中国地质大学(武汉)大学物理习题集答案

0 2 0
0 2 0
1
x R2
x2
2 0
0x
R2 x2
解: 2）叠加法
dq 0 2rdr
dE
P
dE
x 0 2rdr 4 0 (r 2 x2 )32
E
dE
R
x 0 2rdr 4 0 (r 2 x2
)
3

2
x 0
2 0 x2 R2
方向竖直向上
1-19 一层厚度为d的无限大平面，均匀带电，电荷体密度为ρ，求薄层 内外的电场强度分布。
3-5 点电荷 q1、q2、q3、q4各为
4 ，10置于9 C一正方形的四个
为球心，以a为半径，作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面
积S1、S2。其位置如图1-4 所示。设通过S1、S2的电场强度通量分别
为1、2，通过整个球面的电场强度通量为3，则
[]
（A）1>2，3=q/0 （B）1<2，3=2q/0 （C）1=2，3=q/0； （D）1<2，3=q/0；
q
o
S2
图1-4
r12
q1
q3
q2
r13
r23
解：要想使三个点电荷都处于平衡状态，q3 必须为负电荷， 且q3 必须位于q1 与q2 之间的连线上，如图示。
由库仑定律有：
F12
1
4 0
q1q2 r122
F13
1
4 0
q1q3 r123
F23
1
4 0
q2q3 r223
q1 r13
r12
q3
q2
r23
F12 F13
-q
Y
代入(1)式, 平方后整理得：
x2
(
y
n2 n2
1
d
)2
z2
(
n n2
1
d
)2
X
图3-2
——球面方程
球半径:
n
R
n2
d 1
球心: ( 0,
n2 n2 1,d0 )
3-3.半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ，设无穷远处为
电势零点，则圆盘中心O点的电势 Ｖ0 = ?
解:
dq
V0
q
4 0r
解: 该系统具球对称性, 可取球形高斯面, (1)地表附近场强
E表 4R2
q地
0
q地
4 0 R2 E表
1 9 109
(200)(6.378106 )2
9.04105 C
(2)(方法一):
Eh 4
(R
h)2
q地 q气
0
而 h = 1400m << R
Q总
q地
q气
4 0 Eh (R h) 2
4 0 Eh R2
A= 0
-q
A
B
C
D
D
图3-1
3-2. 有两个点电荷带电量为nq 和-q（ n ＞ｌ），相距ｄ，如图所 示，试证电势为零的等势面为一球面，并求出球面半径及球心坐 标（设无穷远处为电势零点）。
解:
U U U
1
4 0
nq (
r
q) 0
r
Z
n (
r
1 r
)
0
nr
r
(1)
r+
r-
r x2 y2 z2 r x2 ( y d)2 z2 nq
-E
方向沿y负向
q
R
2
2
0
q
2 0 R2
cos d
q
2 0 R2
1-9一半径为Ｒ的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度
为 ，求球面中心处的场强。
解:1）如图在半球面上用极坐
z r Rsin
标取任意面元
rd
dS rdRd R2 sindd
Rd
它在球心产生的场强
dE
dq
dE 4 0 R2
dS 4 0 R 2
当 r>R 时,
R2h R2 E2 2 0hr 2 0r
r h
1-18 一大平面中部有一半径为Ｒ的小孔，设平面均匀带电，面
电荷密度为 分布。
，求通过小孔中心0 并与平面垂直 的直线上的场强
E平面
解:1）补偿法
P
0
0
E圆面
+
场强叠加，取竖直向上为正方向
E E平 面 E圆 面
=
E E平面 E圆面
S
E
dS
q内
0
Eh
s
左边= E表 dS E dS Eh dS
下底
侧面
上底
h E表
SE 表 SE h
右边 Sh
地面
0
0(E表 Eh ) 1.1371012C / m3
h
1-17 电荷均匀分布在半径为Ｒ的无限长圆柱上，其电荷体密
度为 (c/m3)，求圆柱体内、外某一点的电场强度。
4 0r32
9
109
(1.0
1.5) (0.5)2
108
9 102 v / m
E不是r的连续函数, 在两个球面处有跃变.
