北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第2章导数及其应用 导数的概念~导数的几何意义分层作业

2
1
(1+Δ)-(1)
∴
= 2
1 2
y=f(x)=- x -2
2
1
2
上,
- (1+Δ)2 -2+ ×12 +2
Δ
Δ
1
=-1- Δx,
2
令 Δx 趋于 0,
1 2
1 2
则 y=-2x -2 在 x=1 处的导数为 f'(1)=-1,即函数 y=-2x -2 在点 P 处的切线斜率
为-1.
又倾斜角的取值范围是[0°,180°),
垂直于直线 2x-6y+5=0.
1
1 1
(3)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角,所以 k=2x0=-1,得 x0=-2,即点 P(-2 , 4)处的
切线与 x 轴成 135°的倾斜角.
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B级
2
∈N+)的前 n 项和为 Sn,则 S2 021 的值为( A )
2 021
A.2 022
2 020
B.2 021
2 019
C.2 020
2 018
D.2 019
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1
f(n)
(n
解析 因为 f(x)=x2+bx,
A.±2 B.2
C.-2
A )
D.-4
2 -2
f(m+x)-f(m)
2
2
1 2

+Δ
解析 f'(m)= lim
=
=- 2,则- 2=- ,m =4,
Δ→0
x
x→0
Δ


2
解得 m=±2.
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f(x0 +2x)-f(x0 )
(0 +2Δ)-(0 )
而 lim
=2
=2f'(x0)=-2.故选
x
2Δ
Δ→0
x→0
D.
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2
1
2.已知函数f(x)= ,且f'(m)=- 2 ,则m的值等于(
8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则

=

2
.
解析 由题意知 a+b=3,
又
a(1+x)2 +-(+)
f'(1)= lim
=2a=2,
x
Δ→0
则
b
a=1,b=2,故 =2.
a
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7.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则
Δ
=
x→0 Δ
解析
Δ
∵Δ
2
=
.
(1+Δ)2 +2-(12 +2)
=2+Δx,
Δ
∴ lim (2+Δx)=2.
Δ→0
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2
17.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+ 的图象在点(1,m)处的切线,则

