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率分布；若其中一等品有一件，求其中二等品
的概率分布。 解：设 X 及 Y 分别是取出的 4 件产品中一等品及二
等品的件数，则我们有
P( X
i,Y
j)
C3i C5j C24i j C140
，
i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4; 4 i j 0,1,2
即 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4; i j 2,3,4
1 ex xe y
F (x, y) 1 ey yey
0
0x y 0 yx
其它
求FX(x)与FY(y)。
1 ex x 0
FX ( x) F ( x,)
0
x0
1 e y ye y y 0
FY ( y) F (, y)
0
y0
连续型随机变量
1) 的边缘分布函数：
x
F ( x) F ( x,)
j 1
j 1
记作pi• pij，i 1,2,构成 的一个概率分布
j 1
称为边际分布列；同样，记
P• j P( y j ) P( xi , y j ) pij , j 1,2,
i 1
i 1
也构成 的边际分布列。显然
pi• p• j
pij 1
i 1
j 1
i1 j1
例 1.已知 10 件产品中有 3 件一等品，5 件二等品，2 件三等品。从这批产品中任取 4 件产品，求其中 一等品、二等品件数各自的分布律。
即
F
(x)
F( x,)
lim F( x,
y
y)
F ( y) P( y) P( , y) F (, y)
即
F
(
y)
F ( ,
y)
lim F( x,
x
y)
F ( x) F ( x,) 1 F(,)
0 F(, y)
O
F ( y) F (, y)
0 F( x,)
例1.已知(X,Y)的分布函数为
ry
y
-r r2 y2
r x r2 y2
-r
例3.设(X,Y)的概率密度为
c x2 y x f (x, y)
0 others
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
1x
解:(1)由规范性 dx cdy 1 c 6
0
x2
0 x 0 or x 1
(2) f X ( x) f ( x, y)dy x
P| ( xi | y j ) P( xi | y j )
P( xi , y j ) pij , i 1,2,
P( y j )
p• j
显然
i
P| ( xi | y j )
i
pij 1 p• j p• j
i
pij
1 p• j
p• j
1
P| ( y j | xi ) P( y j | xi )
二、边际分布、条件分布 及统计独立性
二维随机变量的边际分布
假设二维离散随机变量 ( ,) 的概率分布 为：
P( xi , y j ) pij ,
i, j 1,2, ，
考虑 P( xi ) P{ xi , ( y j )}
j 1
P{ ( xi , y j } P( xi , y j )
P( xi , y j ) pij , j 1,2,
P( xi )
pi•
显然
j
P| ( y j | xi )
j
pij 1 pi• pi•
j
1 pij pi• pi• 1
例1.已知 10 件产品中有 3 件一等品，5 件二等品， 2 件三等品。从这批产品中任取 4 件产品，已 知其中有两件二等品，求其中一等品件数的概
dy
r r 2 x2
2
r 2
当| x | r时,pX ( x) 0
pX
(
x)
2
r2 x2
r 2 ,
| x | r
0,
| x | r
xr x
同理，
pY
(
y)
2
r2 y2 ,
r 2
| y | r
0,
| y | r
说明： ( X ,Y) 的联合分布是均匀分布， 但边缘分布都不是均匀分布。
解：设 X 及Y 分别是取出的 4 件产品中一等品及二等
品的件数，则我们有
P( X
i,Y
j)
C3i C5jC24i j C140
，
i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4; 4 i j 0,1,2
即 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4; i j 2,3,4
即
Y
X
0
12
从均匀分布，求 X 及 Y 边缘概率密度。
解：已经求出（X，Y）的联合密度函数为
p( x,
y)
1
r 2
,
0,
pX ( x)
p( x, y)dy
当| x | r时,
x2 y2 r2
ry
x2 y2 r2
r2 x2
-r
0
r2 x2
1 r 2 x2
2 r2 x2
-rpX ( x) Nhomakorabea6dy 6( x x2 ) 0 x 1
x2
例4.设(X,Y)服从如图区域 D上的均匀分布，
求关于X的和关于Y的边缘 x=-y
x=y
概率密度
1
dy
x 1
fX ( x) dy x 0
1 x 0
0 x1 others
y
fY
(
y)
dx
y
0
0 y1 others
条件分布
离散型随机变量的条件分布
dx
p( x, y)dy
2) 的边缘概率密度：
p ( x) p( x, y)dy
3) 的边缘分布：
y
F ( y) F (, y)
dy
p( x, y)dx
4) 的边缘概率密度：
p ( y) p( x, y)dx
例 2.设 ( X ,Y) 在以原点为中心，r 为半径的圆域R 上服
210 210 210 210
二等品件数Y 的分布律为：
Y0 12 3 4 p• j 5 50 100 50 5
210 210 210 210 210
注：边际分布不能全面反映联合分布的内 含信息.
二维随机变量
F ( x), F ( y) ：
( ,) 关于 , 的边缘分
布函数
F ( x) P( x) P( x, ) F ( x,)
34
pi•
10 20
5
35
0
0 0 210 210 210 210
15 60 30
105
1
0 210 210 210
0
210
3 30 30
2
210 210 210 0
63
0
210
25
3
210 210 0
0
7
0
210
p• j
5 50 100 50 210 210 210 210
5 210 1
一等品件数 X 的分布律为： X0 1 2 3 pi• 35 105 63 7