1-16 (1)设地球表面附近的场强约为200v·m-1,方向指向地球中心， 试求地球所带的总电量 。 (2) 在离地面1400m高处，场强降为 20v·m-1，方向仍指向地球中心,试计算在1400m下大气层里的平均 电荷密度.
处场强的大小和方向.
解: (补偿法)由于对称性，均匀带电圆环在圆心处场强为零。
q d
+
E=
E
均匀带电圆环 d L 所以q可视为点电荷
q
E 4 0 R2
d 4 0 R2
Q Q
2R d 2R
E
9 109
3.12 109 2 102
2 (50 102 )3
0.715v / m
2q
o
X
S1 2a
答：[ D ]
1-14(a) 点电荷q位于边长为a的正立方体的中心，通过此立方体的 每一面的电通量各是多少？
(b) 若电荷移至正方体的一个顶点上，则通过每个面的电通量又 各是多少？
解: (a) 因为6个全等的正方形组成一个封闭面, 所以
q 6 0
(b) 该顶点可视为边长等于2a 的大立方体的中心, q
(D) 绕顺时针方向旋转至P沿径向向外，同时顺电力 线方向向着球面移动。
答[ B ]
1-6 在正方形的两个相对的角上各放一个点电荷Q，在其他两个相对的角 上各放一个点电荷q，如果作用在Q上的力为零，求Q与q的关系。
解：设正方形边长为a ,以原点处的Q为研究
对象，则其受力为：
F
FQ
Fq
Fq
Q2
1-8 如图所示，一细玻璃棒被弯成半径为Ｒ的半圆周，沿其上半部
均匀分布有电荷+q , 沿其下半部均匀分布有电荷 –q ，求半圆中心
O点的场强。
解:建立如图的坐标系xOy,
dq +
y
dE
dq
4 0 R2
Rd 4 0 R2
d + R
+
-
x
dEx 0
E 2 dEY
2
Rd
2
0
4 0 R2
cos
-
dE
E外
d 2 0
x 0, E外 ; x 0, E外
第三章 电势
3-1
3-5
3-9
3-13
3-2
3-6
3-10
3-3
3-7
3-11
3-4
3-8
3-12
3-1.点电荷-q位于圆心处，A、B、C、D位于同一圆周上 的四点，如图3-1 所示，分别求将一实验电荷q0从A点移 到B、C、D各点电场力的功。
sindd 4 0
由对称性分析可知
Ex dEx 0 E y dE y 0 E dEz dE cos
E
02
d
0
2
sin cos 4 0
d
4 0
方向沿z 轴负向
z r Rsin Rd
解:2）如图在半球面上取面元
dS 2rRd
它在球心产生的场强
dE
dE
xdq
4 0 R3
x R cos dq ds
F23 F21 F12
解得：
q3 (
q1q2 q1 q2 )2
r13
q1 r q1 q2
1-3 在电场中某点P 放入实验电荷q0 ,测得电场力为F,则该点的 场强为F/q0 ,若放入另一实验电荷-q0 ,则该点的场强为： （ ）
(A) -F/q0 答：[ C ]
(B) 0
(C) F/q0
解:由高斯定律
S
E dS
q内
0
因为电荷分布具有轴对称性, 所以场强
r
也具有轴对称性, 以圆柱轴线为轴, 作半
h
径r , 高h的封闭圆柱面S , 则
E dS E dS E dS
S
侧面
两底面
EdS 2rhE 侧面
E q内
2 0hr
r
当0 < r < R 时,
h
r 2h r E1 2 0hr 2 0
1-4 等值同号的两个点电荷. 间距为2l，求其连线中垂面上场强最大
处到两电荷连线中点的距离.
解： E 2E1 y
1 2
4 0
y2
q
l2
cos
y
E1
E
E2
P
1
2 0
qy
3
( y2 l2)2
= 最大值
q
y
q
令 dE 0 dy
即
d dy
( y2
y
3
l2)2
0
2l
则 y2 l2 3y2 0
E
dE
0
2
sin cos 2 0
d
4 0
方向沿z 轴负向
1-10半径为Ｒ的带电细园环，线电荷密度
, 0 cos
为0 常数， 为半径Ｒ与x轴夹角，如图所示，求圆环中心处的
电场强度。
Y
解： dq Rd R0 cos d
dE
dq
4 0 R2
0 cos d 4 0 R
R
dEx
dE
dE y
X
Ex dEx dE cos
第一章 真空中的静电场
1-1
1-6
1-11 1-16
1-2
1-7
1-12 1-17
1-3
1-8
1-13 1-18
1-4
1-9
1-14 1-19
1-5
1-10
1-15
1-1 比较点电荷与试验电荷的差异。
1-2 两个正点电荷q1 与q2 间距为r，在引入另一点电荷q3 后， 三个点电荷都处于平衡状态，求q3 的位置及大小。
r
O
0R
2rdr 4 0r
2 0
0R dr
R 2 0
3-4 求在电偶极子轴线上，距离偶极子中心为ｒ处的电势，
已知电偶极矩的值为 p .
