课时跟踪检测(四十二) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时跟踪检测（四十二） 二倍角的正弦、余弦、正切公式
A 级——学考合格性考试达标练
1．若sin α2＝3
3
，则cos α＝( )
A ．－2
3
B ．－1
3
C ．1
3
D ．23
解析：选C 因为sin α2＝3
3
，
所以cos
α＝1－2sin 2
α
2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332
＝13
. 2．已知α为第三象限角，且cos α＝－5
5，则tan 2α的值为( ) A ．－4
3
B ．43
C ．－34
D ．－2
解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－25
5
，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝－43，故选A. 3．化简cos 25°－sin 25°
sin 40°cos 40°＝( )
A ．1
B ．2
C ．1
2
D ．－1
解析：选B cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°
1
2
cos 10°＝2.故选B.
4．设sin α＝1
3，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2
＝( )
A ．－23
3
B ．
23
3 C ．4
3
D ．－
33
解析：选A ∵sin α＝1
3
，
∴⎝
⎛⎭⎫sin α2＋cos α22
＝1＋sin α＝43.
又2π<α<3π，∴π<α2<3π
2
，
∴sin
α
2＋cos α2＝－233
. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4＝2，则cos 2α＝( )
A ．－3
5
B ．35
C ．－45
D ．45
解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋1
1－tan α＝2，
解得tan α＝1
3
，
则cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝1－191＋19＝45.故选D ．
6.⎝⎛⎭⎫cos π12
－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π
12的值为________．
解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝3
2.
答案：
3
2
7．设－3π<α<－
5π
2
，化简1－cos （α－π）
2的结果是________．
解析：因为－3π<α<－
5π2，－3π2<α2<－5π
4
，所以1－cos （α－π）
2
＝
1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α
2. 答案：－cos α
2
8．已知tan α＝－1
3，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α
＝________．
解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－1
2＝－
5
6
. 答案：－5
6
9．已知α为第二象限角，且sin α＝15
4，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋
π4sin 2α＋cos 2α＋1
的值．
解：原式＝2
2
（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α
＝
2（sin α＋cos α）
4cos α（sin α＋cos α）
.
因为α为第二象限角，且 sin α＝
154
， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－1
4，
所以原式＝2
4cos α
＝－ 2.
10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝25
5
，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝25
5
， ∴sin β＝
55
. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122
＝4
3. ∴0<2β<π
2
，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β
1－tan αtan 2β
＝
7＋431－7×
43
＝－1，
∴α＋2β＝3π
4
.
B 级——面向全国卷高考高分练
1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°
D ．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin
α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝1
2，所以α＝30°.
2．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦
⎤
2⎝
⎛⎭⎫x －
π4等于( ) A ．43
B ．－43
C ．34
D ．－34
解析：选C tan ⎣⎡⎦
⎤
2⎝
⎛⎭⎫x －
π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
2cos ⎝⎛⎭⎫2x －
π2
＝
－cos 2x sin 2x ＝－1
tan 2x
＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34
.
3．已知角α是第一象限角，且cos α＝3
5，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π
4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
2＝( )
A ．2
5
B ．75
C ．145
D ．－25
解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝4
5.所以cos 2α＝cos 2α－
sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝24
25，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π
4cos α＝
1＋cos 2α＋sin 2αcos α
＝14
5. 4．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A
2，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选B 由sin B sin C ＝cos 2A
2得sin B sin C ＝1＋cos A 2，
∴2sin B sin C ＝1＋cos A ，
∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )， ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1. 又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°， ∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．
5．等腰三角形一个底角的余弦为2
3，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝2
3
，
sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝⎛⎭⎫232
＝53.
所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×
53×23＝45
9. 答案：
45
9
6．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋
1
cos θ＝22，则sin 2θ＝________． 解析：
1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ
＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π
2，π，所以2θ∈(π，2π)，
所以sin 2θ＝－1
2.
答案：－1
2
7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6，x ∈R .
(1)求f (π)的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π
2，0，求f (2α)的值．
解：(1)f (π)＝2cos ⎝
⎛⎭
⎫π－
π6＝－2cos π6＝－2×3
2＝－ 3.
(2)因为f ⎝
⎛⎭⎫α＋
2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝
⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝6
5，
所以sin α＝－3
5.又α∈⎝⎛⎭
⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352
＝4
5
， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－24
25， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452
－1＝725
.
所以f (2α)＝2cos ⎝
⎛⎭
⎫2α－
π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×3
2＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－24
25
.
8．已知sin x 2－2cos x
2＝0.
(1)求tan x 的值；
(2)求
cos 2x
cos ⎝⎛⎭
⎫5π
4＋x sin （π＋x ）的值．
解：(1)由sin x 2－2cos x
2＝0，
知cos x 2≠0，∴tan x
2
＝2，
∴tan x ＝
2tan
x 2
1－tan 2
x 2＝2×21－22＝－4
3
. (2)由(1)，知tan x ＝－4
3，
∴
cos 2x
cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝
cos 2x
－cos ⎝⎛⎭
⎫π
4＋x （－sin x ）
＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x
＝
（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）
2
2
（cos x －sin x ）sin x
＝2×cos x ＋sin x
sin x
＝2×1＋tan x
tan x
＝24
. C 级——拓展探索性题目应用练
已知点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？
解：如图所示．∵AB 为半圆的直径，∴∠APB ＝π
2
，又AB ＝1， ∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.
又PT 切半圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋1
2
PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)＝2
4sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋
1
4
.
∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4<3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π
8时，S
四边形ABTP
取得
最大值
24＋14
.。