2023年全国甲卷高考数学理科真题解析

2023年高考全国甲卷数学（理）真题
一、单选题
1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M x
x k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}x
x k k Z =−∈∣ C ．{32,}x
x k k Z =−∈∣ D ．∅
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，
所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }． 故选：A ．
2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A ．-1 B ．0 · C ．1 D ．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为()()()22
i 1i i i 21i 2a a a a a a a +−=−++=+−=，
所以2
2210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.
3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）
A ．21
B ．34
C ．55
D ．89
．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈−−〉=（ B ．25
−
C ．
25
D ．
45
【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+⃗⃗即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,
由题知,1,2,OA OB OC OAB ==是等腰直角三角形AB 边上的高22,22
OD AD =
, 所以232
22
CD CO OD =+==
, 13
tan ,cos 310
AD ACD ACD CD ∠===,
cos ,cos a c b c ACB 〈−−〉=∠故选:D.
5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前158
考虑
3π3π7π
2,2,2
222
x x x
=−==，即x
当
3π
4
x=−时，
3π3π
sin
42
f
⎛⎫⎛⎫
−=−−
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
当
3π
4
x=时，
3π3π
sin1
42
f
⎛⎫
=−=
⎪
⎝⎭
，y
，则PBC的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO
≅，PDB PCA
≅，从而得到PA
，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；
，
1
cos
3
PCB
∠=，从而求得3
PA PC
⋅=−，再利用空间向量的数量
从而求得17
PB=，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO
≅，则∠
，所以PDB PCA
≅，则PA
2,45
PCA
∠=︒，
故在PBC 中，cos PCB ∠PCB <∠<所以PBC 的面积为法二：
,AC BD 交于
，则cos PA PC PA PC ⋅=∠不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()
11
22
PO PA PC PB PD =
+=+，所以()(
)
2
2
PA PC PB PD +=+，
即2
222
22PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅，
()2
17923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即2329m =+−两式相加得22340m −=，故17PB m ==， 故在PBC 中，cos PCB ∠PCB <∠<
所以PBC 的面积为故选：C.
．设O 为坐标原点，13
5
【答案】B
12
PF F S =35
，解得：12
PF F S
=1⎛⨯− ⎝B ．
2
而()
1212
PO PF PF =
+，所以121
2PO PF PF =+，
22
12112211
122122
2PO PF PF PF PF PF PF =
+=+⋅+=
故选：B ．
方法三：因为1226PF PF a +==①，2
2
1212PF PF PF +−2
2
12126125
PF PF PF PF +−
=②，联立①②，解得：
二、填空题
由图可知，当目标函数
3
2 y x =−
由
233
323
x y
x y
−+=
⎧
⎨
−=
⎩
可得
3
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，即
所以max332315
z=⨯+⨯=.故答案为：
由题意可知，O 为球心，在正方体中，则球心O 到1CC 的距离为OM =所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有．在ABC 中，【答案】2
【分析】方法一：利用余弦定理求出方法二：利用余弦定理求出【详解】
cos606=，ABC
ABD
ACD
S
S
S
=+可得，11
602sin 30sin 3022
AD AD b =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，
cos606=，因为60sin b =sin B =，所以45C ，180604575B =−−=， 75ADB =，即2AD AB =． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦
三、解答题
3
12
a ==
=
12n ⎛++⨯ ⎝(1)n ++−12n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎤⎫⎥−*N ∈． 111A B C -中，
(1)证明：1
AC AC =； (2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求【答案】(1)证明见解析
(2)13
1
AC ⊥底面1
AC BC ∴⊥BC ∴⊥平面∴平面ACC 1
平面BCC 1A 到平面在1Rt ACC △设CO =1,AOC △△21CO AO +211x ∴++1AC AC ∴=）1AC AC =Rt ACB △≌1BA =，
作BD AA ⊥11A D =，在Rt ABC △延长AC ，使由CM AC ∥
E X=【答案】(1)分布列见解析，()1
上两点，0FM FN ⋅=，求）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出()22,,N x y 利用0FM FN ⋅=，找到
因为0FM FN ⋅=，所以)(121my n my +−()2121m y y ++2124,y m y y +=
轴围成ABC ,
ABC 的高为所以||=AB 所以ABC S =解得2a =.。