a+b=
5
,m=
3
.
解析 由题意知 m=a+2,1+m=b,
f(1+x)-f(1)
因为 f'(1)= lim
(2)T'(5)= lim
=
t
Δ→0
t→0
120 +15- 120 +15
5+ΔƮ+Δ
Δ→0
=-1.2(℃/min),它表示太阳落山后 5 min 时,蜥蜴体温下降的速度为
1.2 ℃/min.
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3
2
3
(0 +Δ)-(0 ) (0 +Δ) -2(0 +Δ)-(30 -20 ) 320 Δ+30 (Δ) +(Δ) -2Δ
则
=
=
,
Δ
Δ
Δ
令 Δx 趋于 0,则
π
2
f'(x0)=30 -2=tan =1,
4
所以 x0=±1,
当 x0=1 时,y0=-1,
当 x0=-1 时,y0=1.故选 BC.
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1
14.若曲线y=f(x)=x+ 上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是
( C )
A.(-∞,-1)
B.(-1,1)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
解析
1
y=x+上任意一点
k=f'(x0)= lim
x
Δ→0
=
2
(a)=a-2,所以曲线 f(x)在点(1,m)处的切
1+Δ
x→0
线斜率为 a-2,由 a-2=-1,得 a=1,m=3,b=4,a+b=5.
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18.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好
关键能力提升练
f(2x + 1)-f(1)
lim
13.已知Δ→0
=-2,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为
2x
( D )
A.-4
解析
B.4
C.2
D.-2
f(2x+1)-f(1)
根据题意,因为 lim
=-2,
2x
Δ→0
即 f'(1)=-2,故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率 k=-2.故选 D.
5
1 2
3.已知曲线y=f(x)=- 2 x -2上一点P(1,- 2),则在点P处的切线的倾斜角为
( C )
A.30° B.45°
C.135° D.165°
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解析 ∵点
5
P(1,- )在曲线
16.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角
π
为 4 的是(
BC )
A.(0,0)
B.(1,-1)
C.(-1,1)
D.(1,1)
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解析 设切点坐标为(x0,y0),
x
x→0
Δ
=
1
lim (-x-2Δx)=-x,
Δ→0
所以 f'(2)=-2,即该曲线在点 P(2,-2)处的切线斜率为-2,所以所求的切线方程
为 y-(-2)=-2(x-2),即 2x+y-2=0,所以曲线
1 2
y=- x 在点
2
P(2,-2)处的切线方程为
2x+y-2=0.
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()
=
1
(+1)
=
1
1
,
−
+1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
S2 021=1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4+…+2 021 − 2 022=1-2 022
=
2 021
.
2 022
故选 A.
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解 (1)在 0 min 到 10 min 这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率为
(10)-(0)
10-0
=
120 +15 - 120 +15
10+5
0+5
10
=-1.6(℃/min),它表示在 0 min 到 10 min 这段
时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃.
T(5+t)-T(5)
D.f'(x0)不存在
解析 由导数的几何意义,可得f'(x0)=-2<0.
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5.设曲线y=f(x)=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a等于
( B )
1
B.16
A.2
1
2
3
3
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1
10.已知曲线y=- 2 x2,求该曲线在点P(2,-2)处的切线方程.
1
f(x+x)-f(x)
解 由 f'(x)= lim
= 2
1
2
- (+Δ)2 -(- 2 )
Δ→0
12.在曲线y=x2上哪一点处的切线分别满足下列条件:
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
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解
(x+x)2 -x2
(1)y'= lim
x
Δ→0
= (2x+Δx)=2x.
x→0
设点 P(x0,y0)是曲线上满足条件的切点.
因为切线与直线 y=4x-5 平行,所以 k=y'|= =2x0=4,得 x0=2,
0
即点 P(2,4)处的切线平行于直线 y=4x-5.
1
3
3 9
(2)因为与直线 2x-6y+5=0 垂直,所以 2x0×3=-1,得 x0=-2,即点 P(-2 , 4)处的切线
所以
(1+x)2 +(1+x)-12 -
f'(1)= lim
x
Δ→0
= (2+Δx+b)=2+b.
x→0
因为函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,
所以 f'(1)=2+b=3,解得 b=1,
所以 f(x)=x
所以
2
1
+x=x(x+1),
A级
必备知识基础练
1.[2023 山东聊城一中校考期中]已知函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)=-1,
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
则 lim
=(
x
Δ→0
A.-1
B.1
D )
1
C.
2
D.-2
解析 根据题意,函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数为 f'(x0)=-1,
9.曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积
为
解析
8
3
.
(1+x)3 -1
∵f'(1)= lim
=3,
x
Δ→0
∴曲线 f(x)=x3 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2,则切线与 x 轴,
直线 x=2
1
2
8
所围成的三角形面积为 ×(2- )×4= .
120
11.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知其关系式为T(t)= + 5 +15,其中T(t)
为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它表示
什么实际意义?
(2)求T'(5),并解释它的实际意义.
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Δ→0
P(x0,y0)处的切线斜率为
1 -(x + 1 )
x0+x 0 x0
(x0 +x)+
x
=
1
1
(1- 2
)=1- 2<1,即
0 +0 Δ
0
x→0
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k<1.
15.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列
C.
2
D.-1
解析 由 y=ax ,得 Δy=a(2+Δx) -2 a=4aΔx+a(Δx)
2
2
2
Δ
,则 =4a+aΔx,令
Δ
2
Δx 趋于
0,∴f'(2)=4a.
又 y=ax 在点(2,4a)处的切线与直线 4x-y+4=0
2
1
1
垂直,∴4a=- ,∴a=- .
4
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
∴在点 P 处的切线的倾斜角为 135°.
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4.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则( C )
A.f'(x0)>0
B.f'(x0)=0
C.f'(x0)<0
过坐标原点,则c的值为 4
.
解析
(-2+Δ)-(-2) (-2+Δ)2 -(-2+Δ)+-(6+)
6.若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,则a+b=
解析
f(0+x)-f(0)
∵f'(0)= lim
x
Δ→0
2
.
= (a+Δx)=a=1,又 f(0)=1,即 b=1,