解: U U U
1 q q
q
r
l q
P
( )
4 0 r r
r
q r r
r
4 0 r r
ql
4 0r 2
p
4 0r 2
(观察点位于+q一侧取正, 位于-q一侧取负)
02
0 4 0 R
cos 2
d
0
4
0
R
E y dEy dE sin 0
E 沿x轴负方向.
1-11. 半径为R，长度为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为， 在带电圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为r（rR），则P点 的电场强度的大小：
当rL时，E= 当rL时，E=
； 。
解：r<<L时, 视为无限长圆柱面用高斯定律
E
2 0r
r>>L时, 可视为点电荷 q L
L E 4 0r 2
1-12. 在某点电荷系空间任取一高斯面，已知qi=0，则
∮sE·ds=qi/0。
（）
（A）高斯面上所在点的电场为零 ； （B）场强与电通量均为零； （C）通过高斯面的电通量为零。
答：[ C ]
1-13. 有两个点电荷电量都是+q相距为2a，今以左边的点电荷所在处
解：1）用叠加法求解，在x处取宽为dx的薄层， 电荷面密度为：
dx
x
该薄层产生的电场为：
d o
dx
dE dx
2
2
2 0
薄层内一点的电场：
2 0
E内
x d
dx 2 0
d 2
x
dx 2 0
dx
x
0
x 0, E内 ; x 0, E内
2 x
薄层外一点的电场：
E外
x 0, E外 ; x 0, E外
所以
y
2 l
2
1-5 在一个带负电荷的均匀带电球外，放置一偶极子,其电矩的方 向如图1-1所示.当偶极子被释放后,该偶极子将（ ）
(A)绕逆时针方向旋转，直到电矩P沿 径向指向球面而停止。
(B) 绕逆时针方向旋转至P沿径向指向球面， 同时顺电力线方向向着球面移动;
r
图1-1
(C) 绕逆时针方向旋转至P沿径向指向球面, 同时逆电 力线方向远离球面移动;
通过每个大面的电通量为
每个小立方体中不经过该顶点的三个小
6 0
面上的电通量为
q
24 0
而通过该顶点的另三个小面 的电通量为0.
1-15.两个同心球面，半径分别为0.10m和0.30m，小球上带有电荷+1.0
C，大球上带有电荷1+01.58
C， 求离球心为 (1) 0.0150m8; (2) 0.20
m ; (3) 0.50m 各处的电场强度，问电场强度是否是坐标 r (离球心的距
离)的连续函数?
解: 系统具球对称性, 取球形高斯面,
s
E
dS
4r 2E
q内
0
(1) E1 = 0
（2）
E2
q1
4 0r22
9
109
1.0 108 (0.2)2
q1 q2
2.25103 v / m
(3)
E3
q1 q2
1 9 109
( 20)(6.378 106
)2
9.04 104 C
q气 Q总 q地 8.147105 C V气 4R2h
q气 V气
4
8.147 105 (6.378106 )2
1400
1.137
1012
C
/
m3
(2)(方法二): h = 1400m << R
地面不太宽的区域作如图所示的封闭柱面为高斯面 E 地面 且等高处E值相等
FQ 4 0 ( 2a)2
Fq
Qq
4 0a 2
y
Fq
Q
FQFq O
q
Q x
q
F
Q2
2 Qq cos 450 0 Q 2 2q
4 0 ( 2a)2 4 0a
1-7 用不导电的细塑料棒弯成半径为50.0cm的圆弧,两端间空隙
为2.0cm, 电量为
的正电3荷.1均2匀1分0布9 C在棒上, 求圆心