2020届一轮复习人教B版（文）7.2空间几何体的表面积和体积作业

课时作业39空间几何体的表面积和体积
[基础达标]
一、选择题
1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是()
A．3：2 B．2：1
C．4：3 D．5：3
解析：底面半径r＝
2
3π
2πl＝
1
3l，故圆锥中S侧
＝1
3πl2
，S表＝1
3πl2
＋π
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
3l 2＝49πl2，所以表面积与侧面积的比为4：3.
答案：C
2．[2019·东北三省四市联考]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()
A．12＋2 2 B．8＋2 2
C．4＋4 2 D．8＋4 2
解析：本题考查三视图及几何体的表面积．由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2，
高为2，故该四棱锥的表面积为S＝2×2＋2×1
2×2×2＋2×
1
2×2×22＝8＋42，故选D.
答案：D
3．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是( )
A.23
B.43
C.8
3 D ．4
解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥A －PBC (放到棱
长为2的正方体中)，V A －PBC ＝13×S △PBC ×AB ＝13×12×2×2×2＝4
3.故选B.
答案：B
4．[2019·开封市高三考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A.2π9
B.π3
C.16π3
D.16π9
解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆
的半径为2，所以该几何体的体积V ＝13×13×π×22
×4＝169π，故选D.
答案：D 5．[2019·山东潍坊模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．4＋2 3
B ．4＋4 2
C ．6＋2 3
D ．6＋4 2
解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知BC ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥PC ，又AP ＝AC ＝BC ＝2，所以
PC ＝22＋22
＝22，又AB ＝22，所以S △PBC ＝S △P AB ＝12×2×22＝
22，S △ABC ＝S △P AC ＝1
2×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4 2.
答案：B 6．[2019·福州模拟]已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于( )
A.83π
B.323π C ．16π D ．32π 解析：设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2
＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23
＝323π，故选B.
答案：B
7．[2019·福州模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A ．14
B ．10＋4 2
C.21
2＋4 2 D.21＋32＋4 2
解析：解法一 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22
＋2×22＋12×32×(2)2＝
21＋3
2＋42，故选D.
解法二 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝S 三棱柱
表－S 三棱锥侧＋S 三棱锥底＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋2＋22)×2＋2×12×22
－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＋12×32×(2)2
＝21＋32＋42，故选D.
答案：D
8．[2019·山西八校联考]已知一个球的表面上有A ，B ，C 三个点，且AB ＝AC ＝BC ＝23，若球心到平面ABC 的距离为1，则该球的表面积为( )
A ．20π
B ．15π
C ．10π
D ．2π
解析：设球心为O ，△ABC 的中心为O ′，因为AB ＝AC ＝BC
＝23，所以AO ′＝2
3×3＝2，因为球心到平面ABC 的距离为1，所以OO ′＝1，所以AO ＝22＋12＝5，故该球的表面积S ＝4π×(OA )2＝20π.故选A.
答案：A
9．[2019·石家庄摸底考试]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.16(π＋1)3
B.8(2π＋1)3 C ．8(2π＋1) D ．16(π＋1)
解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱锥的底面边长为2，高为2，所以该几何体的体积为13×2×2×2＋13×π×22
×4＝16π＋83，故选B.
答案：B
10．[2019·南昌调研]已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径且P A ＝4，则点P 的底面ABC 的距离为( )
A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3
解析：取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，
所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面
ABC 的距离为2OO 1＝2 2.
答案：B 二、填空题
11．[2019·南昌模拟]如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．
解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋2π＝(3＋2)π.
答案：(3＋2)π
12．[2019·山东潍坊模拟]已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．
解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题
意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h
22，
所以正四棱柱的体积V ＝a 2
h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2
，由V ′>0，
得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.
答案：2
13．[2019·福州四校联考]已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱柱的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的体积为________．
解析：设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC
＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°，∴13×1
2×3×3×h ＝3，∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，
∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π
3.
答案：32π3
14．[2018·江苏卷，10]如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
解析：本题考查组合体体积的计算．
多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，
∴其体积为13×(2)2
×1＝23，∴多面体的体积为43.
答案：43 [能力挑战]
15．[2019·广东广州调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．4＋42＋2 3
B ．14＋4 2
C ．10＋42＋2 3
D ．4
解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S －ABCD .连接AC ，因为AC ＝22＋42＝25，SC
＝
(25)2＋22＝26，SD ＝SB ＝
22＋22＝22，CD ＝
22＋22＝
22，SB 2＋BC 2＝(22)2＋42＝24＝SC 2，故△SCD 为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．过D 作DK ⊥SC 于点K ，则DK ＝
(22)2－(6)2
＝2，△SCD 的面积为12×2×26＝23，△SBC
的面积为12×22×4＝4 2.所求几何体的表面积为1
2×(2＋4)×2＋2×1
2×2×2＋42＋23＝10＋42＋23，选C.
答案：C 16．[2019·河北联盟考试]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD －A ′B ′C ′D ′所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3
－2×12×3×3
2×2＝15，故选C.
答案：C
17．[2019·广州调研]如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥B －CDE ，且长方体的长、宽、高分别为2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,1)，C (0,1,0)，D (1,2,0)，E (0,2,0)，设球心为P (x ，y ，z )，依题意可得|PB |＝|PC |＝|PD |＝|PE |.由|PD |＝|PE |得(x －1)2＋(y
－2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2
，解得x ＝12.由|PC |＝|PE |得x 2＋(y －1)2＋z 2
＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得y ＝3
2.由|PB |＝|PE |得x 2＋y 2＋(z －1)2＝x 2＋(y
－2)2＋z 2
，解得z ＝32.故P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，32，故三棱锥外接球的半径R ＝|PB |
＝14＋94＋14＝112，故该三棱锥的外接球的表面积S ＝4π×114＝11π. 答案：11π。