单体机械能守恒问题

一.必备知识精讲
1重力势能
〔1〕定义：物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。

〔2〕表达式：E p＝mgh，其中h是相对于参考平面的高度。

〔3〕特点：
①系统性：重力势能是地球与物体所组成的“系统〞所共有的。

②相对性：重力势能的数值与所选参考平面有关。

③标量性：重力势能是标量，正负表示大小。

〔4〕重力做功的特点
①物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。

②重力做功不引起物体机械能的变化。

〔5〕重力做功与重力势能变化的关系
①)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大。

②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，
即W G＝E p1－E p2＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p。

2. 弹性势能
〔1〕定义：发生弹性形变的物体的各局部之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。

〔2〕大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，弹性势能就越大。

〔3〕弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W ＝－ΔE p。

3. 机械能守恒定律
〔1〕内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

〔2〕常用的三种表达式
①守恒式： E1＝E2或E k1＋E p1＝E k2＋E p2。

E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。

②转化式：ΔE k＝－ΔE p或ΔE k增＝ΔE p减。

表示系统势能的减少量等于动能的增加量。

③转移式：ΔE A＝－ΔE B或ΔE A增＝ΔE B减。

表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。

〔3〕机械能守恒的条件
①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
③系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
〔4〕机械能保持不变判断方法
①用定义判断：假设物体动能、势能均不变，那么机械能不变。

假设一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。

②用做功判断：假设物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。

③用能量转化来判断：假设物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，那么物体或系统机械能守恒。

6.单体机械能守恒问题解题的一般步骤
在处理单个物体机械能守恒问题时，要选取方便的机械能守恒定律方程形式(E k1＋E p1＝E k2
＋E p2、ΔE k ＝－ΔE p )进行求解。

二.典型例题精讲
例1： (人教版必修第二册·P 93·T 3改编)(多项选择)如下图，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上。

假设以地面为零势能面，而且不计空气阻力，那么以下说法正确的选项是( )
A ．重力对物体做的功为mgh
B ．物体在海平面上的重力势能为mgh
C ．物体在海平面上的动能为12mv 2
0－mgh
D ．物体在海平面上的机械能为12mv 2
答案 AD
解析 从地面到海平面重力对物体做的功为mgh ，故A 正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh ，故B 错误；物体在地面上的机械能为12mv 2
0，由机械能守恒定律
得，物体在海平面上的机械能也为12mv 20，故D 正确；在海平面上的动能为12mv 20－(－mgh )＝
1
2
mv 20＋mgh ，故C 错误。

例2：如下图，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A 点，轨道半径R ＝1 m ，将滑块由B 点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C 点，OC 水平，OD 竖直，x AB ＝2 m ，滑块可视为质点，取g ＝10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，c os 37°＝0.8，求： (1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)假设滑块能从D 点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A 点多远． 答案 (1)1 s (2)5.75 m
解析 (1)设滑块到达A 点的速度为v A ，从A 到C 过程机械能守恒有 12
mv A 2
＝mgR cos 37° 从B 到A 过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v A 2
＝2ax AB
v A＝at
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为v D，在D点，由重力提供向心力，有mg＝m v D2 R
从A到D由机械能守恒有
1 2mv A′2＝mgR(1＋cos 37°)＋
1
2
mv D2
v A′2＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75 m.
三.举一反三，稳固练习
1.一蹦极运发动身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运发动可视为质点，以下说法正确的选项是( )
A．运发动到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运发动、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
答案ABC
解析在运发动到达最低点前，运发动一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，应选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运发动向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，应选项B正确；对于运发动、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，应选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即W G＝－ΔE p，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，应选项D错误．
2. (多项选择)如下图，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A 球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，那么经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
答案：BD。

解析：空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。

3.(·八省联考卷)一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于r1和r2时的重力势能分别为3E0和E0(E0>0)。

假设物块位于r1时速度为0，那么位于r2时其速度大小为( )
A．2 E0
m
B.
6E0
m
C．2 2E0
m
D.4
E0
m
答案 A
解析物块仅在重力作用下运动，物块的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知E1＝
E2，代入条件为3E0＋0＝E0＋1
2
mv2，解得物块位于r2处的速度大小为v＝2
E0
m
，故A正确。

4．(·全国卷Ⅱ)(多项选择)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能E k与重力势能E p之和。

取地面为重力势能零点，该物体的E总和E p随它离开地面的高度h的变化如下图。

重力加速度取10 m/s2。

由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能E k＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
答案AD
解析由于E p＝mgh，所以E p与h成正比，斜率k＝mg，由图象得k＝20 N，因此m＝2 kg，
A 正确；当h ＝0时，E p ＝0，E 总＝E k ＝12
mv 2
0，因此v 0＝10 m/s ，B 错误；由图象知h ＝2 m 时，
E 总＝90 J ，E p ＝40 J ，由E 总＝E k ＋E p 得E k ＝50 J ，C 错误；h ＝4 m 时，E 总＝E p ＝80 J ，即此
时E k ＝0，即从地面至h ＝4 m ，动能减少100 J ，D 正确。

5．(·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )
A.v 216g
B.v 2
8g C.v 2
4g
D.v 22g
答案 B
解析 设小物块的质量为m ，滑到轨道上端时的速度为v 1。

小物块上滑过程中，机械能守恒，有
12mv 2＝12
mv 2
1＋2mgR ① 小物块能通过轨道最高点的条件是m v 21
R ≥mg ②
联立①②式得R ≤v 2
5g
③
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x ，下落时间为t ，有2R ＝12gt
2
④
x ＝v 1t ⑤
联立①④⑤式整理得x 2
＝－16R 2
＋
4v
2
g
R ⑥
可得x 有最大值时对应的轨道半径R ＝v 28g <v 2
5g
，应选B 。

6. 如下图，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h ，开始时使两边液面高度差为h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A. 1
8gh B. 1
6gh C.
1
4
gh D.
12
gh 答案 A
解析 液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。

此题等效为原右侧h 2高的液柱移到左侧(如下图)，其重心高度下降了h
2，减少的重力势能转化为液柱整体
的动能，设液体的总质量为4m ，那么有12mg ·h 2＝12
(4m )v 2
，得v ＝
gh
8
，A 正确。

7.如下图，在竖直平面内有由14圆弧AB 和1
2圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平
滑连接．AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R 2.一小球在A 点正上方与A 相距R
4处由静止开始自由
下落，经A 点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点．
答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析
解析 (1)设小球的质量为m ，小球在A 点的动能为E k A ，由机械能守恒得
E k A ＝mg ·R
4
①
设小球在B 点的动能为E k B ，同理有 E k B ＝mg ·5R
4
②
由①②式得
E k B
E k A
＝5③ (2)假设小球能沿轨道运动到C 点，小球在C 点所受轨道的正压力F N 应满足F N ≥0④ 设小球在C 点的速度大小为v C ，由牛顿第二定律和向心加速度公式有
F N ＋mg ＝m v C 2
R
2
⑤
由④⑤式得v C ≥
Rg
2
对全程由机械能守恒定律得mg ·R 4＝12
mv C ′2
⑦
那么v C ′＝
Rg
2
v C 的最小值恰好等于v C ′，即小球恰好可以沿轨道运动到C 点．。