2时，取得等号．
由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，
即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．
故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．
21. （1）已知，求
值。

（2）计算
参考答案：
略
22. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体
积为．
（1）求证：EF∥平面A1BC1；
（2）求A1A的长；
（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征．
【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
法二：根据长方体的几何特征由平面A1AB∥平面CDD1C1．证得A1B∥平面CDD1C1．
（2）设A1A=h，已知几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，利用等体积法VABCD﹣A1C1D1=VABCD ﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1，进行求解．
（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出
A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长．
【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D1C，
∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，
∴A1D1∥BC且A1D1=BC．
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥D1C．
∵A1B?平面CDD1C1，D1C?平面CDD1C1，
∴A1B∥平面CDD1C1．
证法二：∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，
∴平面A1AB∥平面CDD1C1．
∵A1B?平面A1AB，A1B?平面CDD1C1．
∴A1B∥平面CDD1C1．
解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴V ABCD﹣A1C1D1=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B﹣A1B1C1=，
即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，
即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．
∴A1A的长为4．
（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，
过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．
因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，
∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1，
∴C1D⊥平面A1PQC1，
且A1P?平面A1PQC1，
∴A1P⊥C1D．
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，
∴=，
∴C1Q=1
又∵PQ∥BC，
∴PQ=BC=．
∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，
∴A1P==。